Tatizo la kawaida la kijiometri ni kutafuta pembe kati ya mistari. Kwenye ndege, ikiwa milinganyo ya mistari inajulikana, inaweza kuchorwa na kupima pembe na protractor. Hata hivyo, njia hii ni ya utumishi na si mara zote inawezekana. Ili kujua angle iliyoitwa, si lazima kuteka mistari ya moja kwa moja, inaweza kuhesabiwa. Makala haya yatajibu jinsi hii inafanywa.
Mstari ulionyooka na mlingano wake wa vekta
Mstari wowote ulionyooka unaweza kuwakilishwa kama vekta inayoanzia -∞ na kuishia kwa +∞. Katika kesi hii, vector hupitia hatua fulani katika nafasi. Kwa hivyo, veta zote ambazo zinaweza kuchorwa kati ya alama mbili kwenye mstari wa moja kwa moja zitakuwa sawa kwa kila mmoja. Ufafanuzi huu hukuruhusu kuweka mlinganyo wa mstari ulionyooka katika umbo la vekta:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Hapa, kivekta chenye viwianishi (a; b; c) ndicho mwongozo wa laini hii kupita kwenye ncha (x0; y0; z0). Kigezo cha α hukuruhusu kuhamisha sehemu iliyoainishwa hadi nyingine yoyote kwa mstari huu. Mlinganyo huu ni angavu na rahisi kufanya kazi nao katika nafasi ya 3D na kwenye ndege. Kwa ndege, haitakuwa na viwianishi vya z na sehemu ya vekta ya mwelekeo wa tatu.
Urahisi wa kufanya mahesabu na kusoma nafasi ya jamaa ya mistari iliyonyooka kutokana na matumizi ya mlingano wa vekta ni kutokana na ukweli kwamba vekta inayoelekeza inajulikana. Viwianishi vyake hutumika kukokotoa pembe kati ya mistari na umbali kati yake.
Mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka kwenye ndege
Hebu tuandike kwa uwazi mlingano wa vekta wa mstari ulionyooka kwa kipochi chenye pande mbili. Inaonekana kama:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Sasa tunakokotoa kigezo α kwa kila usawa na kusawazisha sehemu zinazofaa za usawa uliopatikana:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Kufungua mabano na kuhamisha masharti yote hadi upande mmoja wa usawa, tunapata:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, ambapo A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Msemo unaotokana unaitwa mlingano wa jumla kwa mstari ulionyooka unaotolewa katika nafasi ya pande mbili (katika pande tatu mlinganyo huu unalingana na ndege sambamba na mhimili wa z, si mstari ulionyooka).
Ikiwa tutaandika kwa uwazi y kupitia x katika usemi huu, basi tunapata fomu ifuatayo, inayojulikana.kila mwanafunzi:
y=kx + p, ambapo k=-A/B, p=-C/B
Mlingano huu wa mstari hufafanua kwa njia ya kipekee mstari ulionyooka kwenye ndege. Ni rahisi sana kuteka kulingana na equation inayojulikana, kwa hili unapaswa kuweka x=0 na y=0 kwa upande wake, alama pointi zinazofanana katika mfumo wa kuratibu na kuteka mstari wa moja kwa moja kuunganisha pointi zilizopatikana.
Mfumo wa pembe kati ya mistari
Kwenye ndege, mistari miwili inaweza kukatiza au kuwa sambamba. Katika nafasi, kwa chaguzi hizi huongezwa uwezekano wa kuwepo kwa mistari ya skew. Toleo lolote la nafasi inayolingana ya vitu hivi vya kijiometri yenye mwelekeo mmoja linatekelezwa, pembe kati yao inaweza kubainishwa kila wakati kwa fomula ifuatayo:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Ambapo v1¯ na v2¯ ni vekta elekezi za mstari wa 1 na 2 mtawalia. Nambari ni moduli ya bidhaa ya nukta ili kuwatenga pembe tupu na kuzingatia zenye ncha kali pekee.
Vekta v1¯ na v2¯ inaweza kutolewa na viwianishi viwili au vitatu, huku fomula ya pembe φ. bado haijabadilika.
Sambamba na upenyo wa mistari
Ikiwa pembe kati ya mistari 2 iliyokokotolewa kwa kutumia fomula iliyo hapo juu ni 0o, basi inasemekana kuwa sambamba. Kuamua ikiwa mistari inafanana au la, huwezi kuhesabu pembeφ, inatosha kuonyesha kuwa vekta moja ya mwelekeo inaweza kuwakilishwa kupitia vekta sawa ya mstari mwingine, ambayo ni:
v1¯=qv2¯
Hapa q ni nambari halisi.
Ikiwa milinganyo ya mistari imetolewa kama:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
basi zitakuwa sambamba tu wakati migawo ya x ni sawa, yaani:
k1=k2
Ukweli huu unaweza kuthibitishwa ikiwa tutazingatia jinsi mgawo k unavyoonyeshwa kulingana na viwianishi vya vekta inayoelekeza ya mstari ulionyooka.
Ikiwa pembe ya makutano kati ya mistari ni 90o, basi zinaitwa perpendicular. Kuamua perpendicularity ya mistari, pia si lazima kuhesabu angle φ, kwa maana hii inatosha kuhesabu tu bidhaa scalar ya vectors v1¯ na v 2¯. Lazima iwe sifuri.
Katika hali ya kukatiza mistari iliyonyooka katika nafasi, fomula ya pembe φ inaweza pia kutumika. Katika kesi hii, matokeo yanapaswa kufasiriwa kwa usahihi. φ iliyokokotwa inaonyesha pembe kati ya vivekta mwelekeo wa mistari ambayo haikatiki na hailingani.
Jukumu 1. Mistari ya pembeni
Inajulikana kuwa milinganyo ya mistari ina namna:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Ni muhimu kubainisha kama mistari hii niperpendicular.
Kama ilivyotajwa hapo juu, kujibu swali, inatosha kuhesabu bidhaa ya scalar ya vekta za miongozo, ambayo inalingana na kuratibu (1; 2) na (-4; 2). Tuna:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Kwa kuwa tumepata 0, hii inamaanisha kuwa mistari inayozingatiwa inakatiza kwa pembe ya kulia, yaani, ni za pembeni.
Jukumu 2. Pembe ya makutano ya mstari
Inajulikana kuwa milinganyo miwili ya mistari iliyonyooka ina namna ifuatayo:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Ni muhimu kupata pembe kati ya mistari.
Kwa vile viambajengo vya x vina thamani tofauti, mistari hii haiwiani. Ili kupata pembe inayoundwa wakati zinapopishana, tunatafsiri kila milinganyo katika umbo la vekta.
Kwa mstari wa kwanza tunapata:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Upande wa kulia wa mlinganyo, tulipata vekta ambayo viwianishi vinategemea x. Wacha tuwakilishe kama jumla ya vekta mbili, na kuratibu za kwanza zitakuwa na x tofauti, na kuratibu za pili zitajumuisha nambari pekee:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Kwa kuwa x inachukua viwango vya kiholela, inaweza kubadilishwa na kigezo α. Mlinganyo wa vekta wa mstari wa kwanza unakuwa:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Tunafanya vitendo sawa na mlinganyo wa pili wa mstari, tunapata:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Tuliandika upya milinganyo ya asili katika umbo la vekta. Sasa unaweza kutumia fomula ya pembe ya makutano, ukibadilisha ndani yake kuratibu za vekta zinazoelekeza za mistari:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Kwa hivyo, mistari inayozingatiwa hukatiza kwa pembe ya 71.565o, au radiani 1.249.
Tatizo hili lingeweza kutatuliwa kwa njia tofauti. Ili kufanya hivyo, ilikuwa ni lazima kuchukua pointi mbili za kiholela za kila mstari wa moja kwa moja, kutunga vectors moja kwa moja kutoka kwao, na kisha kutumia formula kwa φ.
