Wengi, wanaokabiliwa na dhana ya "nadharia ya uwezekano", wanaogopa, wakifikiri kwamba hili ni jambo la kutisha, tata sana. Lakini ni kweli si kwamba wote kutisha. Leo tutazingatia dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano, kujifunza jinsi ya kutatua matatizo kwa kutumia mifano maalum.
Sayansi
Tawi la hisabati kama vile "nadharia ya uwezekano" linasoma nini? Inabainisha mifumo ya matukio nasibu na idadi. Kwa mara ya kwanza, wanasayansi walipendezwa na suala hili nyuma katika karne ya kumi na nane, waliposoma kamari. Dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano ni tukio. Ni ukweli wowote unaothibitishwa na uzoefu au uchunguzi. Lakini uzoefu ni nini? Dhana nyingine ya msingi ya nadharia ya uwezekano. Ina maana kwamba muundo huu wa hali haukuundwa kwa bahati, lakini kwa madhumuni maalum. Kuhusu uchunguzi, hapa mtafiti mwenyewe hashiriki katika majaribio, bali ni shahidi tu wa matukio haya, haathiri kinachotokea kwa namna yoyote ile.
Matukio
Tulijifunza kuwa dhana ya msingi ya nadharia ya uwezekano ni tukio, lakini hatukuzingatia uainishaji. Zote zimegawanywa katika kategoria zifuatazo:
- Ya kuaminika.
- Haiwezekani.
- Nasibu.
Haijalishini aina gani ya matukio yanayozingatiwa au kuundwa kwa uzoefu, wote wako chini ya uainishaji huu. Tunajitolea kufahamiana na kila spishi kivyake.
Tukio fulani
Hii ni hali ambayo kabla yake seti muhimu ya hatua imechukuliwa. Ili kuelewa kiini vizuri, ni bora kutoa mifano michache. Fizikia, kemia, uchumi, na hisabati ya juu ziko chini ya sheria hii. Nadharia ya uwezekano inajumuisha dhana muhimu kama tukio fulani. Hii hapa baadhi ya mifano:
- Tunafanya kazi na kupata ujira kwa njia ya ujira.
- Tulifaulu mitihani vizuri, tumefaulu mashindano, kwa hili tunapokea zawadi ya kujiunga na taasisi ya elimu.
- Tuliwekeza pesa kwenye benki, tutazipata ikibidi.
Matukio kama haya ni ya kuaminika. Ikiwa tumetimiza masharti yote muhimu, basi bila shaka tutapata matokeo yaliyotarajiwa.
Matukio yasiyowezekana
Sasa tunazingatia vipengele vya nadharia ya uwezekano. Tunapendekeza kuendelea na maelezo ya aina inayofuata ya tukio, yaani, haiwezekani. Kwanza, hebu tubainishe kanuni muhimu zaidi - uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.
Huwezi kupotoka kutoka kwa maneno haya wakati wa kutatua matatizo. Ili kufafanua, hapa kuna mifano ya matukio kama haya:
- Maji yaliganda kwa kuongeza kumi (hilo haliwezekani).
- Ukosefu wa umeme hauathiri uzalishaji kwa njia yoyote ile (haiwezekani tu kama katika mfano uliopita).
Mifano zaidiSio thamani ya kutaja, kwani yale yaliyoelezwa hapo juu yanaonyesha wazi kiini cha kitengo hiki. Tukio lisilowezekana halitawahi kutokea wakati wa matumizi chini ya hali yoyote.
Matukio nasibu
Kusoma vipengele vya nadharia ya uwezekano, tahadhari maalum inapaswa kulipwa kwa aina hii ya tukio. Hiyo ndiyo sayansi inasoma. Kama matokeo ya uzoefu, jambo linaweza kutokea au haliwezi kutokea. Kwa kuongeza, mtihani unaweza kurudiwa idadi isiyo na kikomo ya nyakati. Mifano wazi ni:
- Kurusha sarafu ni tukio, au jaribio, kichwa ni tukio.
- Kuchora mpira kwenye begi kwa upofu ni mtihani, mpira mwekundu unanaswa ni tukio na kadhalika.
Kunaweza kuwa na idadi isiyo na kikomo ya mifano kama hii, lakini, kwa ujumla, kiini kinapaswa kuwa wazi. Kwa muhtasari na kupanga maarifa yaliyopatikana juu ya matukio, meza imetolewa. Nadharia ya uwezekano huchunguza tu aina ya mwisho ya zote zilizowasilishwa.
| kichwa | ufafanuzi | mfano |
| Ya kuaminika | Matukio yanayotokea kwa dhamana ya 100% chini ya masharti fulani. | Kuandikishwa kwa taasisi ya elimu iliyo na mtihani mzuri wa kujiunga. |
| Haiwezekani | Matukio ambayo hayatawahi kutokea kwa hali yoyote ile. | Kuna theluji kwenye halijoto ya nyuzi joto zaidi ya thelathini. |
| Nasibu | Tukio ambalo linaweza kutokea au lisitendeke wakati wa jaribio/jaribio. | Gonga au ukose wakati unarusha mpira wa vikapu kwenye hoop. |
Sheria
Nadharia ya uwezekano ni sayansi inayochunguza uwezekano wa tukio kutokea. Kama wengine, ina sheria fulani. Kuna sheria zifuatazo za nadharia ya uwezekano:
- Muunganisho wa mfuatano wa vigeu visivyo na mpangilio.
- Sheria ya idadi kubwa.
Unapokokotoa uwezekano wa changamano, unaweza kutumia mchanganyiko wa matukio rahisi kufikia matokeo kwa njia rahisi na ya haraka zaidi. Kumbuka kwamba sheria za nadharia ya uwezekano zinathibitishwa kwa urahisi kwa msaada wa baadhi ya nadharia. Wacha tuanze na sheria ya kwanza.
Muunganisho wa mfuatano wa viwezo nasibu
Kumbuka kwamba kuna aina kadhaa za muunganisho:
- Msururu wa vigeu vya nasibu huungana katika uwezekano.
- Karibu haiwezekani.
- muunganisho wa RMS.
- Muunganisho katika usambazaji.
Kwa hivyo, kwa haraka, ni vigumu sana kufikia mwisho wake. Hapa kuna baadhi ya ufafanuzi ili kukusaidia kuelewa mada hii. Wacha tuanze na sura ya kwanza. Mfuatano unaitwa kuunganika kwa uwezekano ikiwa hali ifuatayo inatimizwa: n huelekea kutokuwa na kikomo, nambari ambayo mfuatano huelekea ni kubwa kuliko sifuri na inakaribia moja.
Kwenda kwenye mwonekano unaofuata, bila shaka. Wanasema hivyomlolongo hubadilika kwa hakika kuwa kigezo cha nasibu na n kuelekeza kwa infinity na P ikilenga thamani karibu na moja.
Aina inayofuata ni muunganisho wa mizizi-maana-mraba. Wakati wa kutumia muunganisho wa SC, utafiti wa michakato nasibu ya vekta hupunguzwa kuwa utafiti wa michakato yao ya nasibu ya kuratibu.
Aina ya mwisho imesalia, hebu tuiangalie kwa ufupi ili kuendelea moja kwa moja kutatua matatizo. Muunganisho wa usambazaji una jina lingine - "dhaifu", tutaelezea kwa nini hapa chini. Muunganisho hafifu ni muunganisho wa vitendakazi vya usambazaji katika sehemu zote za mwendelezo wa chaguo za kukokotoa za usambazaji wa kikomo.
Hakikisha kuwa umetimiza ahadi: muunganiko hafifu hutofautiana na yote yaliyo hapo juu kwa kuwa utofauti wa nasibu haujabainishwa kwenye nafasi ya uwezekano. Hili linawezekana kwa sababu hali hii imeundwa kwa kutumia vitendaji vya usambazaji pekee.
Sheria ya idadi kubwa
Wasaidizi bora katika kuthibitisha sheria hii watakuwa nadharia za nadharia ya uwezekano, kama vile:
- kukosekana kwa usawa kwa Chebyshev.
- nadharia ya Chebyshev.
- Nadharia ya Jumla ya Chebyshev.
- nadharia ya Markov.
Tukizingatia nadharia hizi zote, basi swali hili linaweza kuendelea kwa laha kadhaa. Kazi yetu kuu ni kutumia nadharia ya uwezekano katika mazoezi. Tunakualika ufanye hivi sasa hivi. Lakini kabla ya hapo, hebu tuzingatie mihimili ya nadharia ya uwezekano, watakuwa wasaidizi wakuu katika kutatua matatizo.
Axioms
Tayari tulikutana na ya kwanza tulipozungumza kuhusu tukio lisilowezekana. Hebu tukumbuke: uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri. Tulitoa mfano wazi na wa kukumbukwa: ilianguka theluji kwenye halijoto ya hewa ya nyuzi joto thelathini.
Ya pili inasikika hivi: tukio la kutegemewa hutokea likiwa na uwezekano sawa na moja. Sasa hebu tuonyeshe jinsi ya kuiandika kwa kutumia lugha ya hisabati: P(B)=1.
Tatu: Tukio la nasibu linaweza kutokea au lisitokee, lakini uwezekano huwa kati ya sufuri hadi moja. Kadiri thamani inavyokaribia moja, ndivyo nafasi inavyokuwa kubwa; ikiwa thamani inakaribia sifuri, uwezekano ni mdogo sana. Hebu tuandike hili katika lugha ya hisabati: 0<Р(С)<1.
Hebu tuchunguze msemo wa mwisho, wa nne, ambao unasikika kama hii: uwezekano wa jumla wa matukio mawili ni sawa na jumla ya uwezekano wake. Tunaandika kwa lugha ya hisabati: P (A + B) u003d P (A) + P (B)
Mihimili ya nadharia ya uwezekano ndizo kanuni rahisi ambazo ni rahisi kukumbuka. Hebu tujaribu kutatua baadhi ya matatizo, kulingana na ujuzi ambao tayari tumeupata.
Tiketi ya bahati nasibu
Kwanza, zingatia mfano rahisi zaidi - bahati nasibu. Fikiria kuwa umenunua tikiti moja ya bahati nasibu kwa bahati nzuri. Je, ni uwezekano gani kwamba utashinda angalau rubles ishirini? Kwa jumla, tikiti elfu zinashiriki katika mzunguko, moja ambayo ina tuzo ya rubles mia tano, rubles kumi ya mia moja, rubles hamsini na ishirini, na mia moja ya tano. Matatizo katika nadharia ya uwezekano yanatokana na kutafuta uwezekanobahati njema. Sasa kwa pamoja tutachambua suluhisho la kazi iliyowasilishwa hapo juu.
Ikiwa tunaashiria kwa herufi A ushindi wa rubles mia tano, basi uwezekano wa kupata A utakuwa 0.001. Je, tuliupataje? Unahitaji tu kugawanya idadi ya tikiti za "bahati" kwa jumla ya nambari zao (katika kesi hii: 1/1000).
B ni ushindi wa rubles mia moja, uwezekano utakuwa 0.01. Sasa tulitenda kulingana na kanuni sawa na katika hatua ya awali (10/1000)
C - walioshinda ni sawa na rubles ishirini. Tafuta uwezekano, ni sawa na 0.05.
Tiketi zilizosalia hazitufaidii, kwa kuwa hazina yao ya zawadi ni chini ya ile iliyobainishwa katika masharti. Hebu tutumie axiom ya nne: Uwezekano wa kushinda angalau rubles ishirini ni P (A) + P (B) + P (C). Barua P inaashiria uwezekano wa tukio la tukio hili, tayari tumewapata katika hatua zilizopita. Inabakia tu kuongeza data muhimu, katika jibu tunapata 0, 061. Nambari hii itakuwa jibu la swali la mgawo.
Deki ya kadi
Matatizo ya nadharia ya uwezekano yanaweza kuwa magumu zaidi, kwa mfano, fanya kazi ifuatayo. Kabla ya wewe ni staha ya kadi thelathini na sita. Kazi yako ni kuchora kadi mbili mfululizo bila kuchanganya rundo, kadi ya kwanza na ya pili lazima iwe aces, suti haijalishi.
Kwanza, hebu tutafute uwezekano kwamba kadi ya kwanza itakuwa ace, kwa hili tunagawanya nne kwa thelathini na sita. Wakaiweka pembeni. Tunachukua kadi ya pili, itakuwa ace na uwezekano wa thelathini na tano. Uwezekano wa tukio la pili inategemea kadi ambayo tulichora kwanza, tunavutiwa nayoilikuwa ni Ace au la. Inafuata kwamba tukio B linategemea tukio A.
Hatua inayofuata ni kupata uwezekano wa utekelezaji kwa wakati mmoja, yaani, tunazidisha A na B. Bidhaa zao hupatikana kama ifuatavyo: uwezekano wa tukio moja unazidishwa na uwezekano wa masharti wa mwingine, ambao tunahesabu., tukichukulia kuwa tukio la kwanza lilitokea, yaani, kwa kadi ya kwanza tulichora ace.
Ili kuweka kila kitu wazi, hebu tupe sifa kwa kipengele kama vile uwezekano wa masharti wa tukio. Inakokotolewa ikizingatiwa kuwa tukio A limetokea. Imekokotwa kama ifuatavyo: P(B/A).
Endelea kutatua tatizo letu: P(AB)=P(A)P(B/A) au P (AB)=P(B)P(A/B). Uwezekano ni (4/36)((3/35)/(4/36). Kokotoa kwa kuzungusha hadi mia. Tuna: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Uwezekano wa kuchora ekari mbili mfululizo ni mia tisa.. Thamani ni ndogo sana, inafuatia kwamba uwezekano wa kutokea kwa tukio ni mdogo sana.
Nambari uliyosahau
Tunapendekeza kuchanganua chaguo chache zaidi za majukumu ambayo yanachunguzwa kwa nadharia ya uwezekano. Tayari umeona mifano ya kutatua baadhi yao katika makala hii, hebu jaribu kutatua tatizo lifuatalo: mvulana alisahau tarakimu ya mwisho ya nambari ya simu ya rafiki yake, lakini kwa kuwa simu ilikuwa muhimu sana, alianza kupiga kila kitu kwa zamu. Tunahitaji kuhesabu uwezekano kwamba hataita zaidi ya mara tatu. Suluhisho la tatizo ni rahisi zaidi ikiwa kanuni, sheria na mihimili ya nadharia ya uwezekano inajulikana.
Kabla ya kutazamasuluhisho, jaribu kutatua mwenyewe. Tunajua kwamba tarakimu ya mwisho inaweza kutoka sifuri hadi tisa, yaani, kuna maadili kumi kwa jumla. Uwezekano wa kupata ile inayofaa ni 1/10.
Ifuatayo, tunahitaji kuzingatia chaguo za asili ya tukio, tuseme kwamba mvulana alikisia sawa na kufunga lililo sahihi mara moja, uwezekano wa tukio kama hilo ni 1/10. Chaguo la pili: simu ya kwanza ni kukosa, na ya pili iko kwenye lengo. Tunahesabu uwezekano wa tukio kama hilo: kuzidisha 9/10 na 1/9, kama matokeo tunapata 1/10. Chaguo la tatu: simu za kwanza na za pili ziligeuka kuwa kwenye anwani mbaya, tu kutoka kwa tatu mvulana alipata mahali alipotaka. Tunahesabu uwezekano wa tukio kama hilo: tunazidisha 9/10 na 8/9 na kwa 1/8, tunapata 1/10 kama matokeo. Kwa mujibu wa hali ya tatizo, hatuna nia ya chaguzi nyingine, kwa hiyo inabakia kwetu kuongeza matokeo, kwa matokeo tunayo 3/10. Jibu: Uwezekano wa mvulana huyo kupiga simu sio zaidi ya mara tatu ni 0.3.
Kadi zilizo na nambari
Kuna kadi tisa mbele yako, ambapo kila nambari kutoka moja hadi tisa imeandikwa, nambari hazirudiwi. Waliwekwa kwenye sanduku na kuchanganywa vizuri. Unahitaji kukokotoa uwezekano kwamba
- nambari sawia itakuja;
- dijiti mbili.
Kabla ya kuendelea na suluhu, hebu tubainishe kuwa m ni idadi ya kesi zilizofaulu, na n ndiyo jumla ya idadi ya chaguo. Tafuta uwezekano kwamba nambari ni sawa. Haitakuwa ngumu kuhesabu kuwa kuna nambari nne hata, hii itakuwa m yetu, kuna chaguzi tisa kwa jumla, ambayo ni, m=9. Kisha uwezekanoni sawa na 0, 44, au 4/9.
Zingatia kisa cha pili: idadi ya chaguo ni tisa, na hakuwezi kuwa na matokeo ya mafanikio hata kidogo, yaani, m ni sawa na sifuri. Uwezekano kwamba kadi iliyochorwa itakuwa na nambari ya tarakimu mbili pia ni sifuri.
