Dhana muhimu katika hisabati ni fomula. Kwa msaada wake, unaweza kuibua michakato mingi inayotokea kwa asili, kutafakari uhusiano kati ya idadi fulani kwa kutumia fomula, meza na picha kwenye grafu. Mfano ni utegemezi wa shinikizo la safu ya kioevu kwenye mwili juu ya kina cha kuzamishwa, kuongeza kasi - juu ya hatua ya nguvu fulani juu ya kitu, ongezeko la joto - kwa nishati iliyopitishwa, na taratibu nyingine nyingi. Utafiti wa kazi unahusisha ujenzi wa grafu, ufafanuzi wa mali zake, upeo na maadili, vipindi vya kuongezeka na kupungua. Jambo muhimu katika mchakato huu ni kupata pointi za mwisho. Kuhusu jinsi ya kuifanya vizuri, na mazungumzo yataendelea.
Kuhusu dhana yenyewe kwenye mfano maalum
Katika dawa, kupanga grafu ya utendaji kunaweza kueleza kuhusu maendeleo ya ugonjwa katika mwili wa mgonjwa, kuakisi hali yake kwa macho. Wacha tufikirie kuwa wakati katika siku umepangwa kando ya mhimili wa OX, na hali ya joto ya mwili wa mwanadamu imepangwa kando ya mhimili wa OY. Takwimu inaonyesha wazi jinsi kiashiria hiki kinaongezeka kwa kasi, nakisha inaanguka. Pia ni rahisi kutambua alama za umoja zinazoonyesha wakati ambapo kazi, ikiwa imeongezeka hapo awali, huanza kupungua, na kinyume chake. Hizi ni pointi kali, yaani, maadili muhimu (kiwango cha juu na cha chini) katika kesi hii ya joto la mgonjwa, baada ya hapo mabadiliko katika hali yake hutokea.
Pembe ya kuinamisha
Ni rahisi kubainisha kutokana na takwimu jinsi kitoleo cha chaguo za kukokotoa kinabadilika. Ikiwa mistari ya moja kwa moja ya grafu inakwenda juu ya muda, basi ni chanya. Na jinsi zinavyozidi kuongezeka, ndivyo thamani ya derivative inavyoongezeka, kwani pembe ya mwelekeo huongezeka. Katika vipindi vya kupungua, thamani hii huchukua maadili hasi, kugeuka hadi sifuri katika pointi za juu, na grafu ya derivative katika hali ya pili inachorwa sambamba na mhimili wa OX.
Mchakato mwingine wowote unapaswa kushughulikiwa kwa njia sawa. Lakini jambo bora zaidi kuhusu dhana hii linaweza kueleza msogeo wa miili mbalimbali, inayoonyeshwa wazi kwenye grafu.
Harakati
Tuseme baadhi ya kitu kinasogea katika mstari ulionyooka, kikipata kasi kisawasawa. Katika kipindi hiki, mabadiliko katika kuratibu za mwili inawakilisha curve fulani, ambayo mwanahisabati angeita tawi la parabola. Wakati huo huo, kazi inaongezeka mara kwa mara, kwani viashiria vya kuratibu vinabadilika kwa kasi na kwa kasi kwa kila pili. Grafu ya kasi inaonyesha tabia ya derivative, thamani ambayo pia huongezeka. Hii ina maana kwamba harakati haina pointi muhimu.
Ingeendelea kwa muda usiojulikana. Lakini ikiwa mwili unaamua ghafla kupungua, simama na uanze kusonga kwa mwinginemwelekeo? Katika kesi hii, viashiria vya kuratibu vitaanza kupungua. Na chaguo la kukokotoa litapitisha thamani muhimu na kugeuka kutoka kuongezeka hadi kupungua.
Katika mfano huu, unaweza kuelewa tena kwamba sehemu kuu kwenye jedwali la kukokotoa huonekana wakati inapoacha kuwa mbaya.
Maana ya kimwili ya kiingilizi
Iliyofafanuliwa hapo awali ilionyesha kwa uwazi kwamba derivative kimsingi ni kasi ya mabadiliko ya chaguo la kukokotoa. Uboreshaji huu una maana yake ya kimwili. Pointi zilizokithiri ni maeneo muhimu kwenye chati. Inawezekana kuzijua na kuzigundua kwa kukokotoa thamani ya derivative, ambayo inageuka kuwa sawa na sufuri.
Kuna ishara nyingine, ambayo ni hali ya kutosha kwa mshituko. Derivative katika sehemu kama hizo za inflection hubadilisha ishara yake: kutoka "+" hadi "-" katika eneo la upeo na kutoka "-" hadi "+" katika eneo la kiwango cha chini zaidi.
Kusonga chini ya ushawishi wa mvuto
Wacha tuwazie hali nyingine. Watoto, wakicheza mpira, waliitupa kwa namna ambayo ilianza kusonga kwa pembe hadi kwenye upeo wa macho. Hapo awali, kasi ya kitu hiki ilikuwa kubwa zaidi, lakini chini ya ushawishi wa mvuto ilianza kupungua, na kwa kila sekunde kwa thamani sawa, sawa na takriban 9.8 m/s2. Hii ni thamani ya kuongeza kasi ambayo hutokea chini ya ushawishi wa mvuto wa dunia wakati wa kuanguka bure. Mwezini, ingekuwa ndogo mara sita.
Grafu inayoelezea msogeo wa mwili ni parabola yenye matawi,chini. Jinsi ya kupata pointi kali? Katika kesi hii, hii ni vertex ya kazi, ambapo kasi ya mwili (mpira) inachukua thamani ya sifuri. Derivative ya kazi inakuwa sifuri. Katika kesi hii, mwelekeo, na hivyo thamani ya kasi, mabadiliko ya kinyume. Mwili huruka chini kwa kila sekunde kwa kasi na kasi, na huongeza kasi kwa kiwango sawa - 9.8 m/s2.
Derivative ya pili
Katika hali iliyotangulia, grafu ya moduli ya kasi imechorwa kama mstari ulionyooka. Mstari huu unaelekezwa kwanza chini, kwani thamani ya wingi huu inapungua mara kwa mara. Baada ya kufikia sifuri kwa moja ya pointi kwa wakati, basi viashiria vya thamani hii huanza kuongezeka, na mwelekeo wa uwakilishi wa kielelezo wa moduli ya kasi hubadilika sana. Mstari sasa unaelekea juu.
Kasi, ikiwa ni derivative ya wakati wa kuratibu, pia ina hatua muhimu. Katika kanda hii, kazi, awali inapungua, huanza kuongezeka. Hapa ndipo mahali pa sehemu ya juu zaidi ya derivative ya chaguo za kukokotoa. Katika kesi hii, mteremko wa tangent unakuwa sifuri. Na kuongeza kasi, kuwa derivative ya pili ya kuratibu kwa heshima na wakati, mabadiliko ya ishara kutoka "-" hadi "+". Na mwendo kutoka polepole sawa unakuwa kwa kasi ipasavyo.
Chati ya kuongeza kasi
Sasa fikiria picha nne. Kila moja yao huonyesha grafu ya mabadiliko kwa wakati wa wingi wa kimwili kama kuongeza kasi. Katika kesi ya "A", thamani yake inabakia chanya na mara kwa mara. Hii inamaanisha kuwa kasi ya mwili, kama uratibu wake, inaongezeka kila wakati. Ikiwa afikiria kuwa kitu kitasonga kwa njia hii kwa muda mrefu sana, kazi inayoonyesha utegemezi wa kuratibu kwa wakati itageuka kuwa inaongezeka kila wakati. Inafuata kutoka kwa hili kwamba haina mikoa muhimu. Pia hakuna alama kuu kwenye jedwali la toleo, yaani, kasi inayobadilika kwa mstari.
Hali hiyo hiyo inatumika kwa herufi "B" yenye kasi chanya na inayoongezeka kila mara. Kweli, njama za kuratibu na kasi zitakuwa ngumu zaidi hapa.
Wakati kuongeza kasi kunaelekea sifuri
Kutazama picha "B", unaweza kuona picha tofauti kabisa inayoonyesha msogeo wa mwili. Kasi yake itaonyeshwa kwa taswira kama parabola yenye matawi yanayoelekeza chini. Ikiwa tunaendelea mstari unaoelezea mabadiliko ya kuongeza kasi hadi inapoingiliana na mhimili wa OX, na zaidi, basi tunaweza kufikiria kuwa hadi thamani hii muhimu, ambapo kuongeza kasi kunageuka kuwa sawa na sifuri, kasi ya kitu itaongezeka. polepole zaidi na zaidi. Sehemu ya juu kabisa ya kitokeo cha kazi ya kuratibu itakuwa tu juu ya parabola, baada ya hapo mwili utabadilisha kwa kiasi kikubwa asili ya harakati na kuanza kuelekea upande mwingine.
Katika kesi ya mwisho, "G", asili ya harakati haiwezi kubainishwa kwa usahihi. Hapa tunajua tu kwamba hakuna kuongeza kasi kwa kipindi fulani kinachozingatiwa. Hii ina maana kwamba kitu kinaweza kubaki mahali pake au harakati hutokea kwa kasi isiyobadilika.
Kuratibu kazi ya kuongeza
Hebu tuendelee na kazi ambazo mara nyingi hupatikana katika utafiti wa aljebra shuleni na hutolewa kwamaandalizi ya mtihani. Kielelezo hapa chini kinaonyesha grafu ya chaguo la kukokotoa. Inahitajika kukokotoa jumla ya pointi za ziada.
Hebu tufanye hivi kwa mhimili wa y kwa kubainisha viwianishi vya maeneo muhimu ambapo mabadiliko ya sifa za chaguo za kukokotoa huzingatiwa. Kwa ufupi, tunapata maadili kando ya mhimili wa x kwa alama za inflection, na kisha endelea kuongeza maneno yanayotokana. Kwa mujibu wa grafu, ni dhahiri kwamba wanachukua maadili yafuatayo: -8; -7; -5; -3; -2; moja; 3. Hii inaongeza hadi -21, ambalo ndilo jibu.
Suluhisho mojawapo
Si lazima kueleza jinsi chaguo la suluhisho mojawapo linaweza kuwa muhimu katika utendakazi wa kazi za vitendo. Baada ya yote, kuna njia nyingi za kufikia lengo, na njia bora ya kutoka, kama sheria, ni moja tu. Hii ni muhimu sana, kwa mfano, wakati wa kuunda meli, vyombo vya anga na ndege, miundo ya usanifu ili kupata umbo linalofaa zaidi la vitu hivi vilivyotengenezwa na binadamu.
Kasi ya magari kwa kiasi kikubwa inategemea upunguzaji stadi wa ukinzani wanaopata wakati wa kusonga kupitia maji na hewa, kutokana na mizigo kupita kiasi inayotokana na athari za nguvu za uvutano na viashirio vingine vingi. Meli baharini inahitaji sifa kama vile utulivu wakati wa dhoruba; kwa meli ya mto, rasimu ya chini ni muhimu. Wakati wa kuhesabu muundo bora, alama za juu kwenye grafu zinaweza kutoa wazo la suluhisho bora kwa shida ngumu. Kazi za aina hii ni mara nyingiyanatatuliwa katika uchumi, katika maeneo ya kiuchumi, katika hali nyingine nyingi za maisha.
Kutoka historia ya kale
Matatizo makubwa yaliwakumba hata wahenga wa kale. Wanasayansi wa Ugiriki walifanikiwa kufumbua fumbo la maeneo na ujazo kupitia hesabu za hisabati. Walikuwa wa kwanza kuelewa kwamba kwenye ndege ya takwimu mbalimbali na mzunguko huo, mduara daima una eneo kubwa zaidi. Vile vile, mpira hupewa kiwango cha juu kati ya vitu vingine katika nafasi na eneo sawa la uso. Watu mashuhuri kama Archimedes, Euclid, Aristotle, Apollonius walijitolea kutatua shida kama hizo. Heron alifaulu vizuri sana katika kupata pointi kali, ambaye, baada ya kuamua mahesabu, aliunda vifaa vya busara. Hizi ni pamoja na mashine za otomatiki zinazotembea kwa kutumia mvuke, pampu na mitambo inayofanya kazi kwa kanuni sawa.
Ujenzi wa Carthage
Kuna hekaya, ambayo njama yake imejikita katika kutatua mojawapo ya matatizo yaliyokithiri. Matokeo ya mbinu ya biashara iliyoonyeshwa na mfalme wa Foinike, ambaye aligeuka kwa wahenga kwa msaada, ilikuwa ujenzi wa Carthage. Kiwanja cha mji huu wa kale na maarufu kiliwasilishwa kwa Dido (hilo lilikuwa jina la mtawala) na kiongozi wa moja ya makabila ya Kiafrika. Eneo la mgao huo halikuonekana kwake mwanzoni kuwa kubwa sana, kwani kulingana na mkataba ilibidi kufunikwa na ngozi ya oxhide. Lakini binti mfalme aliamuru askari wake kuikata vipande nyembamba na kutengeneza mshipi kutoka kwao. Ilionekana kuwa ndefu sana hadi ikafunika tovuti,ambapo jiji zima linafaa.
Asili ya calculus
Na sasa tuhame kutoka nyakati za kale hadi zama za baadaye. Inafurahisha, katika karne ya 17, Kepler alichochewa kuelewa misingi ya uchanganuzi wa hesabu na mkutano na muuzaji wa divai. Mfanyabiashara huyo alikuwa mjuzi sana wa taaluma yake hivi kwamba angeweza kufahamu kwa urahisi kiasi cha kinywaji hicho kwenye pipa hilo kwa kushusha kionjo cha chuma ndani yake. Akitafakari juu ya udadisi kama huo, mwanasayansi maarufu aliweza kutatua shida hii mwenyewe. Inatokea kwamba washiriki wenye ujuzi wa nyakati hizo walipata hang ya kufanya vyombo kwa njia ambayo kwa urefu fulani na radius ya mzunguko wa pete za kufunga wangekuwa na uwezo wa juu.
Hii ilikuwa ni kwa sababu ya Kepler ya kutafakari zaidi. Bochars walikuja kwa suluhisho bora kwa utaftaji mrefu, makosa na majaribio mapya, kupitisha uzoefu wao kutoka kizazi hadi kizazi. Lakini Kepler alitaka kuharakisha mchakato huo na kujifunza jinsi ya kufanya vivyo hivyo kwa muda mfupi kupitia hesabu za hisabati. Maendeleo yake yote, yaliyochukuliwa na wenzake, yaligeuka kuwa nadharia zinazojulikana sasa za Fermat na Newton - Leibniz.
Upeo wa juu wa tatizo la eneo
Hebu fikiria kuwa tuna waya yenye urefu wa sentimita 50. Jinsi ya kutengeneza mstatili kutoka kwayo na eneo kubwa zaidi?
Kuanza uamuzi, mtu anapaswa kuendelea kutoka kwa ukweli rahisi na unaojulikana. Ni wazi kwamba mzunguko wa takwimu yetu itakuwa cm 50. Pia inajumuisha urefu wa mara mbili wa pande zote mbili. Hii ina maana kwamba, baada ya kuteua mmoja wao kama "X", nyingine inaweza kuonyeshwa kama (25 - X).
Kutoka hapa tunapataeneo sawa na X (25 - X). Usemi huu unaweza kuwakilishwa kama chaguo la kukokotoa ambalo huchukua thamani nyingi. Suluhisho la tatizo linahitaji kupata upeo wao, ambayo ina maana kwamba unapaswa kujua pointi za mwisho.
Ili kufanya hivi, tunapata derivative ya kwanza na kuilinganisha na sufuri. Matokeo yake ni mlinganyo rahisi: 25 - 2X=0.
Kutoka kwake tunajifunza kwamba moja ya pande X=12, 5.
Kwa hiyo, nyingine: 25 – 12, 5=12, 5.
Inabadilika kuwa suluhisho la tatizo litakuwa mraba na upande wa 12.5 cm.
Jinsi ya kupata kasi ya juu zaidi
Hebu tuzingatie mfano mmoja zaidi. Fikiria kuwa kuna mwili ambao mwendo wake wa mstatili unaelezewa na mlinganyo S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, ambapo umbali alisafiri ni walionyesha katika mita, na wakati ni katika sekunde. Inahitajika kupata kasi ya juu. Jinsi ya kufanya hivyo? Ikipakuliwa tafuta kasi, yaani, kiingilio cha kwanza.
Tunapata mlinganyo: V=- 3t2 + 18t – 24. Sasa, ili kutatua tatizo, tunahitaji tena kutafuta pointi za hali ya juu. Hii lazima ifanyike kwa njia sawa na katika kazi ya awali. Tafuta derivative ya kwanza ya kasi na uilinganishe na sifuri.
Tunapata: - 6t + 18=0. Kwa hivyo t=3 s. Huu ndio wakati ambapo kasi ya mwili inachukua thamani muhimu. Tunabadilisha data iliyopatikana kwenye mlingano wa kasi na kupata: V=3 m/s.
Lakini jinsi ya kuelewa kuwa hii ndiyo kasi ya juu kabisa, kwa sababu nukta muhimu za chaguo za kukokotoa zinaweza kuwa thamani zake za juu zaidi au za chini zaidi? Kuangalia, unahitaji kupata piliderivative ya kasi. Imeonyeshwa kama nambari 6 na ishara ya kuondoa. Hii ina maana kwamba hatua iliyopatikana ni ya juu. Na katika kesi ya thamani nzuri ya derivative ya pili, kutakuwa na kiwango cha chini. Kwa hivyo, suluhu iliyopatikana iligeuka kuwa sahihi.
Majukumu yaliyotolewa kama mfano ni sehemu tu ya yale yanayoweza kutatuliwa kwa kuweza kupata vipengele vya mwisho vya chaguo la kukokotoa. Kwa kweli, kuna mengi zaidi. Na ujuzi kama huo hufungua uwezekano usio na kikomo kwa ustaarabu wa binadamu.
