Matrix ni kitu maalum katika hisabati. Inaonyeshwa kwa namna ya meza ya mstatili au mraba, inayojumuisha idadi fulani ya safu na safu. Katika hisabati, kuna aina nyingi za aina za matrices, tofauti kwa ukubwa au maudhui. Nambari za safu na safu zake huitwa maagizo. Vitu hivi hutumiwa katika hisabati kupanga uandishi wa mifumo ya milinganyo ya mstari na kutafuta matokeo yao kwa urahisi. Milinganyo kwa kutumia matrix hutatuliwa kwa kutumia mbinu ya Carl Gauss, Gabriel Cramer, watoto na nyongeza za aljebra, na njia nyingine nyingi. Ujuzi wa msingi wakati wa kufanya kazi na matrices ni kuwaleta kwa fomu ya kawaida. Walakini, kwanza, hebu tuone ni aina gani za matrices zinazotofautishwa na wanahisabati.
Aina mbaya
Vipengele vyote vya aina hii ya matrix ni sufuri. Wakati huo huo, idadi ya safu mlalo na safu wima ni tofauti kabisa.
Aina ya mraba
Idadi ya safu wima na safu mlalo za aina hii ya matrix ni sawa. Kwa maneno mengine, ni meza ya sura ya "mraba". Idadi ya safu wima zake (au safu) inaitwa mpangilio. Kesi maalum ni uwepo wa mpangilio wa mpangilio wa pili (matrix 2x2), mpangilio wa nne (4x4), kumi (10x10), kumi na saba (17x17) na kadhalika.
Vekta ya safu wima
Hii ni mojawapo ya aina rahisi zaidi za matriki, iliyo na safu wima moja tu, inayojumuisha thamani tatu za nambari. Inawakilisha msururu wa istilahi zisizolipishwa (nambari zisizotegemea vigeu) katika mifumo ya milinganyo ya mstari.
Vekta ya safu mlalo
Angalia sawa na ile iliyotangulia. Inajumuisha vipengele vitatu vya nambari, ambavyo vimepangwa katika mstari mmoja.
Aina ya mlalo
Vipengele pekee vya ulalo mkuu (ulioangaziwa kwa kijani) huchukua thamani za nambari katika umbo la mshazari wa matriki. Ulalo kuu huanza na kipengee kwenye kona ya juu kushoto na kuishia na kipengee kilicho chini kulia, mtawaliwa. Vipengele vilivyobaki ni sifuri. Aina ya diagonal ni matrix ya mraba tu ya mpangilio fulani. Miongoni mwa matrices ya fomu ya diagonal, mtu anaweza kuchagua moja ya scalar. Vipengele vyake vyote huchukua thamani sawa.
Matrix ya utambulisho
Aina ndogo za matrix ya mshazari. Thamani zake zote za nambari ni vitengo. Kwa kutumia aina moja ya jedwali la matrix, fanya mabadiliko yake ya kimsingi au utafute kinyume cha matrix kwa ile asili.
Aina ya kanuni
Aina ya kisheria ya matrix inachukuliwa kuwa mojawapo ya kuu; kutupwa kwake mara nyingi inahitajika kufanya kazi. Idadi ya safu na safu wima kwenye matrix ya kisheria ni tofauti, sio lazima iwe ya aina ya mraba. Ni sawa na matrix ya utambulisho, hata hivyo, katika kesi yake, sio vipengele vyote vya diagonal kuu huchukua thamani sawa na moja. Kunaweza kuwa na vitengo viwili au vinne vya diagonal (yote inategemea urefu na upana wa matrix). Au kunaweza kuwa hakuna vitengo kabisa (basi inachukuliwa kuwa sifuri). Vipengee vilivyobaki vya aina ya kisheria, pamoja na vipengele vya diagonal na utambulisho, ni sawa na sufuri.
Aina ya pembetatu
Mojawapo ya aina muhimu zaidi za matrix, inayotumiwa wakati wa kutafuta kibainishi chake na wakati wa kutekeleza utendakazi rahisi. Aina ya pembetatu inatoka kwa aina ya diagonal, kwa hivyo tumbo pia ni mraba. Mwonekano wa pembetatu wa tumbo umegawanywa katika pembetatu ya juu na ya chini ya pembetatu.
Katika tumbo la pembetatu ya juu (Mchoro 1), vipengele vilivyo juu ya mshalo mkuu pekee ndivyo vinavyochukua thamani sawa na sifuri. Vipengee vya ulalo wenyewe na sehemu ya matriki iliyo chini yake vina thamani za nambari.
Katika tumbo la pembetatu ya chini (Kielelezo 2), kinyume chake, vipengele vilivyo katika sehemu ya chini ya tumbo ni sawa na sifuri.
Step Matrix
Mwonekano ni muhimu ili kupata kiwango cha matrix, na pia kwa shughuli za msingi juu yake (pamoja na aina ya pembetatu). Matrix ya hatua inaitwa hivyo kwa sababu ina tabia ya "hatua" za zero (kama inavyoonyeshwa kwenye takwimu). Katika aina iliyopigwa, diagonal ya zero huundwa (sio lazima kuu), na vipengele vyote chini ya diagonal hii pia vina maadili sawa na sifuri. Sharti ni hili lifuatalo: ikiwa kuna safu mlalo sifuri katika mkusanyiko wa hatua, basi safu mlalo zilizosalia chini yake pia hazina thamani za nambari.
Kwa hivyo, tumezingatia aina muhimu zaidi za matrices zinazohitajika kufanya kazi nazo. Sasa hebu tushughulikie kazi ya kubadilisha matrix kuwa fomu inayohitajika.
Punguza hadi umbo la pembetatu
Jinsi ya kuleta tumbo katika umbo la pembetatu? Mara nyingi, katika mgawo, unahitaji kubadilisha matrix kuwa fomu ya pembetatu ili kupata kiashiria chake, kinachoitwa kiashiria. Wakati wa kufanya utaratibu huu, ni muhimu sana "kuhifadhi" diagonal kuu ya matrix, kwa sababu kiashiria cha matrix ya pembetatu ni bidhaa ya vipengele vya diagonal yake kuu. Acha nikukumbushe pia njia mbadala za kupata kibainishi. Kiamuzi cha aina ya mraba kinapatikana kwa kutumia fomula maalum. Kwa mfano, unaweza kutumia njia ya pembetatu. Kwa matrices mengine, njia ya kuoza kwa safu, safu, au vipengele vyao hutumiwa. Unaweza pia kutumia mbinu ya watoto na nyongeza za aljebra za matrix.
MaelezoHebu tuchambue mchakato wa kuleta matrix kwa umbo la pembetatu kwa kutumia mifano ya baadhi ya kazi.
Jukumu 1
Ni muhimu kupata kibainishi cha matriki iliyowasilishwa, kwa kutumia mbinu ya kuileta kwenye umbo la pembetatu.
Matrix tuliyopewa ni matrix ya mraba ya mpangilio wa tatu. Kwa hivyo, ili kuibadilisha kuwa umbo la pembetatu, tunahitaji kubatilisha vipengele viwili vya safu wima ya kwanza na sehemu moja ya safu ya pili.
Ili kuileta kwenye umbo la pembetatu, anza mageuzi kutoka kona ya chini kushoto ya matrix - kutoka nambari 6. Ili kuigeuza hadi sifuri, zidisha safu mlalo ya kwanza kwa tatu na uitoe kutoka safu mlalo ya mwisho.
Muhimu! Mstari wa juu haubadilika, lakini unabaki sawa na katika matrix ya awali. Huna haja ya kuandika kamba mara nne ya asili. Lakini thamani za mifuatano ambayo vijenzi vyake vinahitaji kubatilishwa hubadilika kila mara.
Ifuatayo, hebu tushughulike na thamani inayofuata - kipengele cha safu ya pili ya safu ya kwanza, nambari ya 8. Zidisha safu ya kwanza na nne na uiondoe kutoka safu ya pili. Tunapata sifuri.
Thamani ya mwisho pekee ndiyo imesalia - kipengele cha safu mlalo ya tatu ya safu wima ya pili. Hii ndio nambari (-1). Ili kuigeuza kuwa sifuri, toa ya pili kutoka kwa mstari wa kwanza.
Hebu tuangalie:
detA=2 x (-1) x 11=-22.
Kwa hivyo jibu la jukumu ni -22.
Jukumu 2
Tunahitaji kupata kibainishi cha matriki kwa kuileta kwenye umbo la pembetatu.
Matrix iliyowakilishwani ya aina ya mraba na ni matrix ya mpangilio wa nne. Hii ina maana kwamba vipengele vitatu vya safu wima ya kwanza, vijenzi viwili vya safu wima ya pili, na sehemu moja ya safu wima ya tatu lazima viwe na sufuri.
Hebu tuanze upunguzaji wake kutoka kwa kipengee kilicho katika kona ya chini kushoto - kutoka nambari 4. Tunahitaji kugeuza nambari hii hadi sifuri. Njia rahisi zaidi ya kufanya hivyo ni kuzidisha safu ya juu na nne na kisha kuiondoa kutoka safu ya nne. Hebu tuandike matokeo ya hatua ya kwanza ya mabadiliko.
Kwa hivyo, kijenzi cha mstari wa nne kimewekwa kuwa sifuri. Hebu tuendelee kwenye kipengele cha kwanza cha mstari wa tatu, hadi nambari 3. Tunafanya operesheni sawa. Zidisha kwa tatu mstari wa kwanza, uondoe kutoka mstari wa tatu na uandike matokeo.
Inayofuata, tunaona nambari 2 kwenye mstari wa pili. Tunarudia operesheni: zidisha safu ya juu kwa mbili na uiondoe kutoka kwa ya pili.
Tuliweza kuweka hadi sufuri vipengele vyote vya safu wima ya kwanza ya matrix hii ya mraba, isipokuwa nambari 1, kipengele cha ulalo mkuu ambacho hakihitaji mabadiliko. Sasa ni muhimu kuweka zero zinazosababisha, kwa hiyo tutafanya mabadiliko na safu, sio nguzo. Hebu tuendelee hadi safu wima ya pili ya matrix iliyowasilishwa.
Hebu tuanze kutoka chini tena - kutoka kwa kipengele cha safu wima ya pili ya safu mlalo ya mwisho. Hii ndiyo nambari (-7). Walakini, katika kesi hii ni rahisi zaidi kuanza na nambari (-1) - kipengele cha safu ya pili ya safu ya tatu. Ili kuigeuza kuwa sifuri, toa safu ya pili kutoka safu ya tatu. Kisha tunazidisha safu ya pili na saba na kuiondoa kutoka kwa nne. Tulipata sifuri badala ya kipengee kilicho kwenye safu ya nne ya safu ya pili. Sasa hebu tuendelee kwenye ya tatusafu.
Katika safu hii, tunahitaji kugeuza hadi sifuri nambari moja pekee - 4. Ni rahisi kufanya: ongeza tu ya tatu kwenye mstari wa mwisho na uone sifuri tunayohitaji.
Baada ya mabadiliko yote, tulileta tumbo lililopendekezwa katika umbo la pembetatu. Sasa, ili kupata kiashiria chake, unahitaji tu kuzidisha vipengele vinavyotokana na diagonal kuu. Tunapata: detA=1 x (-1) x (-4) x 40=160. Kwa hiyo, suluhisho ni nambari 160.
Kwa hivyo, sasa swali la kuleta matrix katika umbo la pembetatu halitafanya iwe vigumu kwako.
Kupunguzwa kwa fomu ya hatua
Katika shughuli za msingi kwenye matrices, fomu ya kupitisha "inahitajika" kidogo kuliko ile ya pembetatu. Hutumiwa zaidi kupata daraja la matrix (yaani, idadi ya safu mlalo zisizo sifuri) au kuamua safu tegemezi za kimstari na zinazojitegemea. Hata hivyo, mwonekano wa matriki uliopigiwa hatua unabadilika zaidi, kwani unafaa sio tu kwa aina ya mraba, lakini kwa zingine zote.
Ili kupunguza matrix kuwa fomu ya kupitiwa, kwanza unahitaji kupata kibainishi chake. Kwa hili, njia zilizo hapo juu zinafaa. Madhumuni ya kupata kibainishi ni kujua ikiwa kinaweza kubadilishwa kuwa matrix ya hatua. Ikiwa kiashiria ni kikubwa au chini ya sifuri, basi unaweza kuendelea na kazi kwa usalama. Ikiwa ni sawa na sifuri, haitafanya kazi kupunguza tumbo kwa fomu iliyopigwa. Katika kesi hii, unahitaji kuangalia ikiwa kuna makosa yoyote katika rekodi au katika mabadiliko ya matrix. Ikiwa hakuna makosa kama hayo, kazi haiwezi kutatuliwa.
Hebu tuone jinsi ganikuleta matrix kwa umbo la kupitiwa kwa kutumia mifano ya kazi kadhaa.
Jukumu la 1. Tafuta kiwango cha jedwali la matrix lililotolewa.
Mbele yetu kuna matrix ya mraba ya mpangilio wa tatu (3x3). Tunajua kwamba ili kupata cheo, ni muhimu kupunguza kwa fomu iliyopigwa. Kwa hivyo, kwanza tunahitaji kupata kiashiria cha matrix. Kwa kutumia mbinu ya pembetatu: detA=(1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2)=12.
Determinant=12. Ni kubwa kuliko sifuri, ambayo ina maana kwamba matrix inaweza kupunguzwa hadi umbo la kupitiwa. Wacha tuanze mabadiliko yake.
Hebu tuanze na kipengele cha safu wima ya kushoto ya safu ya tatu - nambari ya 2. Zidisha safu ya juu kwa mbili na uiondoe kutoka kwa safu ya tatu. Shukrani kwa operesheni hii, kipengele tunachohitaji na nambari 4 - kipengele cha safu ya pili ya safu ya tatu - imegeuka kuwa sifuri.
Ifuatayo, geuza hadi sifuri kipengele cha safu ya pili ya safu wima ya kwanza - nambari 3. Ili kufanya hivyo, zidisha safu ya juu na tatu na uiondoe kutoka kwa ya pili.
Tunaona kuwa kupunguzwa kulisababisha matrix ya pembe tatu. Kwa upande wetu, mabadiliko hayawezi kuendelezwa, kwani vipengele vilivyobaki haviwezi kugeuzwa kuwa sifuri.
Kwa hivyo, tunahitimisha kuwa idadi ya safu mlalo zilizo na thamani za nambari katika mkusanyiko huu (au cheo chake) ni 3. Jibu la jukumu: 3.
Jukumu la 2. Bainisha idadi ya safu mlalo zinazojitegemea kimstari za matrix hii.
Tunahitaji kupata mifuatano ambayo haiwezi kutenduliwa na mabadiliko yoyotehadi sifuri. Kwa kweli, tunahitaji kupata idadi ya safu zisizo za sifuri, au kiwango cha matrix iliyowakilishwa. Ili kufanya hivi, wacha tuirahisishe.
Tunaona matrix ambayo si ya aina ya mraba. Ina vipimo 3x4. Wacha pia tuanze utumaji kutoka kwa kipengee cha kona ya chini kushoto - nambari (-1).
Ongeza mstari wa kwanza hadi wa tatu. Ifuatayo, toa ya pili kutoka kwayo ili kugeuza nambari 5 hadi sifuri.
Mabadiliko zaidi hayawezekani. Kwa hivyo, tunahitimisha kuwa idadi ya mistari huru ndani yake na jibu la kazi ni 3.
Sasa kuleta matrix kwa fomu ya hatua sio kazi isiyowezekana kwako.
Kwenye mifano ya majukumu haya, tulichanganua upunguzaji wa matrix hadi umbo la pembetatu na umbo la kupitiwa. Ili kubatilisha maadili unayotaka ya jedwali la matrix, katika hali zingine inahitajika kuonyesha mawazo na kubadilisha kwa usahihi safu wima au safu. Bahati nzuri katika hesabu na kufanya kazi na matrices!
