Hisabati si sayansi inayochosha, kama inavyoonekana wakati mwingine. Ina mengi ya kufurahisha, ingawa wakati mwingine haieleweki kwa wale ambao hawana hamu ya kuielewa. Leo tutazungumza juu ya mada moja ya kawaida na rahisi katika hisabati, au tuseme, eneo lake ambalo liko kwenye ukingo wa algebra na jiometri. Wacha tuzungumze juu ya mistari na milinganyo yao. Inaweza kuonekana kuwa hii ni mada ya shule ya kuchosha ambayo haiahidi chochote cha kufurahisha na kipya. Hata hivyo, hii sivyo, na katika makala hii tutajaribu kuthibitisha mtazamo wetu kwako. Kabla ya kuendelea na ya kuvutia zaidi na kuelezea equation ya mstari wa moja kwa moja kupitia pointi mbili, tutageuka kwenye historia ya vipimo hivi vyote, na kisha kujua kwa nini ilikuwa ni lazima na kwa nini sasa ujuzi wa kanuni zifuatazo hautakuwa. kuumiza pia.
Historia
Hata katika nyakati za zamani, wanahisabati walipenda miundo ya kijiometri na kila aina ya grafu. Ni ngumu leo kusema ni nani alikuwa wa kwanza kuja na equation ya mstari wa moja kwa moja kupitia alama mbili. Lakini inaweza kuzingatiwa kuwa mtu huyu alikuwa Euclid -mwanasayansi wa kale wa Uigiriki na mwanafalsafa. Ni yeye ambaye katika maandishi yake "Mwanzo" alitoa msingi wa jiometri ya Euclidean ya baadaye. Sasa sehemu hii ya hisabati inachukuliwa kuwa msingi wa uwakilishi wa kijiometri wa ulimwengu na inafundishwa shuleni. Lakini inafaa kusema kuwa jiometri ya Euclidean inafanya kazi tu katika kiwango kikubwa katika mwelekeo wetu wa pande tatu. Ikiwa tutazingatia nafasi, basi si mara zote inawezekana kufikiria kwa usaidizi wake matukio yote yanayotokea pale.
Baada ya Euclid kulikuwa na wanasayansi wengine. Na walikamilisha na kufahamu kile alichogundua na kuandika. Mwishowe, eneo thabiti la jiometri liliibuka, ambalo kila kitu bado hakitikisiki. Na imethibitishwa kwa maelfu ya miaka kwamba equation ya mstari wa moja kwa moja kupitia pointi mbili ni rahisi sana na rahisi kutunga. Lakini kabla hatujaanza kueleza jinsi ya kufanya hivi, hebu tujadili nadharia fulani.
Nadharia
Mstari ulionyooka ni sehemu isiyo na kikomo katika pande zote mbili, ambayo inaweza kugawanywa katika idadi isiyo na kikomo ya sehemu za urefu wowote. Ili kuwakilisha mstari wa moja kwa moja, grafu hutumiwa mara nyingi. Zaidi ya hayo, grafu zinaweza kuwa katika mifumo ya kuratibu ya pande mbili na tatu. Na hujengwa kulingana na kuratibu za pointi zinazomilikiwa nazo. Baada ya yote, tukizingatia mstari ulionyooka, tunaweza kuona kuwa una idadi isiyo na kikomo ya pointi.
Hata hivyo, kuna kitu ambacho mstari ulionyooka ni tofauti sana na aina nyingine za mistari. Huu ni mlinganyo wake. Kwa maneno ya jumla, ni rahisi sana, tofauti na, sema, equation ya mduara. Hakika, kila mmoja wetu alipitia hayo shuleni. Lakiniwalakini, hebu tuandike umbo lake la jumla: y=kx+b. Katika sehemu ifuatayo, tutachambua kwa kina maana ya kila moja ya herufi hizi na jinsi ya kutatua mlingano huu rahisi wa mstari ulionyooka unaopitia nukta mbili.
Mlingano wa Mstari
Usawa uliowasilishwa hapo juu ni mlingano wa mstari ulionyooka tunaohitaji. Inafaa kueleza kinachomaanishwa hapa. Kama unavyoweza kudhani, y na x ni viwianishi vya kila nukta kwenye mstari. Kwa ujumla, equation hii ipo tu kwa sababu kila nukta ya mstari wowote ulionyooka huwa inahusiana na pointi nyingine, na kwa hiyo kuna sheria inayohusiana na kuratibu moja hadi nyingine. Sheria hii huamua jinsi mlingano wa mstari ulionyooka kupitia nukta mbili ulizopewa unavyoonekana.
Kwa nini hasa nukta mbili? Yote hii ni kwa sababu idadi ya chini ya pointi zinazohitajika kujenga mstari wa moja kwa moja katika nafasi mbili-dimensional ni mbili. Ikiwa tutachukua nafasi ya pande tatu, basi idadi ya pointi zinazohitajika ili kujenga mstari mmoja ulionyooka pia itakuwa sawa na mbili, kwa kuwa pointi tatu tayari zinaunda ndege.
Pia kuna nadharia inayothibitisha kwamba inawezekana kuchora mstari mmoja ulionyooka kupitia pointi zozote mbili. Ukweli huu unaweza kuangaliwa kivitendo kwa kuunganisha pointi mbili nasibu kwenye chati na rula.
Sasa hebu tuangalie mfano mahususi na tuonyeshe jinsi ya kutatua mlingano huu mbaya wa mstari ulionyooka unaopitia pointi mbili zilizotolewa.
Mfano
Zingatia pointi mbiliambayo unahitaji kujenga mstari wa moja kwa moja. Hebu tuweke viwianishi vyao, kwa mfano, M1(2;1) na M2(3;2). Kama tunavyojua kutoka kwa kozi ya shule, kuratibu kwanza ni thamani kwenye mhimili wa OX, na ya pili ni thamani kwenye mhimili wa OY. Hapo juu, equation ya mstari wa moja kwa moja kwa njia ya pointi mbili ilitolewa, na ili tuweze kujua vigezo vinavyokosekana k na b, tunahitaji kutunga mfumo wa equations mbili. Kwa hakika, itaundwa na milinganyo miwili, ambayo kila moja itakuwa na viambishi vyetu viwili visivyojulikana:
1=2k+b
2=3k+b
Sasa jambo muhimu zaidi linasalia: kutatua mfumo huu. Hii inafanywa kwa urahisi kabisa. Kwanza, hebu tueleze b kutoka kwa mlinganyo wa kwanza: b=1-2k. Sasa tunahitaji kubadilisha usawa unaotokana na mlinganyo wa pili. Hii inafanywa kwa kubadilisha b na usawa tuliopokea:
2=3k+1-2k
1=k;
Sasa kwa vile tunajua thamani ya mgawo k ni nini, ni wakati wa kujua thamani ya nambari inayofuata isiyobadilika - b. Hii inafanywa kuwa rahisi zaidi. Kwa kuwa tunajua utegemezi wa b kwa k, tunaweza kubadilisha thamani ya mwisho hadi mlinganyo wa kwanza na kujua thamani isiyojulikana:
b=1-21=-1.
Kwa kujua viegemeo vyote viwili, sasa tunaweza kuvibadilisha katika mlingano wa jumla wa awali wa mstari ulionyooka kupitia pointi mbili. Kwa hivyo, kwa mfano wetu, tunapata mlinganyo ufuatao: y=x-1. Huu ndio usawa unaotakikana, ambao tulilazimika kuupata.
Kabla ya kuendelea na hitimisho, hebu tujadili matumizi ya sehemu hii ya hisabati katika maisha ya kila siku.
Maombi
Kwa hivyo, mlinganyo wa mstari ulionyooka kupitia pointi mbili haupati matumizi. Lakini hiyo haimaanishi kuwa hatuitaji. Katika fizikia na hisabatiequations ya mistari na mali zinazofuata kutoka kwao hutumiwa kikamilifu. Unaweza hata usiitambue, lakini hisabati iko karibu nasi. Na hata mada zinazoonekana kuwa za kushangaza kama equation ya mstari wa moja kwa moja kupitia nukta mbili zinageuka kuwa muhimu sana na mara nyingi hutumika katika kiwango cha kimsingi. Ikiwa kwa mtazamo wa kwanza inaonekana kwamba hii haiwezi kuwa na manufaa popote, basi umekosea. Hisabati hukuza fikra za kimantiki, ambazo hazitakuwa za kupita kiasi.
Hitimisho
Sasa kwa kuwa tumegundua jinsi ya kuchora mistari kutoka kwa nukta mbili zilizotolewa, ni rahisi kwetu kujibu swali lolote linalohusiana na hili. Kwa mfano, ikiwa mwalimu anakuambia: "Andika equation ya mstari wa moja kwa moja unaopitia pointi mbili," basi haitakuwa vigumu kwako kufanya hivyo. Tunatumahi umepata makala haya kuwa ya manufaa.
