Ndege, pamoja na ncha na mstari ulionyooka, ni kipengele msingi cha kijiometri. Kwa matumizi yake, takwimu nyingi katika jiometri ya anga hujengwa. Katika makala haya, tutazingatia kwa undani zaidi swali la jinsi ya kupata pembe kati ya ndege mbili.
dhana
Kabla ya kuzungumzia pembe kati ya ndege mbili, unapaswa kuelewa vyema ni kipengele gani katika jiometri tunachozungumzia. Hebu tuelewe istilahi. Ndege ni mkusanyiko usio na mwisho wa pointi katika nafasi, kuunganisha ambayo tunapata vectors. Ya mwisho itakuwa perpendicular kwa baadhi ya vector moja. Kwa kawaida huitwa kawaida kwa ndege.
Kielelezo kilicho hapo juu kinaonyesha ndege na vekta mbili za kawaida kwake. Inaweza kuonekana kuwa vekta zote mbili ziko kwenye mstari ulio sawa. Pembe kati yake ni 180o.
Milingano
Pembe kati ya ndege mbili inaweza kubainishwa ikiwa mlingano wa hisabati wa kipengele kinachozingatiwa cha kijiometri unajulikana. Kuna aina kadhaa za milinganyo kama hii,ambao majina yao yameorodheshwa hapa chini:
- aina ya jumla;
- vekta;
- katika sehemu.
Aina hizi tatu ndizo zinazofaa zaidi kutatua aina mbalimbali za matatizo, kwa hivyo hutumiwa mara nyingi zaidi.
Mlingano wa aina ya jumla inaonekana kama hii:
Ax + By + Cz + D=0.
Hapa x, y, z ni viwianishi vya sehemu kiholela inayomilikiwa na ndege uliyopewa. Vigezo A, B, C na D ni nambari. Urahisi wa nukuu hii unatokana na ukweli kwamba nambari A, B, C ni viwianishi vya vekta ya kawaida kwa ndege.
Muundo wa vekta wa ndege unaweza kuwakilishwa kama ifuatavyo:
x, y, z)=(x0, y0, z0) + α(a1, b1, c1) + β(a 2, b2, c2).).
Hapa (a2, b2, c2) na (a) 1, b1, c1) - vigezo vya vekta mbili za kuratibu ambazo ni za ndege inayozingatiwa. Hoja (x0, y0, z0) pia iko kwenye ndege hii. Vigezo α na β vinaweza kuchukua maadili huru na ya kiholela.
Mwishowe, mlinganyo wa ndege katika sehemu unawakilishwa katika muundo wa hisabati ufuatao:
x/p + y/q + z/l=1.
Hapa p, q, l ni nambari mahususi (pamoja na hasi). Aina hii ya equation ni muhimu wakati inahitajika kuonyesha ndege katika mfumo wa kuratibu wa mstatili, kwani nambari p, q, l zinaonyesha alama za makutano na shoka za x, y na z.ndege.
Kumbuka kwamba kila aina ya mlinganyo inaweza kubadilishwa hadi nyingine yoyote kwa kutumia utendakazi rahisi wa hisabati.
Mfumo wa pembe kati ya ndege mbili
Sasa zingatia nuance ifuatayo. Katika nafasi ya tatu-dimensional, ndege mbili zinaweza kupatikana kwa njia mbili tu. Ama vuka au iwe sambamba. Kati ya ndege mbili, angle ni nini iko kati ya vectors mwongozo wao (kawaida). Kuingiliana, vector 2 huunda pembe 2 (papo hapo na obtuse katika kesi ya jumla). Pembe kati ya ndege inachukuliwa kuwa ya papo hapo. Zingatia mlinganyo.
Mchanganyiko wa pembe kati ya ndege mbili ni:
θ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|)).
Ni rahisi kukisia kuwa usemi huu ni tokeo la moja kwa moja la bidhaa ya scalar ya vekta za kawaida n1¯ na n2 ¯ kwa ndege zinazozingatiwa. Moduli ya bidhaa ya nukta katika nambari inaonyesha kuwa pembe θ itachukua tu thamani kutoka 0o hadi 90o. Bidhaa ya moduli ya vekta za kawaida kwenye kipunguzo humaanisha bidhaa ya urefu wao.
Kumbuka, ikiwa (n1¯n2¯)=0, basi ndege hupishana kwa pembe ya kulia.
Tatizo la mfano
Baada ya kufahamu kinachoitwa pembe kati ya ndege mbili, tutatatua tatizo lifuatalo. Kwa mfano. Kwa hivyo, ni muhimu kuhesabu angle kati ya ndege kama hizo:
2x - 3y + 4=0;
(x, y, z)=(2, 0, -1) + α(1, 1, -1) + β(0, 2, 3).
Ili kutatua tatizo, unahitaji kujua mwelekeo wa vekta za ndege. Kwa ndege ya kwanza, vekta ya kawaida ni: n1¯=(2, -3, 0). Ili kupata ndege ya pili vector ya kawaida, mtu anapaswa kuzidisha vectors baada ya vigezo α na β. Matokeo yake ni vekta: n2¯=(5, -3, 2).
Ili kubainisha pembe θ, tunatumia fomula kutoka kwa aya iliyotangulia. Tunapata:
θ=arccos (|((2, -3, 0)(5, -3, 2))|/(|(2, -3, 0)||(5, -3, 2)|))=
=arccos (19/√(1338))=rad 0.5455.
Embe iliyokokotolewa katika radiani inalingana na 31.26o. Kwa hivyo, ndege kutoka kwa hali ya shida huingiliana kwa pembe ya 31, 26o..
