Kuna uwezekano kwamba watu wengi hufikiria kama inawezekana kukokotoa matukio ambayo ni ya nasibu zaidi au kidogo. Kwa maneno rahisi, ni kweli kujua ni upande gani wa kufa kwenye kete utatoka. Lilikuwa swali hili ambalo wanasayansi wawili wakubwa waliuliza, ambao waliweka msingi wa sayansi kama vile nadharia ya uwezekano, ambapo uwezekano wa tukio huchunguzwa kwa kina kabisa.
Asili
Ukijaribu kufafanua dhana kama hii kama nadharia ya uwezekano, unapata yafuatayo: hii ni mojawapo ya matawi ya hisabati ambayo huchunguza uwepo wa matukio nasibu. Bila shaka, dhana hii haifichui kiini kizima, kwa hivyo ni muhimu kuizingatia kwa undani zaidi.
Ningependa kuanza na waundaji wa nadharia. Kama ilivyoelezwa hapo juu, kulikuwa na wawili kati yao, hawa ni Pierre Fermat na Blaise Pascal. Ni wao ambao walikuwa wa kwanza ambao walijaribu kukokotoa matokeo ya tukio kwa kutumia fomula na hesabu za hisabati. Kwa ujumla, kanuni za sayansi hii zilionekana mapemaUmri wa kati. Wakati huo, wanafikra na wanasayansi mbalimbali walijaribu kuchambua kamari, kama vile roulette, craps, na kadhalika, na hivyo kuanzisha muundo na asilimia ya nambari fulani inayoanguka. Msingi uliwekwa katika karne ya kumi na saba na wanasayansi waliotajwa.
Mwanzoni, kazi yao haikuweza kuhusishwa na mafanikio makubwa katika nyanja hii, kwa sababu kila kitu walichofanya kilikuwa ukweli wa majaribio, na majaribio yaliwekwa kwa kuonekana, bila kutumia fomula. Baada ya muda, iliibuka kufikia matokeo mazuri, ambayo yalionekana kama matokeo ya kutazama kurushwa kwa kete. Ni zana hii iliyosaidia kupata fomula za kwanza zinazoeleweka.
Washirika
Haiwezekani kutomtaja mtu kama Christian Huygens, katika mchakato wa kusoma mada inayoitwa "nadharia ya uwezekano" (uwezekano wa tukio unashughulikiwa kwa usahihi katika sayansi hii). Mtu huyu anavutia sana. Yeye, kama wanasayansi waliowasilishwa hapo juu, alijaribu kupata kawaida ya matukio ya nasibu kwa njia ya fomula za hesabu. Ni muhimu kukumbuka kuwa hakufanya hivi pamoja na Pascal na Fermat, ambayo ni kwamba, kazi zake zote hazikuingiliana kwa njia yoyote na akili hizi. Huygens alipata dhana za kimsingi za nadharia ya uwezekano.
Ukweli wa kuvutia ni kwamba kazi yake ilitoka muda mrefu kabla ya matokeo ya kazi ya waanzilishi, au tuseme, miaka ishirini mapema. Miongoni mwa dhana zilizoteuliwa, maarufu zaidi ni:
- dhana ya uwezekano kama ukubwa wa bahati nasibu;
- matarajio ya kipekeekesi;
- nadharia za kuzidisha na kuongeza uwezekano.
Pia haiwezekani kutomkumbuka Jacob Bernoulli, ambaye pia alitoa mchango mkubwa katika utafiti wa tatizo. Akifanya vipimo vyake mwenyewe, bila ya mtu yeyote, aliweza kuwasilisha uthibitisho wa sheria ya idadi kubwa. Kwa upande wake, wanasayansi Poisson na Laplace, ambao walifanya kazi mwanzoni mwa karne ya kumi na tisa, waliweza kuthibitisha nadharia za awali. Ilikuwa kutoka wakati huu ambapo nadharia ya uwezekano ilianza kutumiwa kuchanganua makosa katika uchunguzi. Wanasayansi wa Urusi, au tuseme Markov, Chebyshev na Dyapunov, hawakuweza kupita sayansi hii pia. Kulingana na kazi iliyofanywa na wasomi wakuu, waliweka somo hili kama tawi la hisabati. Takwimu hizi tayari zilifanya kazi mwishoni mwa karne ya kumi na tisa, na shukrani kwa mchango wao, matukio kama vile:
- sheria ya idadi kubwa;
- nadharia ya mnyororo wa Markov;
- nadharia ya kikomo cha kati.
Kwa hivyo, kwa historia ya kuzaliwa kwa sayansi na watu wakuu walioishawishi, kila kitu kiko wazi zaidi au kidogo. Sasa ni wakati wa kubainisha ukweli wote.
Dhana za kimsingi
Kabla ya kugusia sheria na nadharia, inafaa kusoma dhana za kimsingi za nadharia ya uwezekano. Tukio hilo linachukua jukumu kuu ndani yake. Mada hii ni pana sana, lakini bila hiyo haitawezekana kuelewa kila kitu kingine.
Tukio katika nadharia ya uwezekano ni seti yoyote ya matokeo ya jaribio. Hakuna dhana nyingi za jambo hili. Kwa hivyo, mwanasayansi Lotman,kufanya kazi katika eneo hili, alisema kwamba katika kesi hii tunazungumza juu ya jambo ambalo "lililotokea, ingawa linaweza kuwa halijatokea."
Matukio ya nasibu (nadharia ya uwezekano hulipa kipaumbele maalum kwao) ni dhana inayodokeza kabisa jambo lolote ambalo lina uwezo wa kutokea. Au, kinyume chake, hali hii inaweza kutokea wakati hali nyingi zinatimizwa. Inafaa pia kujua kuwa ni matukio ya nasibu ambayo yanakamata kiasi kizima cha matukio ambayo yametokea. Nadharia ya uwezekano inaonyesha kuwa hali zote zinaweza kurudiwa kila wakati. Ni mwenendo wao ambao uliitwa "uzoefu" au "mtihani".
Tukio fulani ni lile ambalo litafanyika 100% katika jaribio fulani. Ipasavyo, tukio lisilowezekana ni lile ambalo halitatokea.
Mchanganyiko wa jozi ya vitendo (kawaida herufi A na kisanduku B) ni jambo linalotokea kwa wakati mmoja. Zimeteuliwa kama AB.
Jumla ya jozi za matukio A na B ni C, kwa maneno mengine, ikiwa angalau moja ya matukio hayo yatatokea (A au B), basi C itapatikana. Fomula ya jambo lililofafanuliwa imeandikwa kama ifuatavyo.: C=A + B.
Matukio tofauti katika nadharia ya uwezekano yanaashiria kuwa visa viwili ni vya kipekee. Haziwezi kutokea kwa wakati mmoja. Matukio ya pamoja katika nadharia ya uwezekano ni antipode yao. Hii ina maana kwamba ikiwa A ilitokea, basi haiingiliani na B.
Matukio pinzani (nadharia ya uwezekano inayashughulikia kwa kina) ni rahisi kuelewa. Ni bora kukabiliana nao kwa kulinganisha. Wao ni karibu sawa nana matukio yasiyolingana katika nadharia ya uwezekano. Lakini tofauti yao iko katika ukweli kwamba moja ya matukio mengi lazima yatokee hata hivyo.
Matukio sawa ni yale matendo, ambayo uwezekano wake ni sawa. Ili kuifanya iwe wazi zaidi, tunaweza kufikiria kurushwa kwa sarafu: kuanguka kwa upande mmoja wa upande wake kuna uwezekano sawa wa kuanguka kwa upande mwingine.
Tukio la kufurahisha ni rahisi kuona kwa mfano. Wacha tuseme kuna sehemu ya B na sehemu A. Ya kwanza ni safu ya kete na kuonekana kwa nambari isiyo ya kawaida, na ya pili ni kuonekana kwa nambari tano kwenye kufa. Kisha ikawa kwamba A inapendelea B.
Matukio huru katika nadharia ya uwezekano yanakadiriwa tu katika visa viwili au zaidi na kuashiria uhuru wa kitendo chochote kutoka kwa kingine. Kwa mfano, A ni kupoteza kwa mikia wakati sarafu inatupwa, na B ni mchoro wa jack kutoka kwenye staha. Ni matukio huru katika nadharia ya uwezekano. Kwa wakati huu ilizidi kuwa wazi.
Matukio tegemezi katika nadharia ya uwezekano pia yanakubalika kwa seti yake pekee. Wanamaanisha utegemezi wa moja kwa nyingine, yaani, jambo B linaweza kutokea tu ikiwa A tayari imetokea au, kinyume chake, haijatokea, wakati hii ndiyo hali kuu ya B.
Matokeo ya jaribio la nasibu linalojumuisha kipengele kimoja ni matukio ya kimsingi. Nadharia ya uwezekano inaeleza kuwa hili ni jambo lililotokea mara moja tu.
Mfumo wa kimsingi
Kwa hivyo, dhana za "tukio", "nadharia ya uwezekano",ufafanuzi wa masharti ya msingi ya sayansi hii pia ulitolewa. Sasa ni wakati wa kufahamiana moja kwa moja na kanuni muhimu. Semi hizi zinathibitisha kihisabati dhana zote kuu katika somo gumu kama nadharia ya uwezekano. Uwezekano wa tukio una jukumu kubwa hapa pia.
Bora anza na kanuni za msingi za viunganishi. Na kabla ya kuendelea kwao, inafaa kuzingatia ni nini.
Combinatorics kimsingi ni tawi la hisabati, inashughulika na uchunguzi wa idadi kubwa ya nambari, na vile vile vibali mbalimbali vya nambari zenyewe na vipengele vyake, data mbalimbali, nk, na kusababisha kuonekana kwa idadi ya mchanganyiko. Kando na nadharia ya uwezekano, tawi hili ni muhimu kwa takwimu, sayansi ya kompyuta na cryptography.
Kwa hivyo sasa tunaweza kuendelea na kuwasilisha fomula zenyewe na kuzifafanua.
Ya kwanza itakuwa usemi wa idadi ya vibali, inaonekana kama hii:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Mlinganyo hutumika tu ikiwa vipengele vinatofautiana kwa mpangilio pekee.
Sasa fomula ya uwekaji itazingatiwa, inaonekana hivi:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Usemi huu hauhusu tu mpangilio wa kipengele, bali pia utunzi wake.
Mlinganyo wa tatu kutoka kwa viunganishi, na pia ni wa mwisho, unaitwa fomula ya idadi ya michanganyiko:
C_n^m=n !: ((n -m))!:m !
Michanganyiko ni chaguo ambazo hazijaagizwa, mtawalia, na sheria hii inatumika kwao.
Imegeuka kuwa rahisi kubaini fomula za viunganishi, sasa tunaweza kuendelea na ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano. Usemi huu unaonekana hivi:
P(A)=m: n.
Katika fomula hii, m ni nambari ya masharti yanayofaa kwa tukio A, na n ni nambari ya matokeo yote ya kimsingi na ya msingi kabisa yanayowezekana kwa usawa.
Kuna idadi kubwa ya misemo, makala haitashughulikia zote, lakini muhimu zaidi itaguswa, kama, kwa mfano, uwezekano wa jumla ya matukio:
P(A + B)=P(A) + P(B) - nadharia hii ni ya kuongeza matukio yasiooani pekee;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - na hii ni kwa ajili ya kuongeza zinazolingana pekee.
Uwezekano wa kutengeneza matukio:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) - nadharia hii ni ya matukio huru;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - na hii ni ya waraibu.
Mfumo wa tukio humaliza orodha. Nadharia ya uwezekano inatuambia kuhusu nadharia ya Bayes, ambayo inaonekana kama hii:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Katika fomula hii, H1, H2, …, H kundi kamili la nadharia tete.
Hebu tuishie hapa, kisha mifano ya kutumia fomula kutatua matatizo mahususi kutokana na mazoezi itazingatiwa.
Mifano
Ukisoma kwa makini sehemu yoyotehisabati, haifanyi bila mazoezi na suluhisho za sampuli. Ndivyo ilivyo nadharia ya uwezekano: matukio, mifano hapa ni sehemu muhimu inayothibitisha hesabu za kisayansi.
Mfumo wa idadi ya vibali
Tuseme kuna kadi thelathini kwenye sitaha ya kadi, tukianza na thamani ya uso wa kwanza. Swali linalofuata. Je, kuna njia ngapi za kuweka sitaha ili kadi zenye thamani ya uso wa moja na mbili zisiwe karibu na nyingine?
Jukumu limewekwa, sasa tuendelee kulitatua. Kwanza unahitaji kuamua idadi ya vibali vya vipengele thelathini, kwa hili tunachukua fomula hapo juu, inageuka P_30=30!.
Kulingana na sheria hii, tutajua ni chaguo ngapi za kukunja sitaha kwa njia tofauti, lakini tunahitaji kuondoa kutoka kwao zile ambazo kadi ya kwanza na ya pili zifuatayo. Ili kufanya hivyo, hebu tuanze na chaguo wakati ya kwanza iko juu ya pili. Inatokea kwamba kadi ya kwanza inaweza kuchukua nafasi ishirini na tisa - kutoka kwa kwanza hadi ishirini na tisa, na kadi ya pili kutoka kwa pili hadi ya thelathini, inageuka maeneo ishirini na tisa kwa jozi ya kadi. Kwa upande mwingine, wengine wanaweza kuchukua nafasi ishirini na nane, na kwa utaratibu wowote. Hiyo ni, kwa idhini ya kadi ishirini na nane, kuna chaguzi ishirini na nane P_28=28!
Kutokana na hayo, inabadilika kuwa ikiwa tutazingatia suluhu wakati kadi ya kwanza inaisha ya pili, kuna uwezekano 29 ⋅ 28 wa ziada!=29!
Kwa kutumia mbinu sawa, unahitaji kukokotoa idadi ya chaguo zisizohitajika kwa kesi wakati kadi ya kwanza iko chini ya ya pili. Pia zinageuka 29 ⋅ 28!=29!
Inafuata kuwa kuna chaguo 2 ⋅ 29 za ziada!, ilhali kuna njia 30 zinazohitajika kuunda sitaha! - 2 ⋅ 29!. Inabakia kuhesabiwa tu.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Sasa unahitaji kuzidisha nambari zote kutoka moja hadi ishirini na tisa kwa pamoja, na kisha mwisho zidisha kila kitu kwa 28. Jibu ni 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Suluhisho la mfano. Mfumo wa Nambari ya Nafasi
Katika tatizo hili, unahitaji kujua ni njia ngapi za kuweka juzuu kumi na tano kwenye rafu moja, lakini chini ya hali ya kuwa kuna juzuu thelathini kwa jumla.
Tatizo hili lina suluhisho rahisi kidogo kuliko lile la awali. Kwa kutumia fomula inayojulikana tayari, ni muhimu kukokotoa jumla ya idadi ya maeneo kutoka juzuu thelathini ya kumi na tano.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ 16=202 843 30704 9
Jibu, mtawalia, litakuwa 202 843 204 931 727 360 000.
Sasa hebu tufanye jukumu hili kwa ugumu zaidi. Unahitaji kujua ni njia ngapi za kupanga vitabu thelathini kwenye rafu mbili za vitabu, mradi tu juzuu kumi na tano zinaweza kuwa kwenye rafu moja.
Kabla ya kuanza suluhu, ningependa kufafanua kuwa baadhi ya matatizo yanatatuliwa kwa njia kadhaa, kwa hivyo kuna njia mbili katika hii, lakini fomula sawa inatumika katika zote mbili.
Katika tatizo hili, unaweza kuchukua jibu kutoka kwa lile lililotangulia, kwa sababu hapo tulihesabu ni mara ngapi unaweza kujaza rafu na vitabu kumi na tano kwa-tofauti. Ilibadilika kuwa A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Tutahesabu rafu ya pili kwa kutumia fomula ya vibali, kwa sababu vitabu kumi na tano vimewekwa humo, huku vikisalia kumi na tano pekee. Tumia fomula P_15=15!.
Inabadilika kuwa jumla itakuwa A_30^15 ⋅ P_15 njia, lakini, kwa kuongeza, bidhaa ya nambari zote kutoka thelathini hadi kumi na sita italazimika kuzidishwa na bidhaa ya nambari kutoka moja hadi kumi na tano, kama matokeo yake, bidhaa ya nambari zote kutoka kwa moja hadi thelathini, kwa hivyo jibu ni 30!
Lakini tatizo hili linaweza kutatuliwa kwa njia tofauti - rahisi zaidi. Ili kufanya hivyo, unaweza kufikiria kuwa kuna rafu moja ya vitabu thelathini. Wote wamewekwa kwenye ndege hii, lakini kwa kuwa hali inahitaji kuwa na rafu mbili, tunapunguza moja kwa muda mrefu kwa nusu, inageuka mbili kumi na tano kila mmoja. Kutokana na hili inabadilika kuwa chaguzi za uwekaji zinaweza kuwa P_30=30!.
Suluhisho la mfano. Mfumo wa nambari mchanganyiko
Sasa tutazingatia lahaja la tatizo la tatu kutoka kwa viunganishi. Unahitaji kujua ni njia ngapi za kupanga vitabu kumi na tano, mradi unahitaji kuchagua kutoka thelathini zinazofanana kabisa.
Kwa suluhisho, bila shaka, fomula ya idadi ya michanganyiko itatumika. Kutokana na hali hiyo inakuwa wazi kwamba mpangilio wa vitabu kumi na tano vinavyofanana sio muhimu. Kwa hivyo, mwanzoni unahitaji kujua jumla ya idadi ya mchanganyiko wa vitabu thelathini vya kumi na tano.
C_30^15=30 !: ((30-15)) ! kumi na tano!=155 117 520
Ni hayo tu. Kutumia fomula hii, kwa muda mfupi iwezekanavyo iliwezekanasuluhisha tatizo kama hilo, jibu, mtawalia, ni 155 117 520.
Suluhisho la mfano. Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano
Kwa fomula iliyo hapo juu, unaweza kupata jibu la tatizo rahisi. Lakini itasaidia kuibua kuona na kufuata mkondo wa vitendo.
Imetolewa katika tatizo kwamba kuna mipira kumi inayofanana kabisa kwenye mkojo. Kati ya hizi, nne ni njano na sita ni bluu. Mpira mmoja unachukuliwa kutoka kwenye mkojo. Unahitaji kujua uwezekano wa kupata bluu.
Ili kutatua tatizo, ni muhimu kuteua kupata mpira wa buluu kama tukio A. Tukio hili linaweza kuwa na matokeo kumi, ambayo, kwa upande wake, ni ya msingi na yanawezekana kwa usawa. Wakati huo huo, kati ya kumi, sita zinafaa kwa tukio A. Tunatatua kulingana na fomula:
P(A)=6: 10=0, 6
Kwa kutumia fomula hii, tuligundua kuwa uwezekano wa kupata mpira wa bluu ni 0.6.
Suluhisho la mfano. Uwezekano wa jumla ya matukio
Sasa kibadala kitawasilishwa, ambacho kitatatuliwa kwa kutumia fomula ya uwezekano wa jumla ya matukio. Kwa hiyo, katika hali iliyotolewa kwamba kuna masanduku mawili, ya kwanza ina mipira moja ya kijivu na tano nyeupe, na ya pili ina mipira minane ya kijivu na nne nyeupe. Kama matokeo, mmoja wao alichukuliwa kutoka kwa sanduku la kwanza na la pili. Unahitaji kujua ni nafasi gani kwamba mipira utakayopata itakuwa ya kijivu na nyeupe.
Ili kutatua tatizo hili, unahitaji kuweka matukio lebo.
- Kwa hivyo, A - chukua mpira wa kijivu kutoka kwenye kisanduku cha kwanza: P(A)=1/6.
- A’ – chukua mpira mweupe pia kutoka kwenye kisanduku cha kwanza: P(A')=5/6.
- B – mpira wa kijivu tayari umetolewa nje ya kisanduku cha pili: P(B)=2/3.
- B’ – chukua mpira wa kijivu kutoka kwenye kisanduku cha pili: P(B')=1/3.
Kulingana na hali ya tatizo, moja ya matukio lazima yatokee: AB' au A'B. Kwa kutumia fomula, tunapata: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Sasa fomula ya uwezekano wa kuzidisha imetumika. Ifuatayo, ili kujua jibu, unahitaji kutumia mlingano kwa nyongeza yao:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Hivi ndivyo jinsi, kwa kutumia fomula, unaweza kutatua matatizo sawa.
matokeo
Makala yalitoa maelezo kuhusu mada "Nadharia ya Uwezekano", ambapo uwezekano wa tukio una jukumu muhimu. Kwa kweli, sio kila kitu kilizingatiwa, lakini, kwa kuzingatia maandishi yaliyowasilishwa, mtu anaweza kufahamiana kinadharia na sehemu hii ya hesabu. Sayansi inayohusika inaweza kuwa na manufaa si tu katika kazi ya kitaaluma, bali pia katika maisha ya kila siku. Kwa msaada wake, unaweza kukokotoa uwezekano wowote wa tukio lolote.
Maandishi pia yaligusia tarehe muhimu katika historia ya kuundwa kwa nadharia ya uwezekano kama sayansi, na majina ya watu ambao kazi zao ziliwekezwa humo. Hivi ndivyo udadisi wa kibinadamu ulisababisha ukweli kwamba watu walijifunza kuhesabu hata matukio ya nasibu. Mara tu walipendezwa nayo, lakini leo kila mtu tayari anajua kuhusu hilo. Na hakuna mtu atakayesema nini kinatungojea katika siku zijazo, ni uvumbuzi gani mwingine mzuri unaohusiana na nadharia inayozingatiwa utafanywa. Lakini jambo moja ni hakika - utafiti haujasimama!
