Katika jiometri, baada ya nukta, mstari ulionyooka labda ndio kipengele rahisi zaidi. Inatumika katika ujenzi wa takwimu yoyote ngumu kwenye ndege na katika nafasi ya tatu-dimensional. Katika makala hii, tutazingatia equation ya jumla ya mstari wa moja kwa moja na kutatua matatizo kadhaa kwa kuitumia. Hebu tuanze!
Mstari ulionyooka katika jiometri
Kila mtu anajua kwamba maumbo kama vile mstatili, pembetatu, mche, mchemraba na kadhalika huundwa kwa kukatiza kwa mistari iliyonyooka. Mstari wa moja kwa moja katika jiometri ni kitu cha mwelekeo mmoja ambacho kinaweza kupatikana kwa kuhamisha hatua fulani kwa vector yenye mwelekeo sawa au kinyume. Ili kuelewa vyema ufafanuzi huu, fikiria kuwa kuna uhakika P katika nafasi. Chukua vekta kiholela katika nafasi hii. Kisha pointi yoyote ya Q ya mstari inaweza kupatikana kutokana na shughuli zifuatazo za hisabati:
Q=P + λu¯.
Hapa λ ni nambari ya kiholela ambayo inaweza kuwa chanya au hasi. Ikiwa usawaandika hapo juu kwa suala la kuratibu, kisha tunapata equation ifuatayo ya mstari ulionyooka:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Usawa huu unaitwa mlingano wa mstari ulionyooka katika umbo la vekta. Na vekta u¯ inaitwa mwongozo.
Mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka kwenye ndege
Kila mwanafunzi anaweza kuiandika bila shida yoyote. Lakini mara nyingi equation huandikwa kama hii:
y=kx + b.
Ambapo k na b ni nambari kiholela. Nambari b inaitwa mwanachama huru. Kigezo k ni sawa na tanjiti ya pembe inayoundwa na makutano ya mstari ulionyooka na mhimili wa x.
Mlinganyo ulio hapo juu umeonyeshwa kwa kuzingatia kigezo y. Ikiwa tutaiwasilisha katika muundo wa jumla zaidi, basi tunapata nukuu ifuatayo:
Ax + By + C=0.
Ni rahisi kuonyesha kwamba namna hii ya kuandika mlinganyo wa jumla wa mstari ulionyooka kwenye ndege inabadilishwa kwa urahisi kuwa umbo la awali. Ili kufanya hivyo, sehemu za kushoto na kulia zinapaswa kugawanywa na kipengele B na kuonyeshwa y.
Kielelezo hapo juu kinaonyesha mstari ulionyooka unaopita pointi mbili.
Mstari katika nafasi ya 3D
Wacha tuendelee na masomo yetu. Tulizingatia swali la jinsi equation ya mstari wa moja kwa moja katika fomu ya jumla inatolewa kwenye ndege. Ikiwa tutatumia nukuu iliyotolewa katika aya iliyotangulia ya kifungu kwa kesi ya anga, tutapata nini? Kila kitu ni rahisi - si tena mstari wa moja kwa moja, lakini ndege. Hakika, usemi ufuatao unaelezea ndege ambayo ni sambamba na mhimili wa z:
Ax + By + C=0.
Ikiwa C=0, basi ndege kama hiyo itapitakupitia mhimili wa z. Hiki ni kipengele muhimu.
Jinsi ya kuwa basi na mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka katika nafasi? Ili kuelewa jinsi ya kuuliza, unahitaji kukumbuka kitu. Ndege mbili zinaingiliana kwenye mstari fulani ulionyooka. Je, hii ina maana gani? Ni kwamba equation ya jumla ni matokeo ya kutatua mfumo wa equations mbili kwa ndege. Hebu tuandike mfumo huu:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Mfumo huu ni mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka katika nafasi. Kumbuka kwamba ndege lazima zisiwe sambamba kwa kila mmoja, yaani, vectors zao za kawaida lazima zielekezwe kwa pembe fulani kuhusiana na kila mmoja. Vinginevyo, mfumo hautakuwa na suluhu.
Hapo juu tulitoa aina ya vekta ya equation kwa mstari ulionyooka. Ni rahisi kutumia wakati wa kutatua mfumo huu. Ili kufanya hivyo, kwanza unahitaji kupata bidhaa ya vector ya kawaida ya ndege hizi. Matokeo ya operesheni hii itakuwa vector ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja. Kisha, hatua yoyote ya mstari inapaswa kuhesabiwa. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuweka vigezo vyovyote sawa na thamani fulani, vigezo viwili vilivyobaki vinaweza kupatikana kwa kutatua mfumo uliopunguzwa.
Jinsi ya kutafsiri mlinganyo wa kivekta kuwa wa jumla? Nuances
Hili ni tatizo halisi linaloweza kutokea ikiwa unahitaji kuandika mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka kwa kutumia viwianishi vinavyojulikana vya nukta mbili. Hebu tuonyeshe jinsi tatizo hili linatatuliwa kwa mfano. Acha kuratibu za nukta mbili zijulikane:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).).
Mlinganyo katika umbo la vekta ni rahisi sana kutunga. Viwianishi vya vekta ya mwelekeo ni:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Kumbuka kwamba hakuna tofauti ikiwa tutaondoa viwianishi vya Q kutoka kwa viwianishi vya nukta P, vekta itabadilisha tu mwelekeo wake kwenda kinyume. Sasa unapaswa kuchukua hatua yoyote na uandike mlinganyo wa vekta:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).).
Ili kuandika mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka, kigezo λ kinafaa kuonyeshwa katika visa vyote viwili. Na kisha kulinganisha matokeo. Tuna:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1););
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).).
Inasalia tu kufungua mabano na kuhamisha masharti yote ya mlingano hadi upande mmoja wa mlinganyo ili kupata usemi wa jumla wa mstari ulionyooka unaopita katika sehemu mbili zinazojulikana.
Katika kesi ya tatizo la pande tatu, algoriti ya suluhisho huhifadhiwa, matokeo yake pekee yatakuwa mfumo wa milinganyo miwili ya ndege.
Kazi
Ni muhimu kufanya mlingano wa jumlamstari ulionyooka ambao unakatiza mhimili wa x kwa (-3, 0) na ni sambamba na mhimili wa y.
Hebu tuanze kutatua tatizo kwa kuandika mlinganyo katika mfumo wa vekta. Kwa kuwa mstari ni sambamba na mhimili wa y, basi vekta inayoelekeza itakuwa ifuatayo:
u¯=(0, 1).
Kisha mstari unaotakiwa utaandikwa hivi:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Sasa hebu tutafsiri usemi huu katika umbo la jumla, kwa hili tunaeleza kigezo λ:
- x=-3;
- y=λ.
Kwa hivyo, thamani yoyote ya kigezo y ni cha mstari, hata hivyo, ni thamani moja pekee ya kigezo x inalingana nayo. Kwa hivyo, mlingano wa jumla utachukua fomu:
x + 3=0.
Tatizo la mstari ulionyooka angani
Inajulikana kuwa ndege mbili zinazopishana hutolewa kwa milinganyo ifuatayo:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Ni muhimu kupata mlingano wa vekta wa mstari ulionyooka ambao ndege hizi hukatiza. Hebu tuanze.
Kama ilivyosemwa, mlingano wa jumla wa mstari ulionyooka katika nafasi ya pande tatu tayari umetolewa katika mfumo wa mbili na tatu zisizojulikana. Kwanza kabisa, tunaamua vekta ya mwelekeo ambayo ndege huingiliana. Kuzidisha viwianishi vya vekta vya kawaida kwa ndege, tunapata:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Kwa kuwa kuzidisha vekta kwa nambari hasi kunageuza mwelekeo wake, tunaweza kuandika:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Kwakupata usemi wa vekta kwa mstari wa moja kwa moja, pamoja na vekta ya mwelekeo, mtu anapaswa kujua hatua fulani ya mstari huu wa moja kwa moja. Pata kwa kuwa kuratibu zake lazima kukidhi mfumo wa equations katika hali ya tatizo, basi tutawapata. Kwa mfano, tuweke x=0, kisha tupate:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Kwa hivyo, ncha inayomilikiwa na mstari mnyoofu unaotakiwa ina viwianishi:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Kisha tunapata jibu la tatizo hili, mlingano wa vekta wa mstari unaotaka utaonekana kama:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Usahihi wa suluhisho unaweza kuangaliwa kwa urahisi. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuchagua thamani ya kiholela ya parameta λ na ubadilishe viwianishi vilivyopatikana vya ncha ya mstari wa moja kwa moja katika milinganyo yote miwili ya ndege, utapata utambulisho katika visa vyote viwili.
