Mstari na ndege ni vipengele viwili muhimu zaidi vya kijiometri vinavyoweza kutumika kutengeneza maumbo tofauti katika nafasi ya 2D na 3D. Fikiria jinsi ya kupata umbali kati ya mistari sambamba na ndege sambamba.
Mstari wa moja kwa moja wa kazi ya hesabu
Kutoka kwa kozi ya jiometri ya shule inajulikana kuwa katika mfumo wa kuratibu wa mstatili wa pande mbili mstari unaweza kubainishwa katika fomu ifuatayo:
y=kx + b.
Ambapo k na b ni nambari (vigezo). Fomu iliyoandikwa ya kuwakilisha mstari katika ndege ni ndege ambayo ni sambamba na mhimili wa z katika nafasi ya tatu-dimensional. Kwa kuzingatia hili, katika makala hii, kwa mgawo wa hisabati wa mstari wa moja kwa moja, tutatumia fomu rahisi zaidi na ya ulimwengu wote - vector moja.
Chukulia kuwa laini yetu inalingana na baadhi ya vekta u¯(a, b, c) na hupitia nukta P(x0, y0, z0). Katika kesi hii, katika fomu ya vekta, equation yake itawakilishwa kama ifuatavyo:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Hii hapa ni nambari yoyote. Ikiwa tutawakilisha viwianishi kwa uwazi kwa kupanua usemi ulioandikwa, basi tutapata aina ya parametric ya kuandika mstari ulionyooka.
Inafaa kufanya kazi na mlinganyo wa vekta wakati wa kutatua matatizo mbalimbali ambayo ni muhimu kuamua umbali kati ya mistari sambamba.
Mistari na umbali kati yake
Inaleta maana kuzungumza juu ya umbali kati ya mistari ikiwa tu inalingana (katika hali ya pande tatu, pia kuna umbali usio na sifuri kati ya mistari ya skew). Ikiwa mistari inapishana, basi ni dhahiri kwamba iko katika umbali sufuri kutoka kwa nyingine.
Umbali kati ya mistari sambamba ni urefu wa pembe inayoiunganisha. Kuamua kiashiria hiki, inatosha kuchagua hatua ya kiholela kwenye moja ya mistari na kuacha perpendicular kutoka kwayo hadi nyingine.
Hebu tueleze kwa ufupi utaratibu wa kutafuta umbali unaotaka. Tuseme kuwa tunajua milinganyo ya vekta ya mistari miwili, ambayo imewasilishwa katika muundo wa jumla ufuatao:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Unda mlinganuo kwenye mistari hii ili moja ya pande ni PQ, na nyingine, kwa mfano, u. Kwa wazi, urefu wa takwimu hii, inayotolewa kutoka kwa uhakika P, ni urefu wa perpendicular inayohitajika. Ili kuipata, unaweza kutumia zifuatazo rahisifomula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Kwa kuwa umbali kati ya mistari iliyonyooka ni urefu wa sehemu ya pembeni kati yake, basi kulingana na usemi ulioandikwa, inatosha kupata moduli ya bidhaa ya vekta ya PQ¯ na u¯ na kugawa matokeo kwa urefu wa vekta u¯.
Mfano wa kazi ya kubainisha umbali kati ya mistari iliyonyooka
Mistari miwili iliyonyooka imetolewa na milinganyo ifuatayo ya vekta:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Kutoka kwa maneno yaliyoandikwa ni wazi kwamba tunayo mistari miwili inayofanana. Hakika, ikiwa tunazidisha kwa -1 kuratibu za vekta ya mwelekeo wa mstari wa kwanza, tunapata kuratibu za vekta ya mwelekeo wa mstari wa pili, ambayo inaonyesha usawa wao.
Umbali kati ya mistari iliyonyooka utahesabiwa kwa kutumia fomula iliyoandikwa katika aya iliyotangulia ya makala. Tuna:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Kisha tunapata:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=sentimita 2.535.
Kumbuka kwamba badala ya pointi P na Q, pointi zozote ambazo ni za mistari hii zinaweza kutumiwa kutatua tatizo. Katika hali hii, tutapata umbali sawa d.
Kuweka ndege katika jiometri
Swali la umbali kati ya mistari lilijadiliwa hapo juu kwa kina. Sasa hebu tuonyeshe jinsi ya kupata umbali kati ya ndege sambamba.
Kila mtu anawakilisha jinsi ndege ilivyo. Kwa mujibu wa ufafanuzi wa hisabati, kipengele maalum cha kijiometri ni mkusanyiko wa pointi. Kwa kuongezea, ikiwa utaunda vekta zote zinazowezekana kwa kutumia vidokezo hivi, basi zote zitakuwa za kawaida kwa vekta moja. Mwisho kwa kawaida huitwa kawaida kwa ndege.
Ili kubainisha mlinganyo wa ndege katika nafasi ya pande tatu, aina ya jumla ya mlingano huo hutumiwa mara nyingi zaidi. Inaonekana hivi:
Ax + By + Cz + D=0.
Ambapo herufi kubwa za Kilatini ni baadhi ya nambari. Ni rahisi kutumia aina hii ya equation ya ndege kwa sababu kuratibu za vector ya kawaida hutolewa kwa uwazi ndani yake. Nazo ni A, B, C.
Ni rahisi kuona kwamba ndege mbili zinalingana pale tu viwango vyake vya kawaida vinalingana.
Jinsi ya kupata umbali kati ya ndege mbili sambamba ?
Ili kubainisha umbali uliobainishwa, unapaswa kuelewa vyema kilicho hatarini. Umbali kati ya ndege zinazofanana kwa kila mmoja unaeleweka kama urefu wa sehemu inayowakabili. Miisho ya sehemu hii ni ya ndege.
Algorithm ya kutatua matatizo kama haya ni rahisi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kupata kuratibu za uhakika wowote ambao ni wa moja ya ndege mbili. Kisha, unapaswa kutumia fomula hii:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Kwa kuwa umbali ni thamani chanya, ishara ya moduli iko kwenye nambari. Njia iliyoandikwa ni ya ulimwengu wote, kwani hukuruhusu kuhesabu umbali kutoka kwa ndege hadi kwa kipengele chochote cha kijiometri. Inatosha kujua viwianishi vya sehemu moja ya kipengele hiki.
Kwa ajili ya utimilifu, tunaona kwamba ikiwa kawaida za ndege mbili haziwiani, basi ndege kama hizo zitaingiliana. Umbali kati yao utakuwa sufuri.
Tatizo la kubainisha umbali kati ya ndege
Inajulikana kuwa ndege mbili hutolewa kwa misemo ifuatayo:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Ni muhimu kuthibitisha kwamba ndege ziko sambamba, na pia kuamua umbali kati yao.
Ili kujibu sehemu ya kwanza ya tatizo, unahitaji kuleta mlinganyo wa kwanza kwenye fomu ya jumla. Kumbuka kwamba imetolewa kwa njia inayoitwa equation katika sehemu. Zidisha sehemu zake za kushoto na kulia kwa 15 na usogeze masharti yote hadi upande mmoja wa mlinganyo, tunapata:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Hebu tuandike viwianishi vya vekta mbili za kawaida za ndege:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Inaweza kuonekana kuwa ikiwa n2¯ itazidishwa na 5, basi tutapata viwianishi n1¯. Kwa hivyo, ndege zinazozingatiwa nisambamba.
Ili kukokotoa umbali kati ya ndege sambamba, chagua sehemu kiholela ya ya kwanza na utumie fomula iliyo hapo juu. Kwa mfano, hebu tuchukue hatua (0, 0, 1) ambayo ni ya ndege ya kwanza. Kisha tunapata:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0.31 cm.
Umbali unaotaka ni 31 mm.
Umbali kati ya ndege na laini
Maarifa ya kinadharia yaliyotolewa pia huturuhusu kutatua tatizo la kubainisha umbali kati ya mstari ulionyooka na ndege. Tayari imetajwa hapo juu kuwa formula ambayo ni halali kwa mahesabu kati ya ndege ni ya ulimwengu wote. Inaweza pia kutumika kutatua tatizo. Ili kufanya hivyo, chagua sehemu yoyote ambayo ni ya mstari uliotolewa.
Tatizo kuu katika kubainisha umbali kati ya vipengele vya kijiometri vinavyozingatiwa ni uthibitisho wa usambamba wao (ikiwa sivyo, basi d=0). Usambamba ni rahisi kuthibitisha ikiwa unahesabu bidhaa ya scalar ya kawaida na vector ya mwelekeo kwa mstari. Ikiwa vipengele vinavyozingatiwa vinalingana, basi bidhaa hii itakuwa sawa na sufuri.
