Matrices (meza zenye vipengele vya nambari) zinaweza kutumika kwa hesabu mbalimbali. Baadhi yao ni kuzidisha kwa nambari, vekta, matrix nyingine, matrices kadhaa. Wakati mwingine bidhaa sio sahihi. Matokeo potofu ni matokeo ya kutojua sheria za kufanya vitendo vya hesabu. Hebu tujue jinsi ya kufanya kuzidisha.
Matrix na nambari
Hebu tuanze na jambo rahisi zaidi - kuzidisha jedwali lenye nambari kwa thamani mahususi. Kwa mfano, tuna matrix A yenye vipengele aij (mimi ni nambari za safu mlalo na j ni nambari za safu wima) na nambari e. Bidhaa ya matrix kwa nambari e itakuwa matriki B yenye vipengele bij, ambavyo hupatikana kwa fomula:
bij=e × aij.
T. e. ili kupata kipengele b11 unahitaji kuchukua kipengele a11 na kukizidisha kwa nambari inayotakiwa, ili kupata b12 inahitajika kupata bidhaa ya kipengele a12 na nambari e, n.k.
Hebu tusuluhishe tatizo namba 1 lililowasilishwa kwenye picha. Ili kupata matrix B, zidisha tu vipengele kutoka A kwa 3:
- a11 × 3=18. Tunaandika thamani hii kwenye tumbo B mahali ambapo safu wima ya 1 na safu mlalo ya 1 zinapishana.
- a21 × 3=15. Tulipata kipengele b21.
- a12 × 3=-6. Tumepokea kipengele b12. Tunaiandika katika matrix B mahali ambapo safu wima 2 na safu mlalo 1 zinapishana.
- a22 × 3=9. Matokeo haya ni kipengele b22.
- a13 × 3=12. Ingiza nambari hii kwenye tumbo badala ya kipengele b13.
- a23 × 3=-3. Nambari ya mwisho iliyopokelewa ni kipengele b23.
Kwa hivyo, tumepata safu ya mstatili yenye vipengele vya nambari.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vekta na hali ya kuwepo kwa bidhaa ya matrices
Katika taaluma za hisabati, kuna kitu kama "vekta". Neno hili linarejelea seti iliyopangwa ya thamani kutoka 1 hadi . Zinaitwa kuratibu za nafasi ya vekta na zimeandikwa kama safu. Pia kuna neno "vector transposed". Vipengee vyake vimepangwa kama mfuatano.
Vekta zinaweza kuitwa matrices:
- vekta ya safu wima ni matrix iliyojengwa kutoka safu wima moja;
- vekta ya safu mlalo ni matrix ambayo inajumuisha safu mlalo moja pekee.
Inapokamilikajuu ya matrices ya shughuli za kuzidisha, ni muhimu kukumbuka kuwa kuna hali ya kuwepo kwa bidhaa. Kitendo cha kukokotoa A × B kinaweza tu kufanywa wakati idadi ya safu wima katika jedwali A ni sawa na idadi ya safu katika jedwali B. Mchanganyiko unaotokana na hesabu huwa na idadi ya safu katika jedwali A na idadi ya safu wima. katika jedwali B.
Wakati wa kuzidisha, haipendekezwi kupanga upya matrices (vizidishi). Bidhaa zao kawaida hazilingani na sheria ya kuzidisha (ya kuhamishwa) ya kuzidisha, i.e. matokeo ya operesheni A × B sio sawa na matokeo ya operesheni B × A. Kipengele hiki kinaitwa kutobadilishana kwa bidhaa. matrices. Katika baadhi ya matukio, matokeo ya kuzidisha A × B ni sawa na matokeo ya kuzidisha B × A, yaani, bidhaa ni commutative. Matrices ambayo usawa A × B=B × A inashikilia huitwa matrices ya vibali. Tazama mifano ya majedwali kama haya hapa chini.
Kuzidisha kwa vekta ya safu wima
Wakati wa kuzidisha matrix kwa vekta ya safu wima, ni lazima tuzingatie hali ya kuwepo kwa bidhaa. Idadi ya safu wima (n) kwenye jedwali lazima ilingane na idadi ya kuratibu zinazounda vekta. Matokeo ya hesabu ni vector iliyobadilishwa. Idadi yake ya viwianishi ni sawa na idadi ya mistari (m) kutoka kwa jedwali.
Je, viwianishi vya vekta y vinakokotolewa vipi ikiwa kuna matrix A na vekta x? Kwa hesabu fomula zilizoundwa:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
……………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
ambapo x1, …, x ni viwianishi kutoka kwa vekta ya x, m ni idadi ya safu mlalo kwenye tumbo na nambari. ya viwianishi katika vekta mpya ya y, n ni idadi ya safu wima kwenye tumbo na idadi ya viwianishi katika vekta ya x, a11, a12, …, amn– vipengele vya matrix A.
Kwa hivyo, ili kupata kijenzi cha i-th cha vekta mpya, bidhaa ya scalar inatekelezwa. Vekta ya safu mlalo ya i-th inachukuliwa kutoka kwenye tumbo A, na inazidishwa na vekta inayopatikana x.
Hebu tutatue tatizo 2. Unaweza kupata bidhaa ya matrix na vekta kwa sababu A ina safu wima 3 na x inajumuisha viwianishi 3. Kama matokeo, tunapaswa kupata vekta ya safu na kuratibu 4. Hebu tutumie fomula zilizo hapo juu:
- Kokotoa y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Thamani ya mwisho ni 2.
- Kokotoa y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Wakati wa kuhesabu, tunapata 0.
- Kokotoa y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Jumla ya bidhaa za vipengele vilivyoonyeshwa ni 6.
- Kokotoa y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Mratibu ni -8.
Kuzidisha kwa vekta-mlalo
Huwezi kuzidisha matrix yenye safu wima nyingi kwa vekta ya safu mlalo. Katika hali hiyo, hali ya kuwepo kwa kazi hairidhiki. Lakini kuzidisha kwa vekta ya safu na matrix kunawezekana. Hiioperesheni ya computational inafanywa wakati idadi ya kuratibu katika vector na idadi ya safu katika mechi ya meza. Matokeo ya bidhaa ya vekta na tumbo ni vekta mpya ya safu. Idadi yake ya viwianishi lazima iwe sawa na idadi ya safu wima kwenye tumbo.
Kukokotoa ratibu za kwanza za vekta mpya kunahusisha kuzidisha vekta ya safu mlalo na vekta ya safu wima ya kwanza kutoka kwa jedwali. Uratibu wa pili umehesabiwa kwa njia sawa, lakini badala ya vector ya safu ya kwanza, vector ya safu ya pili inachukuliwa. Hapa kuna fomula ya jumla ya kuhesabu kuratibu:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, ambapo yk ni kuratibu kutoka kwa vekta y, (k ni kati ya 1 na n), m ni idadi ya safu katika matrix na idadi ya viwianishi. katika vekta ya x, n ni idadi ya safu wima katika matrix na idadi ya viwianishi katika vekta y, a yenye fahirisi za alphanumeric ni vipengele vya matrix A.
Bidhaa ya matrices ya mstatili
Hesabu hii inaweza kuonekana kuwa ngumu. Walakini, kuzidisha kunafanywa kwa urahisi. Hebu tuanze na ufafanuzi. Bidhaa ya matrix A yenye safu mlalo na safu wima n na matrix B yenye safu mlalo n na safu wima p ni matrix C yenye safu mlalo na safu wima p, ambamo kipengele cij jumla ya bidhaa za vipengele safu mlalo ya i- kutoka jedwali A na safu wima ya j-th kutoka jedwali B. Kwa maneno rahisi, kipengele cij ni bidhaa ya scalar ya safu mlalo ya i-th. vekta kutoka jedwali A na vekta ya safu wima ya j-th kutoka jedwali B.
Sasa hebu tuchunguze kwa vitendo jinsi ya kupata bidhaa ya matrices ya mstatili. Hebu tutatue tatizo namba 3 kwa hili. Hali ya kuwepo kwa bidhaa imeridhika. Hebu tuanze kuhesabu vipengele cij:
- Matrix C itakuwa na safu mlalo 2 na safu wima 3.
- Hesabu kipengele c11. Ili kufanya hivyo, tunafanya bidhaa ya scalar ya safu ya 1 kutoka kwa tumbo A na safu No. 1 kutoka kwa tumbo B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Kisha tunaendelea kwa njia ile ile, tukibadilisha safu, safu wima pekee (kulingana na faharasa ya kipengele).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Vipengee vimekokotolewa. Sasa inabakia tu kutengeneza kizuizi cha mstatili cha nambari zilizopokelewa.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Kuzidisha matrices matatu: sehemu ya kinadharia
Je, unaweza kupata bidhaa ya matrices matatu? Operesheni hii ya kukokotoa inawezekana. Matokeo yanaweza kupatikana kwa njia kadhaa. Kwa mfano, kuna majedwali 3 ya mraba (ya mpangilio sawa) - A, B na C. Ili kukokotoa bidhaa, unaweza:
- Zidisha A na B kwanza. Kisha zidisha matokeo kwa C.
- Kwanza tafuta bidhaa ya B na C. Kisha zidisha matrix A kulingana na matokeo.
Iwapo unahitaji kuzidisha matrices ya mstatili, basi kwanza unahitaji kuhakikisha kuwa operesheni hii ya kukokotoa inawezekana. Je!bidhaa A × B na B × C zipo.
Kuzidisha kwa nyongeza sio kosa. Kuna kitu kama "ushirikiano wa kuzidisha matrix". Neno hili linarejelea usawa (A × B) × C=A × (B × C).
Mazoezi ya Kuzidisha Matrix Tatu
Matrices za mraba
Anza kwa kuzidisha hesabu ndogo za mraba. Kielelezo hapa chini kinaonyesha tatizo namba 4, ambalo tunapaswa kulitatua.
Tutatumia sifa ya ushirika. Kwanza tunazidisha ama A na B, au B na C. Tunakumbuka jambo moja tu: huwezi kubadilisha vipengele, yaani, huwezi kuzidisha B × A au C × B. Kwa kuzidisha huku, tutapata matokeo yenye makosa.
Maamuzi yanaendelea.
Hatua ya kwanza. Ili kupata bidhaa ya kawaida, sisi kwanza tunazidisha A na B. Wakati wa kuzidisha matrices mbili, tutaongozwa na sheria zilizoelezwa hapo juu. Kwa hivyo, matokeo ya kuzidisha A na B yatakuwa matrix D na safu 2 na safu 2, i.e. safu ya mstatili itajumuisha vitu 4. Wacha tuzipate kwa kufanya hesabu:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
matokeo ya kati tayari.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Hatua ya pili. Sasa hebu tuzidishe matrix D kwa matriki C. Matokeo yanapaswa kuwa matrix ya mraba G yenye safu 2 na safu 2. Hesabu vipengele:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Kwa hivyo, matokeo ya bidhaa ya matrices ya mraba ni jedwali G lenye vipengele vilivyokokotwa.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Nyeti za mstatili
Kielelezo hapa chini kinaonyesha tatizo namba 5. Inahitajika kuzidisha matiti ya mstatili na kutafuta suluhu.
Hebu tuangalie ikiwa hali ya kuwepo kwa bidhaa A × B na B × C imeridhika. Maagizo ya matrices yaliyoonyeshwa huturuhusu kuzidisha. Hebu tuanze kutatua tatizo.
Maamuzi yanaendelea.
Hatua ya kwanza. Zidisha B kwa C ili kupata D. Matrix B ina safu mlalo 3 na safu wima 4, na matrix C ina safu mlalo 4 na safu wima 2. Hii ina maana kwamba tutapata matrix D yenye safu 3 na safu 2. Hebu tuhesabu vipengele. Hapa kuna mifano 2 ya hesabu:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Tunaendelea kutatua tatizo. Kama matokeo ya hesabu zaidi, tunapata thamani d21, d2 2, d31 na d32. Vipengele hivi ni 0, 19, 1 na 11 kwa mtiririko huo. Hebu tuandike thamani zilizopatikana katika safu ya mstatili.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Hatua ya pili. Zidisha A kwa D ili kupata matrix ya mwisho F. Itakuwa na safu mlalo 2 na safu wima 2. Hesabu vipengele:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Tunga safu ya mstatili, ambayo ni matokeo ya mwisho ya kuzidisha matrices matatu.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Utangulizi wa kazi ya moja kwa moja
Vigumu sana kuelewa nyenzo ni bidhaa ya Kronecker ya matrices. Pia ina jina la ziada - kazi ya moja kwa moja. Nini maana ya neno hili? Wacha tuseme tuna jedwali A la mpangilio m × n na jedwali B la mpangilio p × q. Bidhaa ya moja kwa moja ya matrix A na matrix B ni matrix ya mpangilio mp × nq.
Tuna matrices 2 za mraba A, B, ambazo zinaonyeshwa kwenye picha. Ya kwanza ina safu 2 na safu 2, na ya pili ina safu 3 na safu 3. Tunaona kwamba matrix inayotokana na bidhaa ya moja kwa moja ina safu mlalo 6 na idadi sawa ya safu wima.
Vipengee vya matrix mpya hukokotwa vipi katika bidhaa ya moja kwa moja? Kupata jibu la swali hili ni rahisi sana ikiwa unachambua picha. Kwanza jaza mstari wa kwanza. Chukua kipengee cha kwanza kutoka safu ya juu ya jedwali A na uzidishe kwa kufuatana kwa vipengele vya safu mlalo ya kwanzakutoka kwa jedwali B. Kisha, chukua kipengele cha pili cha safu ya kwanza ya jedwali A na uzidishe kwa mtiririko kwa vipengele vya safu ya kwanza ya jedwali B. Ili kujaza safu ya pili, chukua kipengele cha kwanza kutoka safu ya kwanza ya jedwali A tena na izidishe kwa vipengele vya safu mlalo ya pili ya jedwali B.
Matrix ya mwisho inayopatikana kwa bidhaa ya moja kwa moja inaitwa block matrix. Ikiwa tutachambua takwimu tena, tunaweza kuona kwamba matokeo yetu yana vizuizi 4. Zote zinajumuisha vipengele vya matrix B. Zaidi ya hayo, kipengele cha kila kizuizi kinazidishwa na kipengele maalum cha matrix A. Katika block ya kwanza, vipengele vyote vinazidishwa na11, katika ya pili - na12, ya tatu - kwenye21, ya nne - kwenye22.
Kiamuzi cha bidhaa
Unapozingatia mada ya kuzidisha matrix, inafaa kuzingatia neno kama vile "kiambuzi cha bidhaa ya matriki". Kiamuzi ni nini? Hii ni sifa muhimu ya matrix ya mraba, thamani fulani ambayo imepewa tumbo hili. Jina halisi la kibainishi ni det.
Kwa matrix A inayojumuisha safu wima mbili na safu mlalo mbili, kibainishi ni rahisi kupata. Kuna fomula ndogo ambayo ni tofauti kati ya bidhaa za vipengele maalum:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Hebu tuzingatie mfano wa kukokotoa kiangazio kwa jedwali la mpangilio wa pili. Kuna matrix A ambayo a11=2, a12=3, a21=5 na22=1. Ili kukokotoa kiangazi, tumia fomula:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
Kwa matrices 3 × 3, kibainishi huhesabiwa kwa kutumia fomula changamano zaidi. Imewasilishwa hapa chini kwa matrix A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a2231 - a11 a23a32 – a12a21 a33.
Ili kukumbuka fomula, tumekuja na kanuni ya pembetatu, ambayo imeonyeshwa kwenye picha. Kwanza, vipengele vya diagonal kuu vinazidishwa. Bidhaa za vipengele hivyo vinavyoonyeshwa na pembe za pembetatu na pande nyekundu zinaongezwa kwa thamani iliyopatikana. Ifuatayo, bidhaa ya vipengee vya ulalo wa pili hupunguzwa na bidhaa za vipengele hivyo vinavyoonyeshwa na pembe za pembetatu zilizo na pande za bluu hutolewa.
Sasa hebu tuzungumze kuhusu kibainishi cha bidhaa ya matrices. Kuna nadharia ambayo inasema kwamba kiashiria hiki ni sawa na bidhaa ya viashiria vya meza za kuzidisha. Hebu tuthibitishe hili kwa mfano. Tuna matrix A yenye maingizo a11=2, a12=3, a21=1 na22=1 na matrix B yenye maingizo b11=4, b12=5, b 21 =1 na b22=2. Tafuta viambuzi vya matiti A na B, bidhaa A × B na kibainishi cha bidhaa hii.
Maamuzi yanaendelea.
Hatua ya kwanza. Kokotoa kiambishi kwa A: det A=2 × 1 - 3 × 1=-1. Kisha, hesabu kibainishi cha B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Hatua ya pili. Hebu tupatebidhaa A × B. Onyesha matrix mpya kwa herufi C. Kokotoa vipengele vyake:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Hatua ya tatu. Piga hesabu ya kiangazi kwa C: det C=11 × 7 - 16 × 5=-3. Linganisha na thamani ambayo inaweza kupatikana kwa kuzidisha viashiria vya matrices asili. Nambari ni sawa. Nadharia iliyo hapo juu ni kweli.
Nafasi ya bidhaa
Cheo cha matrix ni sifa inayoakisi idadi ya juu zaidi ya safu mlalo au safu wima zinazojitegemea kimstari. Ili kukokotoa kiwango, mabadiliko ya msingi ya matrix hufanywa:
- upangaji upya wa safu mlalo mbili sambamba;
- kuzidisha vipengele vyote vya safu mlalo fulani kutoka kwa jedwali kwa nambari isiyo sifuri;
- kuongeza vipengele vya safu mlalo moja ya vipengele kutoka safu mlalo nyingine, ikizidishwa na nambari mahususi.
Baada ya mabadiliko ya kimsingi, angalia idadi ya mifuatano isiyo sifuri. Nambari yao ni kiwango cha matrix. Fikiria mfano uliopita. Iliwasilisha matrices 2: A yenye vipengele a11=2, a12=3, a21=1 na a22 =1 na B yenye vipengele b11=4, b12=5, b21=1 na b22=2. Pia tutatumia matrix C iliyopatikana kutokana na kuzidisha. Ikiwa tutafanya mabadiliko ya kimsingi, basi hakutakuwa na safu sifuri kwenye matiti zilizorahisishwa. Hii ina maana kwamba wote cheo cha meza A, na cheo cha meza B, na cheojedwali C ni 2.
Sasa hebu tuzingatie sana kiwango cha bidhaa ya matrices. Kuna nadharia inayosema kwamba safu ya bidhaa ya jedwali iliyo na nambari haizidi kiwango cha sababu zozote. Hii inaweza kuthibitishwa. Acha A iwe matrix ya k × na B iwe s × m matrix. Bidhaa za A na B ni sawa na C.
Hebu tujifunze picha hapo juu. Inaonyesha safu wima ya kwanza ya matrix C na nukuu iliyorahisishwa. Safu hii ni mchanganyiko wa mstari wa safu zilizojumuishwa kwenye tumbo A. Vile vile, mtu anaweza kusema kuhusu safu nyingine yoyote kutoka kwa safu ya mstatili C. Kwa hivyo, nafasi ndogo inayoundwa na vekta za safu za jedwali C iko kwenye nafasi ndogo iliyoundwa na vekta za safuwima za jedwali A. Kwa hili Kwa hiyo, kipimo cha nafasi ndogo Na. 1 hakizidi kipimo cha nafasi ndogo Na. 2. Hii ina maana kwamba cheo katika safu wima za jedwali C haizidi cheo katika safu wima za jedwali A, yaani, r(C) ≦ r(A). Ikiwa tunabishana kwa njia inayofanana, basi tunaweza kuhakikisha kuwa safu mlalo za matriki C ni michanganyiko ya mstari ya safumlalo za matrix B. Hii inamaanisha ukosefu wa usawa r(C) ≦ r(B).
Jinsi ya kupata bidhaa ya matrices ni mada tata. Inaweza kufahamika kwa urahisi, lakini ili kufikia matokeo kama hayo, utahitaji kutumia muda mwingi kukariri sheria na nadharia zote zilizopo.
