Kusoma nadharia ya uwezekano huanza na kutatua matatizo ya kujumlisha na kuzidisha uwezekano. Inafaa kutaja mara moja kwamba wakati wa kusimamia uwanja huu wa maarifa, mwanafunzi anaweza kukutana na shida: ikiwa michakato ya mwili au kemikali inaweza kuwakilishwa kwa macho na kueleweka kwa nguvu, basi kiwango cha uondoaji wa hisabati ni cha juu sana, na uelewa hapa unakuja tu na. uzoefu.
Hata hivyo, mchezo ni wa thamani zaidi, kwa sababu fomula - zote mbili zinazozingatiwa katika makala haya na zile ngumu zaidi - zinatumika kila mahali leo na zinaweza kuwa muhimu kazini.
Asili
Cha ajabu, msukumo wa ukuzaji wa sehemu hii ya hisabati ulikuwa … kamari. Hakika, kete, sarafu ya sarafu, poker, roulette ni mifano ya kawaida ambayo hutumia kuongeza na kuzidisha uwezekano. Kwa mfano wa kazi katika kitabu chochote cha maandishi, hii inaweza kuonekana wazi. Watu walipenda kujifunza jinsi ya kuongeza nafasi zao za kushinda, na lazima niseme, baadhi walifanikiwa katika hili.
Kwa mfano, tayari katika karne ya 21, mtu mmoja, ambaye hatutafichua jina lake,alitumia maarifa haya yaliyokusanywa kwa karne nyingi "kusafisha" kasino, na kushinda makumi ya mamilioni ya dola kwenye roulette.
Hata hivyo, licha ya kuongezeka kwa hamu ya somo hili, haikuwa hadi karne ya 20 ambapo mfumo wa kinadharia uliundwa ambao ulifanya "theorver" kuwa sehemu kamili ya hisabati. Leo, katika takriban sayansi yoyote, unaweza kupata hesabu kwa kutumia mbinu za uwezekano.
Utumiaji
Jambo muhimu unapotumia fomula za kujumlisha na kuzidisha uwezekano, uwezekano wa masharti ni kutosheleza kwa nadharia ya kikomo cha kati. Vinginevyo, ingawa huenda mwanafunzi asitambue, mahesabu yote, haijalishi yanawezekana jinsi gani, yatakuwa si sahihi.
Ndiyo, mwanafunzi aliyehamasishwa sana anajaribiwa kutumia maarifa mapya katika kila fursa. Lakini katika kesi hii, mtu anapaswa kupunguza kasi kidogo na kuelezea kwa uwazi upeo wa utumiaji.
Nadharia ya uwezekano hujishughulisha na matukio ya nasibu, ambayo kwa maneno ya kitaalamu ni matokeo ya majaribio: tunaweza kukunja sura ya pande sita, kuchora kadi kutoka kwa sitaha, kutabiri idadi ya sehemu zenye kasoro kwenye kundi. Walakini, katika maswali kadhaa haiwezekani kabisa kutumia fomula kutoka kwa sehemu hii ya hesabu. Tutajadili vipengele vya kuzingatia uwezekano wa tukio, nadharia za kuongeza na kuzidisha matukio mwishoni mwa kifungu, lakini kwa sasa hebu tugeukie mifano.
Dhana za kimsingi
Tukio la nasibu linamaanisha mchakato au matokeo ambayo yanaweza kuonekana au yasionekanekama matokeo ya majaribio. Kwa mfano, tunatupa sandwich - inaweza kuanguka siagi juu au siagi chini. Matokeo yoyote kati ya haya mawili yatakuwa ya nasibu, na hatujui mapema ni lipi kati yao litakalotokea.
Tunaposoma kujumlisha na kuzidisha uwezekano, tunahitaji dhana mbili zaidi.
Matukio ya pamoja ni yale matukio, kutokea kwa moja ambayo hayazuii kutokea kwa jingine. Wacha tuseme watu wawili wanapiga risasi kwenye shabaha kwa wakati mmoja. Mmoja wao akipiga mkwaju kwa mafanikio, haitaathiri uwezo wa mwingine kupiga au kukosa.
Matukio kama haya yatakuwa yasiyolingana, ambayo kutokea kwake haiwezekani kwa wakati mmoja. Kwa mfano, kwa kuvuta mpira mmoja tu nje ya kisanduku, huwezi kupata bluu na nyekundu kwa wakati mmoja.
Muundo
Dhana ya uwezekano inaashiriwa na herufi kubwa ya Kilatini P. Inayofuata katika mabano ni hoja zinazoashiria baadhi ya matukio.
Katika fomula za nadharia ya kuongeza, uwezekano wa masharti, nadharia ya kuzidisha, utaona vielezi kwenye mabano, kwa mfano: A+B, AB au A|B. Zitahesabiwa kwa njia mbalimbali, sasa tutazigeukia.
Nyongeza
Hebu tuzingatie hali ambapo kanuni za kujumlisha na kuzidisha zinatumika.
Kwa matukio yasiyooani, fomula rahisi zaidi ya kujumlisha inafaa: uwezekano wa matokeo yoyote kati ya hayo nasibu yatakuwa sawa na jumla ya uwezekano wa kila moja ya matokeo haya.
Tuseme kuna sanduku lenye puto 2 za bluu, 3 nyekundu na 5 za njano. Kuna vitu 10 kwa jumla kwenye sanduku. Ni asilimia ngapi ya ukweli wa taarifa kwamba tutachora mpira wa bluu au nyekundu? Itakuwa sawa na 2/10 + 3/10, yaani asilimia hamsini.
Katika kesi ya matukio yasiyooani, fomula inakuwa ngumu zaidi, kwa kuwa neno la ziada linaongezwa. Tutairudia katika aya moja, baada ya kuzingatia fomula moja zaidi.
Kuzidisha
Kuongeza na kuzidisha uwezekano wa matukio huru hutumika katika visa tofauti. Ikiwa, kwa mujibu wa hali ya jaribio, tunaridhika na mojawapo ya matokeo mawili iwezekanavyo, tutahesabu jumla; ikiwa tunataka kupata matokeo fulani mawili moja baada ya lingine, tutaamua kutumia fomula tofauti.
Tukirejea kwenye mfano kutoka sehemu iliyotangulia, tunataka kuchora mpira wa bluu kwanza kisha ule mwekundu. Nambari ya kwanza tunayojua ni 2/10. Nini kitatokea baadaye? Kuna mipira 9 iliyobaki, bado kuna idadi sawa ya nyekundu - vipande vitatu. Kulingana na mahesabu, unapata 3/9 au 1/3. Lakini nini cha kufanya na nambari mbili sasa? Jibu sahihi ni kuzidisha ili kupata 2/30.
Matukio ya Pamoja
Sasa tunaweza kurejea fomula ya jumla ya matukio ya pamoja. Kwa nini tunajitenga na mada? Ili kujifunza jinsi uwezekano unazidishwa. Sasa maarifa haya yatakuja kwa manufaa.
Tayari tunajua maneno mawili ya kwanza yatakuwaje (sawa na katika fomula ya nyongeza iliyozingatiwa hapo awali), sasa tunahitaji kutoabidhaa ya uwezekano ambao tumejifunza kuhesabu. Kwa uwazi, tunaandika formula: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Inabadilika kuwa kujumlisha na kuzidisha kwa uwezekano kunatumika katika usemi mmoja.
Tuseme tunapaswa kutatua mojawapo ya matatizo hayo mawili ili kupata mkopo. Tunaweza kutatua ya kwanza kwa uwezekano wa 0.3, na ya pili - 0.6. Suluhisho: 0.3 + 0.6 - 0.18=0.72. Kumbuka kwamba kujumlisha nambari hapa haitatosha.
Uwezekano wa Masharti
Mwishowe, kuna dhana ya uwezekano wa masharti, hoja ambazo zimeonyeshwa kwenye mabano na kutengwa kwa upau wima. Ingizo P(A|B) linasomeka kama ifuatavyo: “uwezekano wa tukio A tukio fulani B”.
Hebu tuangalie mfano: rafiki anakupa kifaa fulani, iwe simu. Inaweza kuvunjwa (20%) au nzuri (80%). Una uwezo wa kutengeneza kifaa chochote kinachoanguka mikononi mwako na uwezekano wa 0.4 au huwezi kuifanya (0.6). Hatimaye, ikiwa kifaa kiko katika mpangilio, unaweza kufikia mtu anayefaa na uwezekano wa 0.7.
Ni rahisi kuona jinsi uwezekano wa masharti unavyofanya kazi katika kesi hii: huwezi kuwasiliana na mtu ikiwa simu imekatika, na ikiwa ni nzuri, huhitaji kuirekebisha. Kwa hivyo, ili kupata matokeo yoyote kwenye "kiwango cha pili", unahitaji kujua ni tukio gani lilitekelezwa kwenye la kwanza.
Mahesabu
Hebu tuzingatie mifano ya kutatua matatizo ya kujumlisha na kuzidisha uwezekano, kwa kutumia data kutoka kwa aya iliyotangulia.
Kwanza, hebu tutafute uwezekano kuwa wewerekebisha kifaa ulichopewa. Ili kufanya hivyo, kwanza, lazima iwe na makosa, na pili, lazima ukabiliane na ukarabati. Hili ni tatizo la kawaida la kuzidisha: tunapata 0.20.4=0.08.
Je, kuna uwezekano gani kwamba utapitia kwa mtu sahihi mara moja? Rahisi kuliko rahisi: 0.80.7=0.56 Katika hali hii, umegundua kuwa simu inafanya kazi na ukapiga simu kwa ufanisi.
Mwishowe, zingatia hali hii: ulipokea simu iliyoharibika, ukairekebisha, kisha ukapiga nambari hiyo, na mtu wa upande wa pili akajibu simu. Hapa, kuzidisha kwa vipengele vitatu tayari kunahitajika: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Na vipi ikiwa una simu mbili zisizofanya kazi kwa wakati mmoja? Je, kuna uwezekano gani wa kurekebisha angalau mojawapo? Hili ni tatizo la kuongeza na kuzidisha uwezekano, kwani matukio ya pamoja hutumiwa. Suluhisho: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Matumizi kwa uangalifu
Kama ilivyotajwa mwanzoni mwa kifungu, matumizi ya nadharia ya uwezekano yanapaswa kuwa ya kimakusudi na makini.
Kadiri mfululizo wa majaribio unavyoongezeka, ndivyo thamani iliyotabiriwa kinadharia inavyokaribia ile ya vitendo. Kwa mfano, tunatupa sarafu. Kinadharia, tukijua juu ya uwepo wa fomula za kuongeza na kuzidisha uwezekano, tunaweza kutabiri ni mara ngapi vichwa na mikia itaanguka ikiwa tutafanya jaribio mara 10. Tulifanya majaribio naKwa bahati mbaya, uwiano wa pande zilizoshuka ulikuwa 3 hadi 7. Lakini ikiwa unafanya mfululizo wa majaribio 100, 1000 au zaidi, inageuka kuwa grafu ya usambazaji inakaribia na karibu na moja ya kinadharia: 44 hadi 56, 482 hadi. 518 na kadhalika.
Sasa fikiria kuwa jaribio hili halifanywi na sarafu, bali kwa utengenezaji wa dutu mpya ya kemikali, uwezekano ambao hatuujui. Tungeendesha majaribio 10 na, ikiwa hatukupata matokeo ya mafanikio, tunaweza kujumlisha: "dutu haiwezi kupatikana." Lakini ni nani anayejua, kama tungefanya jaribio la kumi na moja, tungefikia lengo au la?
Kwa hivyo ikiwa unaenda kusikojulikana, eneo ambalo halijagunduliwa, nadharia ya uwezekano inaweza isitumike. Kila jaribio linalofuata katika kesi hii linaweza kufanikiwa na ujumuishaji wa jumla kama vile "X haipo" au "X haiwezekani" utakuwa wa mapema.
Neno la kufunga
Kwa hivyo tumeangalia aina mbili za kuongeza, uwezekano wa kuzidisha na wa masharti. Kwa kusoma zaidi eneo hili, inahitajika kujifunza kutofautisha hali wakati kila fomula maalum inatumiwa. Kwa kuongeza, unahitaji kuelewa ikiwa mbinu za uwezekano zinatumika kwa ujumla kutatua tatizo lako.
Ukifanya mazoezi, baada ya muda utaanza kutekeleza shughuli zote zinazohitajika akilini mwako pekee. Kwa wale wanaopenda michezo ya kadi, ujuzi huu unaweza kuzingatiwathamani sana - utaongeza kwa kiasi kikubwa nafasi zako za kushinda, kwa kuhesabu tu uwezekano wa kadi fulani au suti kuanguka nje. Hata hivyo, maarifa yaliyopatikana yanaweza kutumika kwa urahisi katika maeneo mengine ya shughuli.
