Hata shuleni, kila mmoja wetu alisoma milinganyo na, kwa hakika, mifumo ya milinganyo. Lakini sio watu wengi wanajua kuwa kuna njia kadhaa za kuzitatua. Leo tutachambua kwa kina mbinu zote za kutatua mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari, ambayo inajumuisha zaidi ya usawa mbili.
Historia
Leo inajulikana kuwa sanaa ya kusuluhisha milinganyo na mifumo yake ilianzia katika Babeli ya kale na Misri. Walakini, usawa katika fomu yao ya kawaida ulionekana baada ya kuonekana kwa ishara sawa "=", ambayo ilianzishwa mnamo 1556 na Rekodi ya mwanahisabati wa Kiingereza. Kwa njia, ishara hii ilichaguliwa kwa sababu: inamaanisha sehemu mbili zinazofanana. Hakika, hakuna mfano bora zaidi wa usawa.
Mwanzilishi wa majina ya kisasa ya herufi zisizojulikana na ishara za digrii ni mwanahisabati Mfaransa Francois Viet. Walakini, majina yake yalitofautiana sana na ya leo. Kwa mfano, aliashiria mraba wa nambari isiyojulikana na barua Q (lat. "quadratus"), na mchemraba na barua C (lat. "cubus"). Majina haya sasa yanaonekana kuwa hayafai, lakini basiilikuwa njia inayoeleweka zaidi ya kuandika mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari.
Hata hivyo, hasara ya mbinu za wakati huo za utatuzi ilikuwa kwamba wanahisabati walizingatia tu mizizi chanya. Labda hii ni kwa sababu ya ukweli kwamba maadili hasi hayakuwa na matumizi ya vitendo. Kwa njia moja au nyingine, walikuwa wanahisabati wa Italia Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano na Rafael Bombelli ambao walikuwa wa kwanza kuzingatia mizizi hasi katika karne ya 16. Na mwonekano wa kisasa, njia kuu ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic (kupitia kibaguzi) iliundwa tu katika karne ya 17 kutokana na kazi ya Descartes na Newton.
Katikati ya karne ya 18, mwanahisabati wa Uswizi Gabriel Cramer alipata njia mpya ya kurahisisha mifumo ya utatuzi wa milinganyo ya mstari. Njia hii iliitwa baada yake na hadi leo tunaitumia. Lakini tutazungumza kuhusu mbinu ya Cramer baadaye kidogo, lakini kwa sasa tutajadili milinganyo ya mstari na mbinu za kuzitatua kando na mfumo.
Milingano ya mstari
Milingano ya mstari ndiyo usawa rahisi zaidi wenye viwezo. Zimeainishwa kama algebraic. Milinganyo ya mstari imeandikwa kwa njia ya jumla kama ifuatavyo: 2+…a x =b. Tutahitaji uwakilishi wao katika fomu hii wakati wa kuandaa mifumo na matrices zaidi.
Mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari
Fasili ya neno hili ni hii: ni seti ya milinganyo ambayo ina mambo ya kawaida yasiyojulikana na suluhu la pamoja. Kama sheria, shuleni kila kitu kiliamuliwa na mifumona milinganyo miwili au hata mitatu. Lakini kuna mifumo yenye vipengele vinne au zaidi. Wacha kwanza tuone jinsi ya kuziandika ili iwe rahisi kuzitatua baadaye. Kwanza, mifumo ya milinganyo ya aljebra ya mstari itaonekana bora ikiwa vigeu vyote vitaandikwa kama x na faharasa inayofaa: 1, 2, 3, na kadhalika. Pili, milinganyo yote inapaswa kupunguzwa kwa fomu ya kisheria: a1x1+a2 x 2+…a x =b.
Baada ya hatua hizi zote, tunaweza kuanza kuzungumza kuhusu jinsi ya kupata suluhu la mifumo ya milinganyo ya mstari. Matrices yatasaidia sana kwa hili.
Matrices
Matrix ni jedwali ambalo lina safu mlalo na safu wima, na vipengele vyake viko kwenye makutano yao. Hizi zinaweza kuwa maadili maalum au vigezo. Mara nyingi, ili kuteua vipengele, usajili huwekwa chini yake (kwa mfano, a11 au23). Faharasa ya kwanza inamaanisha nambari ya safu na ya pili nambari ya safu wima. Kwenye matrices, na vile vile kwenye kipengele kingine chochote cha hisabati, unaweza kufanya shughuli mbalimbali. Kwa hivyo unaweza:
1) Ondoa na uongeze majedwali ya ukubwa sawa.
2) Zidisha matrix kwa nambari fulani au vekta.
3) Badilisha: Geuza safu mlalo za matrix kuwa safu wima na safu wima kuwa safu mlalo.
4) Zidisha matrices ikiwa idadi ya safu mlalo ya moja wapo ni sawa na idadi ya safu wima za nyingine.
Tutajadili mbinu hizi zote kwa undani zaidi, kwani zitakuwa na manufaa kwetu katika siku zijazo. Kutoa na kuongeza matrices ni rahisi sana. Kwa hiyotunapochukua matrices ya ukubwa sawa, basi kila kipengele cha meza moja kinalingana na kila kipengele cha nyingine. Kwa hivyo, tunaongeza (kuondoa) vipengele hivi viwili (ni muhimu kuwa katika maeneo sawa katika matrices yao). Wakati wa kuzidisha matrix kwa nambari au vekta, unahitaji tu kuzidisha kila kipengele cha matrix kwa nambari hiyo (au vekta). Transposition ni mchakato wa kuvutia sana. Inavutia sana wakati mwingine kuiona katika maisha halisi, kwa mfano, wakati wa kubadilisha mwelekeo wa kibao au simu. Aikoni kwenye eneo-kazi ni matrix, na unapobadilisha nafasi, inabadilika na kuwa pana, lakini inapungua kwa urefu.
Hebu tuangalie tena mchakato kama vile kuzidisha matrix. Ingawa haitakuwa na manufaa kwetu, bado itakuwa muhimu kuijua. Unaweza kuzidisha matrices mbili tu ikiwa idadi ya safu katika jedwali moja ni sawa na idadi ya safu katika nyingine. Sasa hebu tuchukue vipengele vya safu ya matrix moja na vipengele vya safu inayofanana ya nyingine. Tunazizidisha kwa kila mmoja na kisha kuziongeza (hiyo ni, kwa mfano, bidhaa ya vipengele a11 na 12 kwa b 12na b22 zitakuwa sawa na: a11b12 + a 12 b22). Kwa hivyo, kipengele kimoja cha jedwali kinapatikana, na kinajazwa zaidi na mbinu sawa.
Sasa tunaweza kuanza kuangalia jinsi mfumo wa milinganyo ya mstari unavyotatuliwa.
Njia ya Gauss
Mada hii huanza kupita hata shuleni. Tunajua vizuri dhana ya "mfumo wa milinganyo miwili ya mstari" na tunajua jinsi ya kuyatatua. Lakini vipi ikiwa idadi ya milinganyo ni zaidi ya mbili? Mbinu ya Gauss itatusaidia na hili.
Bila shaka, njia hii ni rahisi kutumia ukitengeneza matrix kutoka kwenye mfumo. Lakini huwezi kuibadilisha na kuisuluhisha katika umbo lake safi kabisa.
Kwa hivyo mbinu hii hutatua vipi mfumo wa milinganyo ya mstari wa Gaussian? Kwa njia, ingawa njia hii inaitwa jina lake, iligunduliwa katika nyakati za zamani. Gauss anapendekeza yafuatayo: kutekeleza shughuli na milinganyo ili hatimaye kupunguza seti nzima kwa fomu iliyopitiwa. Hiyo ni, ni muhimu kwamba kutoka juu hadi chini (ikiwa imewekwa kwa usahihi) kutoka kwa equation ya kwanza hadi ya mwisho, moja isiyojulikana inapungua. Kwa maneno mengine, tunahitaji kuhakikisha kwamba tunapata, sema, equations tatu: katika kwanza - tatu haijulikani, kwa pili - mbili, kwa tatu - moja. Kisha kutoka kwa mlinganyo wa mwisho tunapata ile ya kwanza isiyojulikana, badilisha thamani yake katika mlinganyo wa pili au wa kwanza, kisha tutafute viambishi viwili vilivyobaki.
Mbinu ya Cramer
Ili kumudu mbinu hii, ni muhimu kujua ujuzi wa kujumlisha, kutoa matrices, na pia unahitaji kuwa na uwezo wa kupata viambajengo. Kwa hivyo, ikiwa utafanya haya yote vibaya au hujui jinsi gani hata kidogo, itabidi ujifunze na kufanya mazoezi.
Ni nini kiini cha mbinu hii, na jinsi ya kuifanya ili mfumo wa milinganyo ya mstari wa Cramer upatikane? Kila kitu ni rahisi sana. Lazima tuunde matrix kutoka kwa mgawo wa nambari (karibu kila wakati) wa mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari. Ili kufanya hivyo, chukua tu nambari mbele ya zisizojulikana na uzipangeJedwali kwa mpangilio ambao zimeandikwa kwenye mfumo. Ikiwa nambari inatanguliwa na ishara "-", basi tunaandika mgawo hasi. Kwa hivyo, tumekusanya matrix ya kwanza kutoka kwa mgawo wa vitu visivyojulikana, bila kujumuisha nambari baada ya ishara sawa (kwa kawaida, equation inapaswa kupunguzwa kwa fomu ya kisheria, wakati nambari tu iko upande wa kulia, na wasiojulikana wote walio nao. coefficients upande wa kushoto). Kisha unahitaji kuunda matrices kadhaa zaidi - moja kwa kila kutofautiana. Ili kufanya hivyo, tunabadilisha kwa zamu kila safu na coefficients kwenye matrix ya kwanza na safu ya nambari baada ya ishara sawa. Kwa hivyo, tunapata matiti kadhaa na kisha kupata viashiria vyake.
Baada ya kupata vibainishi, jambo ni dogo. Tunayo matrix ya awali, na kuna matrices kadhaa yanayotokana ambayo yanahusiana na vigezo tofauti. Ili kupata suluhu za mfumo, tunagawanya kibainishi cha jedwali linalotokana na kibainishi cha jedwali la awali. Nambari inayotokana ni thamani ya mojawapo ya vigezo. Vile vile, tunapata zote zisizojulikana.
Njia zingine
Kuna mbinu kadhaa zaidi za kupata suluhu la mifumo ya milinganyo ya mstari. Kwa mfano, njia inayoitwa Gauss-Jordan, ambayo hutumiwa kupata ufumbuzi wa mfumo wa equations ya quadratic na pia inahusishwa na matumizi ya matrices. Pia kuna mbinu ya Jacobi ya kusuluhisha mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari. Ni rahisi zaidi kuzoea kompyuta na hutumika katika kompyuta.
Kesi ngumu
Kwa kawaida uchangamano hutokea wakati idadi ya milinganyo ni chini ya idadi ya viambajengo. Kisha tunaweza kusema kwa uhakika kwamba ama mfumo haufanani (yaani, hauna mizizi), au idadi ya ufumbuzi wake huwa na infinity. Ikiwa tuna kesi ya pili, basi tunahitaji kuandika suluhisho la jumla la mfumo wa usawa wa mstari. Itakuwa na angalau kigezo kimoja.
Hitimisho
Hapa tunafika mwisho. Kwa muhtasari: tumechanganua mfumo na matrix ni nini, tumejifunza jinsi ya kupata suluhisho la jumla kwa mfumo wa milinganyo ya mstari. Kwa kuongeza, chaguzi nyingine zilizingatiwa. Tuligundua jinsi mfumo wa milinganyo ya mstari unatatuliwa: njia ya Gauss na njia ya Cramer. Tulizungumza kuhusu kesi ngumu na njia zingine za kupata suluhu.
Kwa kweli, mada hii ni pana zaidi, na ukitaka kuielewa vyema, tunakushauri usome fasihi maalum zaidi.
