Matrices na viashirio viligunduliwa katika karne ya kumi na nane na kumi na tisa. Hapo awali, maendeleo yao yalihusu mabadiliko ya vitu vya kijiometri na suluhisho la mifumo ya usawa wa mstari. Kihistoria, msisitizo wa mapema ulikuwa kwenye kiambishi. Katika njia za kisasa za usindikaji wa algebra, matrices huzingatiwa kwanza. Yafaa kutafakari swali hili kwa muda.
Majibu kutoka eneo hili la maarifa
Matrices hutoa njia ya kinadharia na muhimu ya kutatua matatizo mengi, kama vile:
- mifumo ya milinganyo ya mstari;
- usawa wa yabisi (katika fizikia);
- nadharia ya grafu;
- Mtindo wa kiuchumi wa Leontief;
- misitu;
- michoro ya kompyuta na tomografia;
- jenetiki;
- cryptography;
- mitandao ya umeme;
- fractal.
Kwa hakika, aljebra ya matrix ya "dummies" ina ufafanuzi uliorahisishwa. Inaonyeshwa kama ifuatavyo: hii ni uwanja wa kisayansi wa maarifa ambayomaadili yanayohusika yanasomwa, kuchambuliwa na kuchunguzwa kikamilifu. Katika sehemu hii ya aljebra, shughuli mbalimbali kwenye matriki zinazochunguzwa zinachunguzwa.
Jinsi ya kufanya kazi na matrices
Thamani hizi huchukuliwa kuwa sawa ikiwa zina vipimo sawa na kila kipengele cha kimoja ni sawa na kipengele sambamba cha kingine. Inawezekana kuzidisha matrix kwa mara kwa mara yoyote. Hii inaitwa kuzidisha kwa scalar. Mfano: 2=[1234]=[2⋅12⋅32⋅22⋅4]=[2468].
Matrices yenye ukubwa sawa yanaweza kuongezwa na kupunguzwa kwa pembejeo, na thamani za saizi zinazolingana zinaweza kuzidishwa. Mfano: ongeza A na B mbili: A=[21−10]B=[1423]. Hili linawezekana kwa sababu A na B zote mbili ni matiti zilizo na safu mlalo mbili na idadi sawa ya safu wima. Ni muhimu kuongeza kila kipengele katika A kwa kipengele sambamba katika B: A+B=[2+11+2−1+40+3]=[3333]. Matrices hutolewa kwa njia sawa katika aljebra.
Kuzidisha kwa Matrix hufanya kazi kwa njia tofauti kidogo. Aidha, kunaweza kuwa na kesi nyingi na chaguzi, pamoja na ufumbuzi. Ikiwa tutazidisha matrix Apq na Bmn, basi bidhaa Ap×q+Bm×n=[AB]p×n. Kuingia kwenye safu ya gth na safu ya hth ya AB ni jumla ya bidhaa za maingizo yanayolingana katika g A na h B. Inawezekana tu kuzidisha matrices mbili ikiwa idadi ya safu katika kwanza na safu katika pili. ni sawa. Mfano: timiza masharti ya kuzingatiwa A na B: A=[1−130]B=[2−11214]. Hili linawezekana kwa sababu matrix ya kwanza ina safu wima 2 na ya pili ina safu 2. AB=[1⋅2+3⋅−1−1⋅2+0⋅−11⋅1+3⋅2−1⋅1+0⋅21⋅1+3⋅4−1⋅1+0⋅4]=[−1−27−113−1].
Maelezo ya msingi kuhusu matrices
Thamani zinazohusika hupanga taarifa kama vile viambajengo na viunga na kuzihifadhi katika safu mlalo na safu wima, kwa kawaida huitwa C. Kila nafasi katika matrix inaitwa kipengele. Mfano: C=[1234]. Inajumuisha safu mbili na safu mbili. Kipengele cha 4 kiko katika safu mlalo ya 2 na safu wima 2. Kwa kawaida unaweza kutaja matrix baada ya vipimo vyake, ile inayoitwa Cmk ina safu mlalo na k safu wima.
Matrices yaliyopanuliwa
Mazingatio ni mambo muhimu sana ambayo hujitokeza katika maeneo mengi tofauti ya programu. Matrices awali yalitegemea mifumo ya milinganyo ya mstari. Kwa kuzingatia muundo ufuatao wa ukosefu wa usawa, matrix iliyokamilishwa ifuatayo inahitaji kuzingatiwa:
2x + 3y – z=6
–x – y – z=9
x + y + 6z=0.
Andika hesabu na jibu, ikijumuisha alama zote za kuondoa. Ikiwa kipengele kilicho na nambari hasi, basi kitakuwa sawa na "1". Hiyo ni, kwa kuzingatia mfumo wa (linear) equations, inawezekana kuhusisha matrix (gridi ya nambari ndani ya mabano) nayo. Ni ile ambayo ina coefficients tu ya mfumo wa mstari. Hii inaitwa "matrix iliyopanuliwa". Gridi iliyo na viambatanisho kutoka upande wa kushoto wa kila mlinganyo "imebanwa" na majibu kutoka upande wa kulia wa kila mlinganyo.
Rekodi, yaanimaadili ya B ya matrix yanahusiana na maadili ya x-, y-, na z katika mfumo asili. Ikiwa imepangwa vizuri, basi kwanza kabisa uangalie. Wakati mwingine unahitaji kupanga upya masharti au kuingiza sufuri kama vishikilia nafasi kwenye matrix inayosomwa au kusomwa.
Kwa kuzingatia mfumo ufuatao wa milinganyo, tunaweza kuandika mara moja matrix iliyoongezwa inayohusishwa:
x + y=0
y + z=3
z – x=2.
Kwanza, hakikisha kuwa umepanga upya mfumo kama:
x + y=0
y + z=3
–x + z=2.
Kisha inawezekana kuandika matrix inayohusishwa kama: [11000113-1012]. Wakati wa kuunda iliyopanuliwa, inafaa kutumia sifuri kwa rekodi yoyote ambapo eneo linalolingana katika mfumo wa milinganyo ya mstari ni tupu.
Matrix Aljebra: Sifa za Uendeshaji
Ikiwa ni muhimu kuunda vipengele kutoka kwa thamani za mgawo pekee, basi thamani inayozingatiwa itaonekana kama hii: [110011-101]. Hii inaitwa "coefficient matrix".
Kwa kuzingatia aljebra ya matrix iliyopanuliwa ifuatayo, ni muhimu kuiboresha na kuongeza mfumo wa mstari unaohusishwa. Hiyo inasemwa, ni muhimu kukumbuka kwamba zinahitaji vigezo kuwa na mpangilio mzuri na nadhifu. Na kwa kawaida wakati kuna vigezo vitatu, tumia x, y na z kwa mpangilio huo. Kwa hivyo, mfumo wa mstari unaohusishwa unapaswa kuwa:
x + 3y=4
2y - z=5
3x + z=-2.
Ukubwa wa tumbo
Vipengee vinavyohusika mara nyingi hurejelewa na utendakazi wao. Saizi ya matrix katika algebra imetolewa kamavipimo, kwani chumba kinaweza kuitwa tofauti. Vipimo vilivyopimwa vya thamani ni safu na safu, sio upana na urefu. Kwa mfano, matrix A:
[1234]
[2345]
[3456].
Kwa kuwa A ina safu mlalo tatu na safu wima nne, ukubwa wa A ni 3 × 4.
→
↓
Mistari huenda kando. Nguzo huenda juu na chini. "Safu" na "safu" ni vipimo na hazibadiliki. Ukubwa wa tumbo hubainishwa kila wakati na idadi ya safu na kisha idadi ya safu wima. Kufuatia mkataba huu, yafuatayo B:
[123]
[234] ni 2 × 3. Ikiwa matrix ina idadi sawa ya safuwima kama safu wima, basi inaitwa "mraba". Kwa mfano, thamani za mgawo kutoka juu:
[110]
[011]
[-101] ni matrix ya mraba 3×3.
nukuu na umbizo la Matrix
Dokezo la umbizo: Kwa mfano, unapohitaji kuandika matrix, ni muhimu kutumia mabano . Pau za thamani kamili || hazitumiki kwa sababu zina mwelekeo tofauti katika muktadha huu. Mabano au brashi zilizopinda {} hazitumiki kamwe. Au ishara nyingine ya kambi, au hakuna kabisa, kwani mawasilisho haya hayana maana yoyote. Katika algebra, matrix huwa ndani ya mabano ya mraba. Nukuu sahihi pekee lazima itumike, au majibu yanaweza kuchukuliwa kuwa ya upotovu.
Kama ilivyotajwa awali, thamani zilizomo kwenye mkusanyiko huitwa rekodi. Kwa sababu yoyote ile, vipengele vinavyohusika huandikwa kwa kawaidaherufi kubwa, kama vile A au B, na maingizo yamebainishwa kwa kutumia herufi ndogo zinazolingana, lakini kwa maandishi. Katika matrix A, maadili kawaida huitwa "ai, j", ambapo i ni safu ya A na j ni safu ya A. Kwa mfano, a3, 2=8. Ingizo la a1, 3 ni 3.
Kwa matrices madogo, zile zilizo na safu na safu mlalo chini ya kumi, koma ya usajili wakati mwingine huachwa. Kwa mfano, "a1, 3=3" inaweza kuandikwa kama "a13=3". Ni wazi kwamba hii haitafanya kazi kwa matrices kubwa kwani a213 haitafahamika.
Aina za matrix
Wakati mwingine huainishwa kulingana na usanidi wa rekodi zao. Kwa mfano, tumbo kama hilo ambalo lina viingilio vyote vya sifuri chini ya "diagonal" ya juu-kushoto-chini-kulia inaitwa pembetatu ya juu. Miongoni mwa mambo mengine, kunaweza kuwa na aina nyingine na aina, lakini sio muhimu sana. Kwa ujumla, mara nyingi hujulikana kama pembetatu ya juu. Thamani zilizo na vipeo vya zisizo sifuri tu kwa usawa huitwa maadili ya diagonal. Aina kama hizo zina maingizo yasiyo ya sifuri ambayo yote ni 1, majibu kama haya huitwa kufanana (kwa sababu ambazo zitakuwa wazi wakati itajifunza na kuelewa jinsi ya kuzidisha maadili yanayohusika). Kuna viashiria vingi vya utafiti vinavyofanana. Kitambulisho cha 3 × 3 kinaonyeshwa na I3. Vile vile, kitambulisho cha 4 × 4 ni I4.
Matrix Algebra na Nafasi za Linear
Kumbuka kuwa matiti ya pembetatu ni ya mraba. Lakini diagonals ni triangular. Kwa kuzingatia hili, wao nimraba. Na vitambulisho vinazingatiwa diagonals na, kwa hiyo, triangular na mraba. Inapohitajika kuelezea matrix, mtu kawaida hutaja uainishaji wake maalum, kwani hii inamaanisha zingine zote. Panga chaguo zifuatazo za utafiti:kama 3 × 4. Katika kesi hii, sio mraba. Kwa hivyo, maadili hayawezi kuwa kitu kingine chochote. Uainishaji ufuatao:inawezekana kama 3 × 3. Lakini inachukuliwa kuwa mraba, na hakuna kitu maalum kuhusu hilo. Uainishaji wa data zifuatazo:kama 3 × 3 juu ya pembetatu, lakini sio diagonal. Kweli, katika maadili yanayozingatiwa kunaweza kuwa na zero za ziada juu au juu ya nafasi iliyopo na iliyoonyeshwa. Uainishaji unaochunguzwa ni zaidi: [0 0 1] [1 0 0] [0 1 0], ambapo inawakilishwa kama diagonal na, zaidi ya hayo, maingizo yote ni 1. Kisha hii ni 3 × 3 utambulisho., I3.
Kwa kuwa matriki zinazofanana ni kwa ufafanuzi mraba, unahitaji tu kutumia faharasa moja kupata vipimo vyake. Ili matrices mbili ziwe sawa, lazima ziwe na parameta sawa na ziwe na maingizo sawa katika maeneo sawa. Kwa mfano, tuseme kuna vipengele viwili vinavyozingatiwa: A=[1 3 0] [-2 0 0] na B=[1 3] [-2 0]. Thamani hizi haziwezi kuwa sawa kwani ni tofauti kwa ukubwa.
Hata kama A na B ni: A=[3 6] [2 5] [1 4] na B=[1 2 3] [4 5 6] - bado hazifanani. kitu sawa. A na B kila mmoja anayomaingizo sita na pia yana nambari sawa, lakini hii haitoshi kwa matrices. A ni 3×2. Na B ni 2×3. A kwa 3×2 si 2×3. Haijalishi ikiwa A na B wana kiasi sawa cha data au hata nambari sawa na rekodi. Ikiwa A na B si saizi na umbo sawa, lakini zina thamani zinazofanana katika sehemu zinazofanana, si sawa.
Shughuli sawia katika eneo linalozingatiwa
Sifa hii ya usawa wa matrix inaweza kugeuzwa kuwa kazi za utafiti huru. Kwa mfano, matrices mbili hutolewa, na inaonyeshwa kuwa ni sawa. Katika hali hii, utahitaji kutumia usawa huu kuchunguza na kupata majibu ya thamani za viambajengo.
Mifano na suluhu za matrices katika aljebra inaweza kuwa tofauti, hasa linapokuja suala la usawa. Kwa kuzingatia kwamba matrices zifuatazo zinazingatiwa, ni muhimu kupata maadili ya x na y. Ili A na B wawe sawa, lazima wawe na ukubwa sawa na umbo. Kwa kweli, wao ni kama, kwa sababu kila mmoja wao ni 2 × 2 matrices. Na zinapaswa kuwa na maadili sawa katika maeneo sawa. Kisha a1, 1 lazima iwe sawa na b1, 1, a1, 2 lazima iwe sawa na b1, 2, na kadhalika. wao). Lakini, a1, 1=1 ni wazi si sawa na b1, 1=x. Ili A ifanane na B, kiingilio lazima kiwe na a1, 1=b1, 1, kwa hivyo kinaweza kuwa 1=x. Vile vile, fahirisi a2, 2=b2, 2, hivyo 4=y. Kisha suluhisho ni: x=1, y=4. Kutokana na kwamba zifuatazomatrices ni sawa, unahitaji kupata maadili ya x, y na z. Ili kuwa na A=B, migawo lazima iwe na maingizo yote sawa. Hiyo ni, a1, 1=b1, 1, a1, 2=b1, 2, a2, 1=b2, 1 na kadhalika. Hasa, lazima:
4=x
-2=y + 4
3=z / 3.
Kama unavyoona kutoka kwa matriki yaliyochaguliwa: yenye vipengele 1, 1-, 2, 2- na 3, 1. Kutatua milinganyo hii mitatu, tunapata jibu: x=4, y=-6 na z=9. Operesheni za aljebra ya matrix na matrix ni tofauti na zile ambazo kila mtu amezoea, lakini haziwezi kuzaliana.
Maelezo ya ziada katika eneo hili
Aljebra ya mstari wa matrix ni utafiti wa seti zinazofanana za milinganyo na sifa zao za mabadiliko. Sehemu hii ya maarifa hukuruhusu kuchambua mizunguko katika nafasi, takriban miraba, kutatua milinganyo inayohusiana, kuamua mduara unaopitia alama tatu ulizopewa, na kutatua shida zingine nyingi katika hisabati, fizikia na teknolojia. Aljebra ya mstari wa matrix sio maana ya kiufundi ya neno lililotumiwa, yaani, nafasi ya vekta v juu ya sehemu f, n.k.
Matrix na kibainishi ni zana muhimu sana za aljebra ya mstari. Mojawapo ya kazi kuu ni suluhisho la mlinganyo wa matrix Ax=b, kwa x. Ingawa hii inaweza kutatuliwa kinadharia kwa kutumia kinyume x=A-1 b. Mbinu zingine, kama vile uondoaji wa Gaussian, zinaaminika zaidi kiidadi.
Mbali na kutumiwa kuelezea utafiti wa seti za milinganyo, zilizobainishwa.neno lililo hapo juu pia linatumika kuelezea aina fulani ya aljebra. Hasa, L juu ya shamba F ina muundo wa pete yenye misemo yote ya kawaida ya kuongeza na kuzidisha ndani, pamoja na sheria za usambazaji. Kwa hiyo, inatoa muundo zaidi kuliko pete. Aljebra ya matrix ya mstari pia inakubali operesheni ya nje ya kuzidisha kwa scalars ambazo ni vipengele vya sehemu ya msingi F. Kwa mfano, seti ya mabadiliko yote yanayozingatiwa kutoka kwa nafasi ya vekta V hadi yenyewe juu ya shamba F huundwa juu ya F. Mfano mwingine wa mstari wa mstari algebra ni seti ya alama zote za mraba halisi juu ya sehemu ya nambari halisi ya R.
