Pembetatu ni poligoni yenye pande tatu (pembe tatu). Mara nyingi, pande zote zinaonyeshwa na herufi ndogo zinazolingana na herufi kubwa zinazoashiria wima tofauti. Katika makala haya, tutafahamishana na aina za maumbo haya ya kijiometri, nadharia inayoamua jumla ya pembe za pembetatu ni nini.
Mionekano kwa pembe
Aina zifuatazo za poligoni zenye wima tatu zinatofautishwa:
- yenye pembe kali, ambayo kona zote ni kali;
- mstatili, yenye pembe moja ya kulia, wakati pande zinazoiunda huitwa miguu, na upande ambao umewekwa kinyume na pembe ya kulia huitwa hypotenuse;
- shida wakati kona moja ni butu;
- isosceles, ambamo pande mbili ni sawa, na zinaitwa lateral, na ya tatu ni msingi wa pembetatu;
- sawa, kuwa na pande zote tatu sawa.
Mali
Zinaangazia sifa kuu ambazo ni tabia ya kila aina ya pembetatu:
- kinyume na upande mkubwa kila wakati kuna pembe kubwa, na kinyume chake;
- pande pinzani za ukubwa sawa ni pembe sawa, na kinyume chake;
- pembetatu yoyote ina pembe mbili kali;
- kona ya nje ni kubwa kuliko kona yoyote ya ndani isiyopakana nayo;
- jumla ya pembe zozote mbili daima huwa chini ya digrii 180;
- pembe ya nje ni sawa na jumla ya pembe nyingine mbili ambazo haziingiliani nayo.
Jumla ya pembetatu ya nadharia ya pembe
Nadharia inasema kwamba ukijumlisha pembe zote za takwimu fulani ya kijiometri, ambayo iko kwenye ndege ya Euclidean, basi jumla yao itakuwa digrii 180. Hebu tujaribu kuthibitisha nadharia hii.
Tuwe na pembetatu kiholela yenye wima ya KMN.
Kupitia kipeo M chora mstari ulionyooka sambamba na mstari ulionyooka KN (mstari huu pia unaitwa mstari wa nyoofu wa Euclidean). Tunaweka alama A juu yake kwa njia ambayo pointi K na A ziko kwenye pande tofauti za mstari wa moja kwa moja wa MN. Tunapata pembe sawa AMN na KNM, ambazo, kama zile za ndani, ziko kinyume na zinaundwa na MN ya siri pamoja na mistari iliyonyooka KN na MA, ambayo ni sambamba. Kutoka kwa hii inafuata kwamba jumla ya pembe za pembetatu ziko kwenye wima M na H ni sawa na ukubwa wa angle KMA. Pembe zote tatu huunda jumla, ambayo ni sawa na jumla ya pembe KMA na MKN. Kwa kuwa pembe hizi ni za ndani upande mmoja kwa heshima namistari ya moja kwa moja inayofanana KN na MA yenye KM ya secant, jumla yao ni digrii 180. Nadharia imethibitishwa.
Matokeo
Mfuatano ufuatao unafuata kutoka kwa nadharia iliyothibitishwa hapo juu: pembetatu yoyote ina pembe mbili kali. Ili kuthibitisha hili, hebu tufikiri kwamba takwimu ya kijiometri iliyotolewa ina angle moja tu ya papo hapo. Inaweza pia kuzingatiwa kuwa hakuna pembe ni ya papo hapo. Katika kesi hii, lazima kuwe na angalau pembe mbili ambazo ni sawa na au zaidi ya digrii 90. Lakini basi jumla ya pembe itakuwa kubwa kuliko digrii 180. Lakini hii haiwezi kuwa, kwa sababu kulingana na nadharia, jumla ya pembe za pembetatu ni 180 ° - hakuna zaidi na si chini. Hiki ndicho kilipaswa kuthibitishwa.
Mali ya kona ya nje
Jumla ya pembe za pembetatu ambazo ni za nje ni nini? Swali hili linaweza kujibiwa kwa moja ya njia mbili. Ya kwanza ni kwamba ni muhimu kupata jumla ya pembe, ambazo huchukuliwa moja kwa kila vertex, yaani, pembe tatu. Ya pili ina maana kwamba unahitaji kupata jumla ya pembe zote sita kwenye wima. Kwanza, hebu tushughulike na chaguo la kwanza. Kwa hivyo, pembetatu ina pembe sita za nje - mbili kwa kila kipeo.
Kila jozi ina pembe sawa kwa sababu ni wima:
∟1=∟4, ∟2=∟5, ∟3=∟6.
Mbali na hilo, inajulikana kuwa pembe ya nje ya pembetatu ni sawa na jumla ya pembe mbili za ndani ambazo haziingiliani nayo. Kwa hivyo, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=∟A + ∟B, ∟3=∟B + ∟C.
Kutokana na hili inabadilika kuwa jumla ya njepembe, ambazo huchukuliwa moja kwa kila kipeo, zitakuwa sawa na:
∟1 + ∟2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + ∟C=2 x (∟A + ∟B + ∟C).
Ikizingatiwa kuwa jumla ya pembe ni digrii 180, inaweza kubishaniwa kuwa ∟A + ∟B + ∟C=180°. Na hii ina maana kwamba ∟1 + ∟2 + ∟3=2 x 180 °=360 °. Ikiwa chaguo la pili linatumiwa, basi jumla ya pembe sita itakuwa, kwa mtiririko huo, mara mbili kubwa. Hiyo ni, jumla ya pembe za nje za pembetatu itakuwa:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°.
Pembetatu ya kulia
Jumla ya pembe kali za pembetatu ya kulia ni nini? Jibu la swali hili, tena, linafuata kutoka kwa nadharia, ambayo inasema kwamba pembe katika pembetatu huongeza hadi digrii 180. Na taarifa yetu (mali) inasikika kama hii: katika pembetatu ya kulia, pembe za papo hapo huongeza hadi digrii 90. Hebu tuthibitishe ukweli wake.
Hebu tupewe pembetatu KMN, ambayo ∟Н=90°. Ni muhimu kuthibitisha kuwa ∟K + ∟M=90°.
Kwa hivyo, kulingana na nadharia ya jumla ya pembe ∟К + ∟М + ∟Н=180°. Hali yetu inasema kwamba ∟Н=90 °. Kwa hivyo inageuka, ∟K + ∟M + 90 °=180 °. Yaani, ∟K + ∟M=180° - 90°=90°. Hilo ndilo tulilopaswa kuthibitisha.
Mbali na sifa zilizo hapo juu za pembetatu ya kulia, unaweza kuongeza zifuatazo:
- pembe zinazolala dhidi ya miguu ni kali;
- hipotenuse ni pembe tatu zaidi ya miguu yoyote;
- jumla ya miguu ni kubwa kuliko hypotenuse;
- mguupembetatu ambayo iko kinyume na pembe ya digrii 30 ni nusu ya hypotenuse, yaani, sawa na nusu yake.
Kama sifa nyingine ya takwimu hii ya kijiometri, nadharia ya Pythagorean inaweza kutofautishwa. Anasema kwamba katika pembetatu yenye pembe ya digrii 90 (mstatili), jumla ya miraba ya miguu ni sawa na mraba wa hypotenuse.
Jumla ya pembe za pembetatu ya isosceles
Hapo awali tulisema kuwa isosceles ni poligoni yenye wima tatu, yenye pande mbili sawa. Mali hii ya takwimu ya kijiometri iliyopewa inajulikana: pembe kwenye msingi wake ni sawa. Hebu tuthibitishe.
Chukua pembetatu KMN, ambayo ni isosceles, KN ndio msingi wake.
Tunatakiwa kuthibitisha kuwa ∟К=∟Н. Kwa hivyo, wacha tuseme kwamba MA ndio sehemu mbili ya pembetatu yetu KMN. Pembetatu ya MCA, kwa kuzingatia ishara ya kwanza ya usawa, ni sawa na pembetatu ya MCA. Yaani, kwa hali imetolewa kuwa KM=NM, MA ni upande wa kawaida, ∟1=∟2, kwani MA ni sehemu mbili. Kwa kutumia ukweli kwamba pembetatu hizi mbili ni sawa, tunaweza kusema kwamba ∟K=∟Н. Kwa hivyo nadharia inathibitishwa.
Lakini tunavutiwa kujua ni jumla gani ya pembe za pembetatu (isosceles). Kwa kuwa katika suala hili haina upekee wake, tutaanza kutoka kwa nadharia iliyozingatiwa hapo awali. Hiyo ni, tunaweza kusema kwamba ∟K + ∟M + ∟H=180°, au 2 x ∟K + ∟M=180° (tangu ∟K=∟H). Hatutathibitisha sifa hii, kwa kuwa nadharia ya jumla ya pembetatu ilithibitishwa mapema.
Ila kama ilivyojadiliwasifa kuhusu pembe za pembetatu, pia kuna taarifa muhimu kama hizi:
- katika pembetatu ya isosceles, urefu ambao ulishushwa hadi msingi ni wa kati, sehemu-mbili ya pembe iliyo kati ya pande sawa, na vile vile mhimili wa ulinganifu wa msingi wake;
- viingilio (vijisekta viwili, urefu) vinavyochorwa kwenye kando ya takwimu kama hiyo ya kijiometri ni sawa.
Pembetatu ya usawa
Pia inaitwa kulia, ni pembetatu yenye pande zote sawa. Kwa hiyo, pembe pia ni sawa. Kila moja ni digrii 60. Hebu tuthibitishe mali hii.
Chukulia kuwa tuna pembetatu KMN. Tunajua kwamba KM=NM=KN. Na hii ina maana kwamba kwa mujibu wa mali ya pembe ziko kwenye msingi katika pembetatu ya isosceles, ∟К=∟М=∟Н. Kwa kuwa, kwa mujibu wa nadharia, jumla ya pembe za pembetatu ni ∟К + ∟М + ∟Н=180 °, kisha 3 x ∟К=180 ° au ∟К=60 °, ∟М=60 °, ∟ Н=60 °. Kwa hivyo, taarifa hiyo imethibitishwa.
Kama unavyoweza kuona kutoka kwa uthibitisho ulio hapo juu kulingana na nadharia, jumla ya pembe za pembetatu iliyo sawa, kama jumla ya pembe za pembetatu nyingine yoyote, ni digrii 180. Hakuna haja ya kuthibitisha nadharia hii tena.
Pia kuna sifa kama hizi za pembetatu iliyo equilateral:
- kati, sehemu mbili, urefu katika takwimu ya kijiometri ni sawa, na urefu wake huhesabiwa kama (a x √3): 2;
- ukielezea mduara unaozunguka poligoni fulani, basi radius yake itakuwasawa (a x √3): 3;
- ukiandika mduara katika pembetatu iliyo sawa, basi radius yake itakuwa (a x √3): 6;
- eneo la takwimu hii ya kijiometri linakokotolewa kwa fomula: (a2 x √3): 4.
Pembetatu yenye pembe dhabiti
Kulingana na ufafanuzi wa pembetatu butu, mojawapo ya pembe zake ni kati ya digrii 90 na 180. Lakini kutokana na kwamba pembe nyingine mbili za takwimu hii ya kijiometri ni papo hapo, tunaweza kuhitimisha kuwa hazizidi digrii 90. Kwa hivyo, jumla ya pembetatu ya nadharia ya pembe hufanya kazi wakati wa kuhesabu jumla ya pembe katika pembetatu iliyofifia. Inabadilika kuwa tunaweza kusema kwa usalama, kwa kuzingatia nadharia iliyotajwa hapo juu, kwamba jumla ya pembe za pembetatu ya obtuse ni digrii 180. Tena, nadharia hii haihitaji kuthibitishwa tena.
