Kokotoa pembe kati ya mstari na ndege. Njia ya kuratibu ya kutatua shida

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Mojawapo ya matatizo ya kawaida katika stereometry ni kazi ya kuvuka mistari iliyonyooka na ndege na kukokotoa pembe kati yao. Hebu tuzingatie katika makala haya kwa undani zaidi ile inayoitwa mbinu ya kuratibu na pembe kati ya mstari na ndege.

Mstari na ndege katika jiometri

Kabla ya kuzingatia mbinu ya kuratibu na pembe kati ya mstari na ndege, unapaswa kuzoeana na vitu vilivyoitwa vya kijiometri.

Mstari ni mkusanyiko wa pointi katika nafasi au kwenye ndege, ambayo kila moja inaweza kupatikana kwa kuhamisha kwa mstari ya awali hadi kwa vekta fulani. Katika kile kinachofuata, tunaashiria vekta hii kwa ishara u¯. Ikiwa vekta hii itazidishwa na nambari yoyote ambayo si sawa na sifuri, basi tunapata vekta sambamba na u¯. Mstari ni kitu kisicho na kikomo cha mstari.

Ndege pia ni mkusanyiko wa pointi ambazo ziko kwa njia ambayo ukitengeneza vekta kiholela kutoka kwazo, basi zote zitakuwa za kipekee kwa vekta fulani. Mwisho huitwa kawaida au kawaida tu. Ndege, tofauti na mstari ulionyooka, ni kitu kisicho na kikomo chenye pande mbili.

Mbinu ya kuratibu ya kutatua matatizo ya jiometri

Kulingana na jina la mbinu yenyewe, tunaweza kuhitimisha kuwa tunazungumza kuhusu mbinu ya kutatua matatizo, ambayo inategemea utendakazi wa hesabu za mfuatano wa uchanganuzi. Kwa maneno mengine, mbinu ya kuratibu hukuruhusu kutatua matatizo ya kijiometri kwa kutumia zana za aljebra zima, ambazo kuu ni milinganyo.

Ikumbukwe kwamba mbinu inayozingatiwa ilionekana mwanzoni mwa jiometri ya kisasa na aljebra. Mchango mkubwa katika maendeleo yake ulitolewa na Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton na Leibniz katika karne za 17-18.

Kiini cha mbinu ni kukokotoa umbali, pembe, maeneo na ujazo wa vipengele vya kijiometri kulingana na viwianishi vya pointi zinazojulikana. Kumbuka kwamba fomu ya equations ya mwisho iliyopatikana inategemea mfumo wa kuratibu. Mara nyingi, mfumo wa Cartesian wa mstatili hutumiwa katika matatizo, kwa kuwa ni rahisi zaidi kufanya kazi nao.

Mlingano wa Mstari

Kuzingatia njia ya kuratibu na pembe kati ya mstari na ndege, wacha tuanze na kuweka mlingano wa mstari. Kuna njia kadhaa za kuwakilisha mistari katika umbo la aljebra. Hapa tunazingatia mlinganyo wa vekta pekee, kwa kuwa inaweza kupatikana kwa urahisi kutoka kwayo kwa namna nyingine yoyote na ni rahisi kufanya kazi nayo.

Chukulia kuwa kuna nukta mbili: P na Q. Inajulikana kuwa mstari unaweza kuchorwa kupitia kwao, naitakuwa ya pekee. Uwakilishi unaolingana wa hisabati wa kipengele unaonekana kama hii:

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Ambapo PQ¯ ni vekta ambayo viwianishi vyake vinapatikana kama ifuatavyo:

PQ¯=Q - P.

Alama λ inaashiria kigezo ambacho kinaweza kuchukua nambari yoyote kabisa.

Katika usemi ulioandikwa, unaweza kubadilisha mwelekeo wa vekta, na pia kubadilisha viwianishi vya Q badala ya nukta P. Mabadiliko haya yote hayatasababisha mabadiliko katika eneo la kijiometri la mstari.

Kumbuka kwamba wakati wa kutatua matatizo, wakati mwingine inahitajika kuwakilisha mlingano wa vekta iliyoandikwa katika fomu dhahiri (parametric).

Kuweka ndege angani

Pamoja na kwa mstari ulionyooka, pia kuna aina kadhaa za milinganyo ya hisabati kwa ndege. Miongoni mwao, tunaona vector, equation katika makundi na fomu ya jumla. Katika makala haya, tutazingatia zaidi fomu ya mwisho.

Mlinganyo wa jumla wa ndege kiholela unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

Ax + By + Cz + D=0.

Herufi kubwa za Kilatini ni nambari fulani zinazofafanua ndege.

Urahisi wa nukuu hii ni kwamba ina vekta ya kawaida kwa ndege. Ni sawa na:

n¯=(A, B, C).

Kujua vekta hii huwezesha, kwa kuangalia kwa ufupi mlinganyo wa ndege, kufikiria eneo la ndege ya pili katika mfumo wa kuratibu.

Mpangilio wa pamoja katikanafasi ya mstari na ndege

Katika aya inayofuata ya makala tutaendelea na uzingatiaji wa mbinu ya kuratibu na pembe kati ya mstari na ndege. Hapa tutajibu swali la jinsi vipengele vya kijiometri vinavyozingatiwa vinaweza kuwekwa kwenye nafasi. Kuna njia tatu:

Mstari wa moja kwa moja hukatiza ndege. Kwa kutumia mbinu ya kuratibu, unaweza kukokotoa mstari na ndege inakatiza katika sehemu gani.
Ndege ya mstari ulionyooka ni sambamba. Katika kesi hii, mfumo wa equations wa vipengele vya kijiometri hauna ufumbuzi. Ili kuthibitisha ulinganifu, sifa ya bidhaa ya scalar ya vekta inayoelekeza ya mstari ulionyooka na kawaida ya ndege hutumiwa.
Ndege ina mstari. Kutatua mfumo wa equations katika kesi hii, tutafikia hitimisho kwamba kwa thamani yoyote ya parameter λ, usawa sahihi hupatikana.

Katika hali ya pili na ya tatu, pembe kati ya vitu vilivyobainishwa vya kijiometri ni sawa na sifuri. Katika hali ya kwanza, iko kati ya 0 na 90o.

Ukokotoaji wa pembe kati ya mistari na ndege

Sasa twende kwenye mada ya makala moja kwa moja. Makutano yoyote ya mstari na ndege hutokea kwa pembe fulani. Pembe hii huundwa na mstari wa moja kwa moja yenyewe na makadirio yake kwenye ndege. Makadirio yanaweza kupatikana ikiwa kutoka kwa hatua yoyote ya mstari wa moja kwa moja perpendicular inateremshwa kwenye ndege, na kisha kupitia hatua iliyopatikana ya makutano ya ndege na perpendicular na hatua ya makutano ya ndege na mstari wa asili, chora mstari mnyoofu ambao utakuwa makadirio.

Kukokotoa pembe kati ya mistari na ndege si kazi ngumu. Ili kutatua, inatosha kujua equations ya vitu vinavyolingana vya kijiometri. Wacha tuseme milinganyo hii inaonekana kama hii:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

Njia inayohitajika inapatikana kwa urahisi kwa kutumia sifa ya bidhaa ya vekta za scalar u¯ na n¯. Fomula ya mwisho inaonekana kama hii:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Mfumo huu unasema kuwa sine ya pembe kati ya mstari na ndege ni sawa na uwiano wa moduli ya bidhaa ya chembechembe za vekta zilizotiwa alama na bidhaa ya urefu wake. Ili kuelewa ni kwa nini sine ilionekana badala ya cosine, hebu tugeuke kwenye mchoro ulio hapa chini.

Inaweza kuonekana kuwa tukitumia chaguo za kukokotoa za kosine, tutapata pembe kati ya vekta u¯ na n¯. Pembe inayotakiwa θ (α kwenye takwimu) inapatikana kama ifuatavyo:

θ=90o- β.

Sine inaonekana kama matokeo ya kutumia fomula za kupunguza.

Tatizo la mfano

Wacha tuendelee kwenye matumizi ya vitendo ya maarifa tuliyopata. Wacha tusuluhishe shida ya kawaida kwenye pembe kati ya mstari wa moja kwa moja na ndege. Viratibu vifuatavyo vya nukta nne vimetolewa:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Inajulikana kuwa kupitia pointi PQMndege hupitia humo, na mstari wa moja kwa moja hupitia MN. Kwa kutumia mbinu ya kuratibu, pembe kati ya ndege na mstari lazima ihesabiwe.

Kwanza, hebu tuandike milinganyo ya mstari ulionyooka na ndege. Kwa mstari ulionyooka, ni rahisi kuutunga:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

Ili kufanya mlingano wa ndege, kwanza tunapata kawaida yake. Kuratibu zake ni sawa na bidhaa ya vector ya vectors mbili zilizo kwenye ndege iliyotolewa. Tuna: