Mojawapo ya mihimili ya jiometri inasema kwamba kupitia nukta zozote mbili inawezekana kuchora mstari mmoja ulionyooka. Axiom hii inashuhudia kwamba kuna usemi wa kipekee wa nambari ambao hufafanua kwa njia ya kipekee kitu maalum cha kijiometri chenye mwelekeo mmoja. Fikiria katika makala swali la jinsi ya kuandika mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopitia pointi mbili.
Nyimbo na mstari ni nini?
Kabla ya kuzingatia suala la kujenga angani na kwenye ndege mstari ulionyooka wa mlinganyo unaopita kwenye jozi ya nukta tofauti, unapaswa kufafanua vitu vilivyobainishwa vya kijiometri.
Alama fulani hubainishwa kwa njia ya kipekee na seti ya viwianishi katika mfumo mahususi wa mihimili ya kuratibu. Mbali nao, hakuna sifa zaidi za uhakika. Yeye ni kitu chenye sura sifuri.
Wanapozungumza kuhusu mstari ulionyooka, kila mtu atawazia mstari unaoonyeshwa kwenye karatasi nyeupe. Wakati huo huo, inawezekana kutoa ufafanuzi halisi wa kijiometrikitu hiki. Mstari wa moja kwa moja ni mkusanyo wa pointi ambao uunganisho wa kila mmoja wao na wengine wote utatoa seti ya vivekta sambamba.
Ufafanuzi huu hutumika wakati wa kuweka mlingano wa vekta wa mstari ulionyooka, ambao utajadiliwa hapa chini.
Kwa kuwa mstari wowote unaweza kuwekewa alama ya sehemu ya urefu wa kiholela, inasemekana kuwa kitu cha kijiometri chenye mwelekeo mmoja.
Kitendaji cha kivekta nambari
Mlinganyo kupitia nukta mbili za mstari ulionyooka unaweza kuandikwa kwa njia tofauti. Katika nafasi zenye pande tatu na mbili, usemi wa nambari kuu na unaoeleweka kwa angavu ni vekta.
Chukulia kuwa kuna sehemu iliyoelekezwa u¯(a; b; c). Katika nafasi ya 3D, vekta u¯ inaweza kuanza wakati wowote, kwa hivyo viwianishi vyake hufafanua seti isiyo na kikomo ya vekta sambamba. Hata hivyo, ikiwa tutachagua pointi maalum P(x0; y0; z0) na kuweka kama mwanzo wa vekta u¯, basi, kuzidisha vekta hii kwa nambari halisi ya kiholela λ, mtu anaweza kupata alama zote za mstari mmoja ulionyooka kwenye nafasi. Hiyo ni, equation ya vekta itaandikwa kama:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Ni wazi, kwa kesi kwenye ndege, chaguo la kukokotoa la nambari huchukua fomu:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Faida ya aina hii ya mlingano ikilinganishwa na zingine (katika sehemu, kisheria,general form) iko katika ukweli kwamba ina wazi kuratibu za vekta ya mwelekeo. Mwisho mara nyingi hutumika kubainisha kama mistari ni sambamba au perpendicular.
Kwa jumla katika sehemu na utendakazi wa kisheria kwa mstari ulionyooka katika nafasi ya pande mbili
Unaposuluhisha matatizo, wakati mwingine unahitaji kuandika mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopita pointi mbili kwa namna fulani, maalum. Kwa hivyo, njia zingine za kubainisha kitu hiki cha kijiometri katika nafasi ya pande mbili zinapaswa kutolewa (kwa urahisi, tunazingatia kesi kwenye ndege).
Hebu tuanze na mlingano wa jumla. Ina fomu:
Ax + By + C=0
Kama sheria, kwenye ndege mlinganyo wa mstari ulionyooka huandikwa katika fomu hii, y pekee ndiye hufafanuliwa kwa uwazi kupitia x.
Sasa badilisha usemi ulio hapo juu kama ifuatavyo:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
€
Inasalia kutoa mfano wa mlinganyo wa kisheria. Ili kufanya hivyo, tunaandika usawa wa vekta kwa uwazi:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Hebu tuelezee kigezo λ kutoka hapa na tusawazishe usawa unaotokana:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Sawa ya mwisho inaitwa mlinganyo katika mfumo wa kisheria au ulinganifu.
Kila moja inaweza kubadilishwa kuwa vekta na kinyume chake.
Mlinganyo wa mstari mnyoofu unaopita pointi mbili: mbinu ya ujumuishaji
Rudi kwenye swali la makala. Tuseme kuna pointi mbili katika nafasi:
M(x1; y1; z1) na N(x 2; y2; z2)
Mstari ulionyooka pekee hupitia humo, ambao mlinganyo wake ni rahisi sana kutunga katika umbo la vekta. Ili kufanya hivyo, tunakokotoa viwianishi vya sehemu iliyoelekezwa MN¯, tunayo:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Sio vigumu kukisia kwamba vekta hii itakuwa mwongozo wa mstari ulionyooka, ambao mlinganyo wake lazima upatikane. Kujua kuwa pia hupitia M na N, unaweza kutumia kuratibu za yoyote kati yao kwa usemi wa vekta. Kisha mlinganyo unaohitajika huchukua fomu:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
Kwa kesi katika nafasi ya pande mbili, tunapata usawa sawa bila ushiriki wa kibadilishaji z.
Punde tu usawa wa vekta ya laini inapoandikwa, inaweza kutafsiriwa katika muundo mwingine wowote ambao swali la tatizo linahitaji.
Kazi:andika mlinganyo wa jumla
Inajulikana kuwa mstari ulionyooka hupitia alama zenye viwianishi (-1; 4) na (3; 2). Ni muhimu kutunga equation ya mstari wa moja kwa moja unaopita kupitia kwao, kwa fomu ya jumla, inayoelezea y kwa masharti ya x.
Ili kutatua tatizo, kwanza tunaandika mlinganyo katika umbo la vekta. Viratibu vya vekta (mwongozo) ni:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Kisha muundo wa vekta wa mlingano wa mstari ulionyooka ni ufuatao:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Inasalia kuiandika katika umbo la jumla katika fomu y(x). Tunaandika upya usawa huu kwa uwazi, eleza kigezo λ na kuitenga kutoka kwa mlinganyo:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(miaka 4)/2
Kutoka kwa mlinganyo wa kisheria unaotokana, tunaeleza y na kuja kwa jibu la swali la tatizo:
y=-0.5x + 3.5
Uhalali wa usawa huu unaweza kuangaliwa kwa kubadilisha viwianishi vya pointi zilizobainishwa katika taarifa ya tatizo.
Tatizo: mstari ulionyooka unaopita katikati ya sehemu
Sasa hebu tutatue tatizo moja la kuvutia. Tuseme kwamba pointi mbili M(2; 1) na N(5; 0) zimetolewa. Inajulikana kuwa mstari wa moja kwa moja hupitia katikati ya sehemu inayounganisha pointi na ni perpendicular yake. Andika mlinganyo wa mstari ulionyooka unaopita katikati ya sehemu katika umbo la vekta.
Msemo wa nambari unaotakikana unaweza kuundwa kwa kukokotoa uratibu wa kituo hiki na kubainisha vekta ya mwelekeo, ambayosehemu hufanya pembe 90o.
Kiini cha sehemu ni:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Sasa hebu tuhesabu viwianishi vya vekta MN¯:
MN¯=N - M=(3; -1)
Kwa kuwa vekta ya mwelekeo wa laini inayohitajika ni ya kawaida kwa MN¯, bidhaa yao ya scalar ni sawa na sifuri. Hii hukuruhusu kukokotoa viwianishi visivyojulikana (a; b) vya vekta ya uendeshaji:
a3 - b=0=>
b=3a
Sasa andika mlingano wa vekta:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Hapa tumebadilisha bidhaa aλ na kigezo kipya β.
Kwa hivyo, tumefanya mlingano wa mstari ulionyooka unaopita katikati ya sehemu.
