Pembe kati ya ndege. Jinsi ya kuamua angle kati ya ndege

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Wakati wa kutatua matatizo ya kijiometri katika nafasi, mara nyingi kuna zile ambapo ni muhimu kukokotoa pembe kati ya vitu tofauti vya anga. Katika makala haya, tutazingatia suala la kutafuta pembe kati ya ndege na kati yao na mstari ulionyooka.

Simu angani

Inajulikana kuwa mstari wowote ulionyooka kabisa kwenye ndege unaweza kubainishwa kwa usawa ufuatao:

y=ax + b

Hapa a na b ni baadhi ya nambari. Ikiwa tunawakilisha mstari wa moja kwa moja katika nafasi na usemi sawa, basi tunapata ndege inayofanana na mhimili wa z. Kwa ufafanuzi wa hisabati wa mstari wa anga, njia tofauti ya ufumbuzi hutumiwa kuliko katika kesi mbili-dimensional. Inajumuisha kutumia dhana ya "vekta ya mwelekeo".

Vekta inayoelekeza ya mstari ulionyooka huonyesha uelekeo wake katika nafasi. Kigezo hiki ni cha mstari. Kwa kuwa kuna seti isiyo na kikomo ya vekta sambamba katika nafasi, basi ili kuamua kwa njia ya kipekee kitu kinachozingatiwa kijiometri, ni muhimu pia kujua viwianishi vya uhakika wake.

Chukulia kuwa kunauhakika P(x₀; y₀; z_{0) na vekta ya mwelekeo v¯(a; b; c), basi mlinganyo wa mstari ulionyooka unaweza kutolewa kama ifuatavyo:}

(x; y; z)=P + αv¯ au

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Usemi huu unaitwa mlingano wa vekta ya parametric ya mstari ulionyooka. Mgawo α ni kigezo ambacho kinaweza kuchukua maadili yoyote halisi. Viwianishi vya mstari vinaweza kuwakilishwa kwa uwazi kwa kupanua usawa huu:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

Mlinganyo wa ndege

Kuna aina kadhaa za kuandika mlinganyo wa ndege iliyoko angani. Hapa tutazingatia mojawapo, ambayo hutumiwa mara nyingi wakati wa kuhesabu pembe kati ya ndege mbili au kati ya moja yao na mstari ulionyooka.

Ikiwa baadhi ya vekta n¯(A; B; C) inajulikana, ambayo ni ya kipekee kwa ndege inayotaka, na uhakika P(x₀; y ₀; z_{0), ambayo ni yake, basi mlinganyo wa jumla wa mwisho ni:}

Ax + By + Cz + D=0 ambapo D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Tumeacha asili ya usemi huu, ambao ni rahisi sana. Hapa tunaona tu kwamba, kwa kujua coefficients ya vigezo katika equation ya ndege, mtu anaweza kupata kwa urahisi vectors zote ambazo ni perpendicular yake. Mwisho huitwa kawaida na hutumiwa katika kuhesabu pembe kati ya mwelekeo na ndege na kati yaanalogi holela.

Mahali zilipo ndege na fomula ya pembe kati yao

Tuseme kuna ndege mbili. Je, ni chaguzi gani kwa nafasi yao ya jamaa katika nafasi. Kwa kuwa ndege ina vipimo viwili visivyo na kikomo na sifuri moja, chaguzi mbili tu za mwelekeo wao wa pande zote zinawezekana:

zitakuwa sambamba;
zinaweza kuingiliana.

Pembe kati ya ndege ni faharasa kati ya vekta za mwelekeo wao, yaani, kati ya kawaida zao n₁¯ na n_2¯.

Ni wazi, ikiwa ziko sambamba na ndege, basi pembe ya makutano ni sifuri kati yazo. Ikiwa wanaingiliana, basi ni nonzero, lakini daima ni mkali. Kesi maalum ya makutano itakuwa pembe 90o, wakati ndege zinafanana.

Pembe α kati ya n₁¯ na n_{2¯ hubainishwa kwa urahisi kutoka kwa bidhaa ya scalar ya vekta hizi. Hiyo ni, fomula hufanyika:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Chukulia kuwa viwianishi vya vekta hizi ni: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Kisha, kwa kutumia fomula za kukokotoa bidhaa na moduli za vekta kupitia viwianishi vyao, usemi ulio hapo juu unaweza kuandikwa upya kama:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Moduli katika nambari ilionekana kwa sababu ya kutojumuisha thamani za pembe tupu.

Mifano ya kutatua matatizo ili kubainisha pembe ya makutano ya ndege

Kwa kujua jinsi ya kupata pembe kati ya ndege, tutatatua tatizo lifuatalo. Ndege mbili zimetolewa, milinganyo yake ni:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Ni pembe gani kati ya ndege?

Ili kujibu swali la tatizo, tukumbuke kwamba coefficients ya viambajengo katika mlingano wa jumla wa ndege ni viwianishi vya vekta elekezi. Kwa ndege zilizoonyeshwa tuna viwianishi vifuatavyo vya kawaida zao:

_{1¯(3; 4; -1);}
_{2¯(-1; -2; 5)}

Sasa tunapata bidhaa ya scalar ya vekta hizi na moduli zake, tunayo:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Sasa unaweza kubadilisha nambari zilizopatikana kwenye fomula iliyotolewa katika aya iliyotangulia. Tunapata:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Thamani inayotokana inalingana na pembe kali ya makutano ya ndege iliyobainishwa katika hali hiyo.kazi.

Sasa fikiria mfano mwingine. Imepewa ndege mbili:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Je, zinakatiza? Wacha tuandike maadili ya kuratibu za vekta za mwelekeo wao, tuhesabu bidhaa zao za scalar na moduli:

_{1¯(1; 1; 0);}
_{2¯(3; 3; 0);}

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Kisha pembe ya makutano ni:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Pembe hii inaonyesha kuwa ndege hazikatiki, lakini ziko sambamba. Ukweli kwamba hawafanani na kila mmoja ni rahisi kuangalia. Wacha tuchukue kwa hili hatua ya kiholela ya wa kwanza wao, kwa mfano, P (0; 3; 2). Badilisha viwianishi vyake kwenye mlinganyo wa pili, tunapata:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Yaani pointi P ni ya ndege ya kwanza pekee.

Kwa hivyo ndege mbili zinalingana wakati kawaida zao ziko.

Ndege na mstari ulionyooka

Katika kesi ya kuzingatia nafasi ya jamaa kati ya ndege na mstari wa moja kwa moja, kuna chaguo kadhaa zaidi kuliko ndege mbili. Ukweli huu unaunganishwa na ukweli kwamba mstari wa moja kwa moja ni kitu cha mwelekeo mmoja. Laini na ndege zinaweza kuwa:

sambamba, katika hali hii ndege haikatiki mstari;
ya mwisho inaweza kuwa ya ndege, wakati pia itakuwa sambamba nayo;
vitu vyote viwili vinawezavuka kwa pembe fulani.

Hebu tuzingatie kisa cha mwisho kwanza, kwa kuwa inahitaji kuanzishwa kwa dhana ya pembe ya makutano.

Mstari na ndege, pembe kati yake

Ikiwa mstari wa moja kwa moja unakatiza ndege, basi inaitwa inayotega kwa heshima nayo. Hatua ya makutano inaitwa msingi wa mteremko. Kuamua angle kati ya vitu hivi vya kijiometri, ni muhimu kupunguza perpendicular moja kwa moja kwa ndege kutoka kwa hatua yoyote. Kisha hatua ya makutano ya perpendicular na ndege na mahali pa makutano ya mstari unaoelekea nayo huunda mstari wa moja kwa moja. Mwisho huitwa makadirio ya mstari wa asili kwenye ndege inayozingatiwa. Pembe kali kati ya mstari na makadirio yake ndiyo inayohitajika.

Ufafanuzi wenye kutatanisha kwa kiasi fulani wa pembe kati ya ndege na mshazari utafafanua takwimu iliyo hapa chini.

Hapa pembe ABO ni pembe kati ya mstari AB na ndege a.

Ili kuandika fomula yake, zingatia mfano. Hebu kuwe na mstari wa moja kwa moja na ndege, ambayo inaelezwa na milinganyo:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Ni rahisi kukokotoa pembe inayohitajika ya vitu hivi ikiwa utapata bidhaa ya scalar kati ya vekta za mwelekeo wa laini na ndege. Pembe ya papo hapo inayotokana inapaswa kupunguzwa kutoka 90o, kisha ipatikane kati ya mstari ulionyooka na ndege.

Kielelezo hapo juu kinaonyesha kanuni iliyofafanuliwa ya kutafutakuzingatiwa angle. Hapa β ni pembe kati ya kawaida na mstari, na α iko kati ya mstari na makadirio yake kwenye ndege. Inaweza kuonekana kuwa jumla yao ni 90o.

Hapo juu, fomula iliwasilishwa inayojibu swali la jinsi ya kupata pembe kati ya ndege. Sasa tunatoa usemi unaolingana wa kesi ya mstari wa moja kwa moja na ndege:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Moduli katika fomula inaruhusu tu pembe kali kuhesabiwa. Kazi ya arcsine ilionekana badala ya arccosine kutokana na matumizi ya fomula sambamba ya kupunguza kati ya vitendakazi vya trigonometric (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Tatizo: Ndege inakatiza mstari ulionyooka

Sasa hebu tuonyeshe jinsi ya kufanya kazi na fomula iliyo hapo juu. Wacha tusuluhishe shida: inahitajika kuhesabu pembe kati ya mhimili wa y na ndege iliyotolewa na equation:

y - z + 12=0

Ndege hii inavyoonekana kwenye picha.

Unaweza kuona kwamba inakatiza shoka y na z kwenye ncha (0; -12; 0) na (0; 0; 12), mtawalia, na ni sambamba na mhimili wa x.

Vekta ya mwelekeo ya mstari y ina viwianishi (0; 1; 0). Vector perpendicular kwa ndege iliyotolewa ina sifa ya kuratibu (0; 1; -1). Tunatumia fomula ya pembe ya makutano ya mstari wa moja kwa moja na ndege, tunapata:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Tatizo: mstari ulionyooka sambamba na ndege

Sasa tuamuesawa na tatizo la awali, swali ambalo linawekwa tofauti. Milinganyo ya ndege na mstari ulionyooka hujulikana:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Ni muhimu kubaini kama vitu hivi vya kijiometri vinalingana.

Tuna vivekta viwili: mwelekeo wa mstari ulionyooka ni (0; 2; 2) na mwelekeo wa ndege ni (1; 1; -1). Tafuta bidhaa zao za nukta:

01 + 12 - 12=0

Sufuri inayotokana inaonyesha kuwa pembe kati ya vekta hizi ni 90o, ambayo inathibitisha kuwa laini na ndege ziko sambamba.

Sasa hebu tuangalie ikiwa laini hii inalingana tu au pia iko kwenye ndege. Ili kufanya hivyo, chagua hatua ya kiholela kwenye mstari na uangalie ikiwa ni ya ndege. Kwa mfano, hebu tuchukue λ=0, kisha hatua P (1; 0; 0) ni ya mstari. Badilisha katika mlinganyo wa ndege P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Nyimbo P si mali ya ndege, ambayo ina maana kwamba mstari mzima haumo ndani yake pia.

Ni wapi ni muhimu kujua pembe kati ya vitu vinavyozingatiwa vya kijiometri?

Miundo na mifano iliyo hapo juu ya utatuzi wa matatizo si ya manufaa ya kinadharia pekee. Mara nyingi hutumiwa kuamua kiasi muhimu cha kimwili cha takwimu halisi za tatu-dimensional, kama vile prismu au piramidi. Ni muhimu kuwa na uwezo wa kuamua angle kati ya ndege wakati wa kuhesabu kiasi cha takwimu na maeneo ya nyuso zao. Kwa kuongeza, ikiwa katika kesi ya prism moja kwa moja inawezekana kutotumia fomula hizi kuamuathamani zilizobainishwa, basi kwa aina yoyote ya piramidi matumizi yao hayaepukiki.

Hapa chini, zingatia mfano wa kutumia nadharia iliyo hapo juu ili kubainisha pembe za piramidi yenye msingi wa mraba.

Piramidi na pembe zake

Mchoro ulio hapa chini unaonyesha piramidi, ambayo chini yake kuna mraba na upande a. Urefu wa takwimu ni h. Unahitaji kupata pembe mbili:

kati ya uso wa upande na msingi;
kati ya mbavu za upande na msingi.

Ili kutatua tatizo, lazima kwanza uweke mfumo wa kuratibu na ubainishe vigezo vya wima sambamba. Takwimu inaonyesha kwamba asili ya kuratibu inapatana na uhakika katikati ya msingi wa mraba. Katika kesi hii, ndege ya msingi inaelezewa na mlinganyo:

z=0

Yaani, kwa x na y yoyote, thamani ya kiwianishi cha tatu huwa sifuri kila wakati. Ndege ya kando ya ABC inakatiza mhimili wa z kwenye hatua B(0; 0; h), na mhimili wa y kwenye hatua na viwianishi (0; a/2; 0). Haivuki mhimili wa x. Hii ina maana kwamba mlinganyo wa ndege ya ABC unaweza kuandikwa kama:

y / (a / 2) + z / h=1 au

2hy + az - ah=0

Vekta AB¯ ni ukingo wa kando. Viwianishi vyake vya kuanza na mwisho ni: A(a/2; a/2; 0) na B(0; 0; h). Kisha kuratibu za vekta yenyewe:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Tumepata milinganyo na vivekta vyote muhimu. Sasa inabakia kutumia fomula zinazozingatiwa.

Kwanza tunakokotoa katika piramidi pembe kati ya ndege za besina upande. Vekta za kawaida zinazolingana ni: n₁¯(0; 0; 1) na n_{2¯(0; 2h; a). Kisha pembe itakuwa:}