Pembetatu ndicho kielelezo rahisi zaidi kilichofungwa kwenye ndege, kinachojumuisha sehemu tatu pekee zilizounganishwa. Katika matatizo ya jiometri, mara nyingi ni muhimu kuamua eneo la takwimu hii. Unahitaji kujua nini kwa hili? Katika makala tutajibu swali la jinsi ya kupata eneo la pembetatu kwa pande tatu.
Mfumo wa jumla
Kila mwanafunzi anajua kwamba eneo la pembetatu hukokotolewa kama bidhaa ya urefu wa pande zake zozote - a kwa nusu ya urefu - h, hushushwa hadi upande uliochaguliwa. Ifuatayo ni fomula inayolingana: S=ah/2.
Usemi huu unaweza kutumika ikiwa angalau pande mbili na thamani ya pembe kati yao inajulikana. Katika kesi hii, urefu h ni rahisi kuhesabu kwa kutumia vitendaji vya trigonometric, kama vile sine. Lakini si kila mtu anajua jinsi ya kupata eneo kwenye pande tatu za pembetatu.
Mfumo wa Heron
Mfumo huu ni jibu la swali la jinsi ganipande tatu kupata eneo la pembetatu. Kabla ya kuiandika, hebu tuonyeshe urefu wa sehemu za takwimu za kiholela kama a, b na c. Fomula ya Heron imeandikwa kama ifuatavyo: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c)).
Ambapo p ni nusu ya mzunguko wa takwimu, yaani: p=(a+b+c)/2.
Licha ya ugumu unaoonekana, usemi ulio hapo juu wa eneo S ni rahisi kukumbuka. Ili kufanya hivyo, lazima kwanza uhesabu nusu ya mzunguko wa pembetatu, kisha uondoe kutoka kwa urefu mmoja wa upande wa takwimu, uzidishe tofauti zote zilizopatikana na nusu ya mzunguko yenyewe. Hatimaye, chukua mzizi wa mraba wa bidhaa.
Mfumo huu umepewa jina la Heron wa Alexandria, aliyeishi mwanzoni mwa enzi yetu. Historia ya kisasa inaamini kwamba ni mwanafalsafa huyu ambaye kwanza alitumia usemi huu kufanya hesabu zinazolingana. Fomula hii imechapishwa katika kitabu chake cha Metrica, ambacho kilianza mwaka 60 BK. Kumbuka kwamba baadhi ya kazi za Archimedes, ambaye aliishi karne mbili mapema kuliko Heron, zina ishara kwamba mwanafalsafa wa Kigiriki tayari alijua fomula. Kwa kuongezea, Wachina wa zamani pia walijua jinsi ya kupata eneo la pembetatu, wakijua pande tatu.
Ni muhimu kutambua kwamba tatizo linaweza kutatuliwa bila kujua kuwepo kwa fomula ya Heron. Ili kufanya hivyo, chora urefu kadhaa katika pembetatu na utumie fomula ya jumla kutoka kwa aya iliyotangulia, ukikusanya mfumo unaofaa wa milinganyo.
Msemo wa Heron unaweza kutumika kukokotoa maeneo ya poligoni kiholela, baada ya kugawanywa katikapembetatu na kukokotoa urefu wa diagonal zinazotokana.
Mfano wa utatuzi wa matatizo
Kujua jinsi ya kupata eneo la pembetatu kwa pande tatu, hebu tuunganishe ujuzi wetu kwa kutatua tatizo lifuatalo. Acha pande za takwimu ziwe sentimita 5, 4 na 3 cm. Tafuta eneo.
Pande tatu za pembetatu zinajulikana, kwa hivyo unaweza kutumia fomula ya Heron. Tunahesabu nusu ya mzunguko na tofauti zinazohitajika, tunayo:
- p=(a+b+c)/2=6 cm;
- p-a=1cm;
- p-b=2cm;
- p-c=3 cm.
Kisha tunapata eneo: S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))=√(6123)=6 cm2.
Pembetatu iliyotolewa katika hali ya tatizo ina pembe ya kulia, ambayo ni rahisi kuangalia ikiwa unatumia nadharia ya Pythagorean. Kwa kuwa eneo la pembetatu kama hiyo ni nusu ya bidhaa za miguu, tunapata: S=43/2=6 cm2.
Thamani inayotokana ni sawa na fomula ya Heron, ambayo inathibitisha uhalali wa fomula ya pili.
