Utendaji na uchunguzi wa vipengele vyake ni mojawapo ya sura muhimu katika hisabati ya kisasa. Sehemu kuu ya kazi yoyote ni grafu zinazoonyesha si mali zake tu, bali pia vigezo vya derivative ya kazi hii. Hebu tuangalie mada hii gumu. Kwa hivyo ni ipi njia bora zaidi ya kupata alama za juu na za chini zaidi za chaguo la kukokotoa?
Kazi: Ufafanuzi
Kigezo chochote ambacho kinategemea kwa namna fulani thamani za thamani nyingine kinaweza kuitwa kitendakazi. Kwa mfano, chaguo za kukokotoa f(x2) ni quadratic na huamua thamani za seti nzima ya x. Wacha tuseme kwamba x=9, basi thamani ya utendaji wetu itakuwa sawa na 92=81.
Vitendaji huja katika aina nyingi tofauti: mantiki, vekta, logarithmic, trigonometric, nambari na zingine. Akili bora kama Lacroix, Lagrange, Leibniz na Bernoulli walihusika katika masomo yao. Maandishi yao yanatumika kama ngome katika njia za kisasa za kusoma kazi. Kabla ya kupata alama za chini kabisa, ni muhimu sana kuelewa maana halisi ya chaguo za kukokotoa na derivative yake.
Derivative na jukumu lake
Vitendaji vyote viko ndanikulingana na maadili yao ya kutofautiana, ambayo ina maana kwamba wanaweza kubadilisha thamani yao wakati wowote. Kwenye jedwali, hii itaonyeshwa kama mkunjo ambao unashuka au kuinuka kando ya mhimili wa y (hii ni seti nzima ya nambari "y" kwenye wima ya grafu). Na kwa hivyo ufafanuzi wa hatua ya upeo na kiwango cha chini cha kazi imeunganishwa na "oscillations" hizi. Hebu tueleze uhusiano huu ni nini.
Nyego ya chaguo za kukokotoa zozote huchorwa kwenye grafu ili kusoma sifa zake kuu na kukokotoa jinsi utendakazi unavyobadilika (yaani hubadilisha thamani yake kulingana na kigezo "x"). Kwa sasa wakati kazi inapoongezeka, grafu ya derivative yake pia itaongezeka, lakini kwa sekunde yoyote kazi inaweza kuanza kupungua, na kisha grafu ya derivative itapungua. Pointi hizo ambazo derivative huenda kutoka minus hadi plus huitwa pointi za chini zaidi. Ili kujua jinsi ya kupata alama za chini zaidi, unapaswa kuelewa vyema dhana ya kiingilio.
Jinsi ya kukokotoa derivative?
Kufafanua na kukokotoa toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa humaanisha dhana kadhaa kutoka kwa calculus tofauti. Kwa ujumla, ufafanuzi hasa wa kiingilio unaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo: hii ndiyo thamani inayoonyesha kasi ya mabadiliko ya chaguo za kukokotoa.
Njia ya kihisabati ya kubainisha kwa wanafunzi wengi inaonekana kuwa ngumu, lakini kwa kweli kila kitu ni rahisi zaidi. Unahitaji tu kufuatampango wa kawaida wa kutafuta derivative ya chaguo la kukokotoa. Ifuatayo inaelezea jinsi unavyoweza kupata alama ya chini kabisa ya chaguo la kukokotoa bila kutumia kanuni za upambanuzi na bila kukariri jedwali la viasili.
- Unaweza kukokotoa toleo la kukokotoa la chaguo za kukokotoa kwa kutumia grafu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuonyesha kazi yenyewe, kisha uchukue hatua moja juu yake (kumweka A kwenye Mchoro.) Chora mstari kwa wima hadi kwenye mhimili wa abscissa (point x0), na kwa uhakika A chora tanjenti ili kufanya kazi mchoro. Mhimili wa abscissa na tanjiti huunda pembe a. Ili kukokotoa thamani ya jinsi chaguo za kukokotoa huongezeka kwa kasi, unahitaji kukokotoa tanjenti ya pembe hii a.
- Inabadilika kuwa tanjiti kati ya tanjiti na mwelekeo wa mhimili wa x ni derivative ya utendaji kazi katika eneo dogo lenye nukta A. Mbinu hii inachukuliwa kuwa njia ya kijiometri ya kubainisha derivative..
Njia za kutafiti kipengele
Katika mtaala wa shule wa hisabati, inawezekana kupata alama ya chini kabisa ya chaguo la kukokotoa kwa njia mbili. Tayari tumechambua njia ya kwanza kwa kutumia grafu, lakini jinsi ya kuamua thamani ya nambari ya derivative? Ili kufanya hivyo, utahitaji kujifunza fomula kadhaa zinazoelezea sifa za derivative na kusaidia kubadilisha viambajengo kama "x" kuwa nambari. Mbinu ifuatayo ni ya ulimwengu wote, kwa hivyo inaweza kutumika kwa karibu aina zote za utendakazi (jiometri na logarithmic).
- Ni muhimu kusawazisha chaguo za kukokotoa na chaguo za kukokotoa za derivative, kisha kurahisisha usemi kwa kutumia kanuni.utofautishaji.
- gawanya kwa sufuri).
- Baada ya hapo, unapaswa kubadilisha umbo asili la chaguo za kukokotoa kuwa mlinganyo rahisi, ukisawazisha usemi mzima hadi sufuri. Kwa mfano, ikiwa chaguo la kukokotoa lilionekana kama hii: f(x)=2x3+38x, basi kulingana na sheria za utofautishaji, derivative yake ni sawa na f'(x)=3x 2 +1. Kisha tunabadilisha usemi huu kuwa mlinganyo wa fomu ifuatayo: 3x2+1=0.
- Baada ya kusuluhisha mlinganyo na kupata alama "x", unapaswa kuzichora kwenye mhimili wa x na uamue ikiwa derivative katika maeneo haya kati ya pointi zilizowekwa alama ni chanya au hasi. Baada ya kuteuliwa, itakuwa wazi ni wakati gani kazi inaanza kupungua, ambayo ni, inabadilisha ishara kutoka kwa minus kwenda kinyume. Ni kwa njia hii kwamba unaweza kupata alama za chini kabisa na za juu zaidi.
Sheria za utofauti
Sehemu ya msingi zaidi ya kujifunza chaguo za kukokotoa na densi yake ni kujua kanuni za utofautishaji. Tu kwa msaada wao inawezekana kubadilisha maneno magumu na kazi kubwa ngumu. Hebu tufahamiane nazo, ziko nyingi sana, lakini zote ni rahisi sana kutokana na sifa za kawaida za utendaji wa nguvu na logarithmic.
- Nyingine inayotokana na ulinganifu wowote ni sufuri (f(x)=0). Hiyo ni, derivative f(x)=x5+ x - 160 itachukua fomu ifuatayo: f' (x)=5x4+1.
- Nyenzo ya jumla ya istilahi mbili: (f+w)'=f'w + fw'.
- Nyenzo ya kitendakazi cha logarithmic: (logiad)'=d/ln ad. Fomula hii inatumika kwa kila aina ya logariti.
- Nyenzo ya shahada: (x)'=nxn-1. Kwa mfano, (9x2)'=92x=18x.
- Nyenzo ya utendaji kazi wa sinusoidal: (sin a)'=cos a. Ikiwa dhambi ya pembe a ni 0.5, basi derivative yake ni √3/2.
Alama za juu
Tayari tumegundua jinsi ya kupata alama za chini kabisa, hata hivyo, kuna dhana ya alama za juu zaidi za chaguo za kukokotoa. Iwapo kima cha chini kinaashiria zile nukta ambapo chaguo za kukokotoa huenda kutoka minus hadi jumlisha, basi pointi za juu ni zile pointi kwenye mhimili wa x ambapo derivative ya chaguo za kukokotoa hubadilika kutoka jumlisha hadi kinyume - minus.
Unaweza kupata pointi za juu kwa kutumia njia iliyoelezwa hapo juu, tu inapaswa kuzingatiwa kuwa zinaashiria maeneo ambayo kazi huanza kupungua, yaani, derivative itakuwa chini ya sifuri.
Katika hisabati, ni kawaida kujumuisha dhana zote mbili, na kuzibadilisha na kifungu cha maneno "pointi kali". Wakati kazi inauliza kubainisha pointi hizi, hii ina maana kwamba ni muhimu kuhesabu derivative ya chaguo hili la kukokotoa na kupata pointi za chini na za juu zaidi.
