Mstari ulionyooka ndio kitu kikuu cha kijiometri kwenye ndege na katika nafasi ya pande tatu. Ni kutoka kwa mistari ya moja kwa moja ambayo takwimu nyingi zinajengwa, kwa mfano: parallelogram, pembetatu, prism, piramidi, na kadhalika. Fikiria katika makala njia mbalimbali za kuweka milinganyo ya mistari.
Ufafanuzi wa mstari ulionyooka na aina za milinganyo kuuelezea
Kila mwanafunzi ana wazo nzuri la kifaa cha kijiometri anachozungumzia. Mstari wa moja kwa moja unaweza kuwakilishwa kama mkusanyiko wa pointi, na ikiwa tutaunganisha kila mmoja wao kwa zamu na wengine wote, basi tunapata seti ya vectors sambamba. Kwa maneno mengine, inawezekana kufikia kila nukta ya mstari kutoka kwa moja ya alama zake zilizowekwa, kuihamisha kwa vekta fulani ya kitengo iliyozidishwa na nambari halisi. Ufafanuzi huu wa mstari ulionyooka hutumika kufafanua usawa wa vekta kwa maelezo yake ya hisabati katika ndege na katika nafasi ya pande tatu.
Mstari ulionyooka unaweza kuwakilishwa kihisabati na aina zifuatazo za milinganyo:
- jumla;
- vekta;
- parametric;
- katika sehemu;
- symmetrical (kanoni).
Ijayo, tutazingatia aina zote zilizotajwa na kuonyesha jinsi ya kufanya kazi nazo kwa kutumia mifano ya kutatua matatizo.
Vekta na maelezo ya parametric ya mstari ulionyooka
Hebu tuanze kwa kufafanua mstari ulionyooka kupitia vekta inayojulikana. Tuseme kwamba kuna sehemu isiyobadilika katika nafasi M(x0; y0; z0). Inajulikana kuwa mstari ulionyooka hupitia humo na kuelekezwa kando ya sehemu ya vekta v¯(a; b; c). Jinsi ya kupata hatua ya kiholela ya mstari kutoka kwa data hizi? Jibu la swali hili litatoa usawa ufuatao:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Ambapo λ ni nambari ya kiholela.
Msemo sawa unaweza kuandikwa kwa kipochi chenye pande mbili, ambapo viwianishi vya vekta na nukta vinawakilishwa na seti ya nambari mbili:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Milingano iliyoandikwa inaitwa milinganyo ya vekta, na sehemu iliyoelekezwa v¯ yenyewe ni vekta ya mwelekeo wa mstari ulionyooka.
Kutoka kwa maneno yaliyoandikwa, milinganyo sambamba ya parametric hupatikana kwa urahisi, inatosha kuandikwa upya kwa uwazi. Kwa mfano, kwa kesi katika nafasi, tunapata mlinganyo ufuatao:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb;
z=z0+ λc
Inafaa kufanya kazi na milinganyo ya kigezo ikiwa unahitaji kuchanganua tabiakila kuratibu. Kumbuka kuwa ingawa kigezo λ kinaweza kuchukua maadili kiholela, lazima kiwe sawa katika usawa zote tatu.
Mlingano wa jumla
Njia nyingine ya kufafanua mstari ulionyooka, ambao mara nyingi hutumiwa kufanya kazi na kitu kinachozingatiwa cha kijiometri, ni kutumia mlingano wa jumla. Kwa kipochi chenye pande mbili, inaonekana kama:
Ax + By + C=0
Hapa herufi kubwa za Kilatini zinawakilisha thamani mahususi za nambari. Urahisi wa usawa huu katika kutatua matatizo iko katika ukweli kwamba ina wazi vector ambayo ni perpendicular kwa mstari wa moja kwa moja. Ikiwa tutaiashiria kwa n¯, basi tunaweza kuandika:
n¯=[A; B]
Kwa kuongezea, usemi huo ni rahisi kutumia ili kubainisha umbali kutoka kwa mstari ulionyooka hadi sehemu fulani P(x1; y1). Fomula ya umbali d ni:
d=|Ax1+ By1+ C| / √(A2+ B2)
Ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa tutaeleza kwa uwazi tofauti y kutoka kwa mlingano wa jumla, tunapata aina ifuatayo inayojulikana ya kuandika mstari ulionyooka:
y=kx + b
Ambapo k na b hubainishwa kipekee na nambari A, B, C.
Mlinganyo katika sehemu na kisheria
Mlinganyo katika sehemu ni rahisi kupata kutoka kwa mwonekano wa jumla. Tutakuonyesha jinsi ya kuifanya.
Tuseme tunayo mstari ufuatao:
Ax + By + C=0
Sogeza neno lisilolipishwa hadi upande wa kulia wa usawa, kisha ugawanye mlinganyo mzima kwa hilo, tunapata:
Ax + By=-C;
x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;
x / q + y / p=1, ambapo q=-C / A, p=-C / B
Tulipata kinachojulikana kama mlinganyo katika sehemu. Ilipata jina lake kutokana na ukweli kwamba denominator ambayo kila variable imegawanywa inaonyesha thamani ya uratibu wa makutano ya mstari na mhimili unaofanana. Ni rahisi kutumia ukweli huu ili kuonyesha mstari wa moja kwa moja katika mfumo wa kuratibu, na pia kuchambua nafasi yake ya jamaa kuhusiana na vitu vingine vya kijiometri (mistari iliyonyooka, pointi).
Sasa hebu tuendelee kupata mlinganyo wa kisheria. Hii ni rahisi kufanya ikiwa tunazingatia chaguo la parametric. Kwa kesi kwenye ndege tunayo:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Tunaeleza kigezo λ katika kila usawa, kisha tunazisawazisha, tunapata:
λ=(x - x0) / a;
λ=(y - y0) / b;
(x - x0) / a=(y - y0) / b
Hii ndiyo mlinganyo unaotakiwa ulioandikwa kwa ulinganifu. Kama tu msemo wa vekta, ina kwa uwazi viwianishi vya vekta ya mwelekeo na viwianishi vya mojawapo ya pointi ambazo ni za mstari.
Inaweza kuonekana kuwa katika aya hii tumetoa milinganyo ya kisa chenye pande mbili. Vile vile, unaweza kuandika equation ya mstari wa moja kwa moja katika nafasi. Ikumbukwe hapa kwamba ikiwa fomu ya kisheriarekodi na usemi katika sehemu utakuwa na muundo sawa, kisha mlingano wa jumla katika nafasi kwa mstari ulionyooka unawakilishwa na mfumo wa milinganyo miwili ya ndege zinazokatiza.
Tatizo la kuunda mlinganyo wa mstari ulionyooka
Kutokana na jiometri, kila mwanafunzi anajua kuwa unaweza kuchora mstari mmoja kupitia pointi mbili. Chukulia kuwa mambo yafuatayo yametolewa katika ndege ya kuratibu:
M1(1; 2);
M2(-1; 3)
Ni muhimu kupata mlingano wa mstari ambao pointi zote mbili zinahusika, katika sehemu, katika vekta, umbo la kisheria na la jumla.
Hebu tupate mlingano wa vekta kwanza. Ili kufanya hivyo, bainisha kwa vekta ya mwelekeo wa moja kwa moja M1M2¯:
M1M2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)
Sasa unaweza kuunda mlingano wa vekta kwa kuchukua mojawapo ya pointi mbili zilizobainishwa katika taarifa ya tatizo, kwa mfano, M2:
(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)
Ili kupata mlinganyo wa kisheria, inatosha kubadilisha usawa uliopatikana kuwa fomu ya kigezo na kuwatenga kigezo λ. Tuna:
x=-1 - 2λ, kwa hiyo λ=x + 1 / (-2);
y=3 + λ, kisha tunapata λ=y - 3;
x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1
Milinganyo miwili iliyobaki (ya jumla na katika sehemu) inaweza kupatikana kutoka kwa ile ya kisheria kwa kuibadilisha kama ifuatavyo:
x + 1=-2 y + 6;
mlinganyo wa jumla: x + 2y - 5=0;
katika mlinganyo wa sehemu: x / 5 + y / 2, 5=1
Milinganyo inayotokana inaonyesha kwamba vekta (1; 2) lazima iwe pembeni mwa mstari. Hakika, ikiwa unapata bidhaa yake ya scalar na vector ya mwelekeo, basi itakuwa sawa na sifuri. Mlingano wa sehemu ya mstari unasema kwamba mstari unakatiza mhimili wa x kwa (5; 0) na mhimili wa y kwa (2, 5; 0).
Tatizo la kubainisha mahali pa makutano ya mistari
Mistari miwili iliyonyooka imetolewa kwenye ndege kwa milinganyo ifuatayo:
2x + y -1=0;
(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)
Ni muhimu kubainisha viwianishi vya mahali ambapo mistari hii inakatiza.
Kuna njia mbili za kutatua tatizo:
- Badilisha mlingano wa vekta kuwa umbo la jumla, kisha utatue mfumo wa milinganyo miwili ya mstari.
- Usifanye mabadiliko yoyote, lakini badilisha tu kiratibu cha sehemu ya makutano, iliyoonyeshwa kupitia kigezo λ, hadi kwenye mlinganyo wa kwanza. Kisha tafuta thamani ya kigezo.
Hebu tufanye njia ya pili. Tuna:
x=-λ;
y=-1 + 3λ;
2(-λ) + (-1) + 3λ - 1=0;
λ=2
Badilisha nambari inayotokana na mlingano wa kivekta:
(x; y)=(0; -1) + 2(-1; 3)=(-2; 5)
Kwa hivyo, nukta pekee ambayo ni ya mistari yote miwili ni ncha iliyo na viwianishi (-2; 5). Mistari hukatiza ndani yake.
