Vekta ni kitu muhimu cha kijiometri, kwa msaada wa sifa zake ni rahisi kutatua matatizo mengi kwenye ndege na angani. Katika makala hii, tutaifafanua, kuzingatia sifa zake kuu, na pia kuonyesha jinsi vekta katika nafasi inaweza kutumika kufafanua ndege.
Vekta ni nini: kipochi chenye pande mbili
Kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa kwa uwazi ni kitu gani tunazungumza. Katika jiometri, sehemu iliyoelekezwa inaitwa vector. Kama sehemu yoyote, ina sifa ya mambo mawili kuu: mwanzo na mwisho. Viwianishi vya pointi hizi huamua kipekee sifa zote za vekta.
Hebu tuzingatie mfano wa vekta kwenye ndege. Ili kufanya hivyo, tunachora shoka mbili za perpendicular x na y. Wacha tuweke alama alama ya kiholela P(x, y). Ikiwa tunaunganisha hatua hii kwa asili (kumweka O), na kisha kutaja mwelekeo kwa P, basi tunapata vector OP¯ (baadaye katika makala, bar juu ya ishara inaonyesha kwamba tunazingatia vector). Mchoro wa vekta kwenye ndege umeonyeshwa hapa chini.
Hapa, vekta nyingine AB¯ inaonyeshwa pia, na unaweza kuona kwamba sifa zake ni sawa na OP¯, lakini iko katika sehemu tofauti ya mfumo wa kuratibu. Kwa tafsiri sambamba OP¯, unaweza kupata idadi isiyo na kikomo ya vekta zenye sifa sawa.
Vekta angani
Vitu vyote halisi vinavyotuzingira viko katika nafasi ya pande tatu. Utafiti wa mali ya kijiometri ya takwimu tatu-dimensional inahusika na sterometry, ambayo inafanya kazi na dhana ya vectors tatu-dimensional. Zinatofautiana na zenye pande mbili kwa kuwa maelezo yao yanahitaji uratibu wa ziada, ambao hupimwa kwa mhimili wa tatu wa x na y z.
Mchoro ulio hapa chini unaonyesha vekta angani. Kuratibu za mwisho wake pamoja na kila mhimili huonyeshwa na makundi ya rangi. Mwanzo wa vekta iko kwenye sehemu ya makutano ya shoka zote tatu za kuratibu, yaani, ina kuratibu (0; 0; 0).
Kwa kuwa vekta kwenye ndege ni kipochi maalum cha sehemu inayoelekezwa anga, tutazingatia tu vekta yenye sura tatu katika makala.
Viratibu vya Vekta kulingana na viwianishi vinavyojulikana vya mwanzo na mwisho wake
Tuseme kuna pointi mbili P(x1; y1; z1) na Q(x2; y2; z2). Jinsi ya kuamua kuratibu za vekta PQ¯. Kwanza, ni muhimu kukubaliana ni ipi ya pointi itakuwa mwanzo na ambayo mwisho wa vector. Katika hisabati, ni kawaida kuandika kitu kinachohusika kwa mwelekeo wake, ambayo ni, P ni mwanzo, Q.- mwisho. Pili, kuratibu za vekta PQ¯ huhesabiwa kama tofauti kati ya kuratibu zinazolingana za mwisho na mwanzo, ambayo ni:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).).
Kumbuka kwamba kwa kubadilisha mwelekeo wa vekta, viwianishi vyake vitabadilisha ishara, kama ifuatavyo:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).).
Hii inamaanisha PQ¯=-QP¯.
Ni muhimu kuelewa jambo moja zaidi. Ilisemekana hapo juu kuwa katika ndege kuna idadi isiyo na kipimo ya veta sawa na ile iliyotolewa. Ukweli huu pia ni halali kwa kesi ya anga. Kwa hakika, tulipokokotoa viwianishi vya PQ¯ katika mfano ulio hapo juu, tulifanya uendeshaji wa tafsiri sambamba ya vekta hii kwa njia ambayo asili yake ililingana na asili. Vekta PQ¯ inaweza kuchorwa kama sehemu iliyoelekezwa kutoka asili hadi nukta M((x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1).).
Sifa za Vekta
Kama kifaa chochote cha jiometri, vekta ina sifa fulani za asili zinazoweza kutumika kutatua matatizo. Hebu tuorodheshe kwa ufupi.
Moduli ya Vekta ni urefu wa sehemu iliyoelekezwa. Kujua kuratibu, ni rahisi kuhesabu. Kwa vekta PQ¯ katika mfano hapo juu, moduli ni:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Moduli ya Vekta imewashwandege huhesabiwa kwa fomula sawa, bila tu ushiriki wa kiratibu cha tatu.
Jumla na tofauti ya vekta hufanywa kulingana na kanuni ya pembetatu. Kielelezo hapa chini kinaonyesha jinsi ya kuongeza na kutoa vitu hivi.
Ili kupata vekta ya jumla, ongeza mwanzo wa pili hadi mwisho wa vekta ya kwanza. Vekta inayotakiwa itaanza mwanzoni mwa ya kwanza na kuishia mwishoni mwa vekta ya pili.
Tofauti inafanywa kwa kuzingatia ukweli kwamba vekta iliyotolewa inabadilishwa na ile iliyo kinyume, kisha operesheni ya kuongeza iliyoelezwa hapo juu inafanywa.
Mbali na kujumlisha na kutoa, ni muhimu kuweza kuzidisha vekta kwa nambari. Ikiwa nambari ni sawa na k, basi vekta hupatikana ambayo moduli yake ni k nyakati tofauti na ile ya asili, na mwelekeo ni sawa (k>0) au kinyume na ule wa asili (k<0).
Uendeshaji wa kuzidisha wa vekta kati yao wenyewe pia umefafanuliwa. Tutatoa aya tofauti kwa ajili yake katika makala.
Scalar na kuzidisha vekta
Tuseme kuna vekta mbili u¯(x1; y1; z1) na v¯(x2; y2; z2). Vekta kwa vekta inaweza kuzidishwa kwa njia mbili tofauti:
- Scalar. Katika hali hii, matokeo ni nambari.
- Vekta. Matokeo yake ni vekta mpya.
Bidhaa ya scalar ya vekta u¯ na v¯ huhesabiwa kama ifuatavyo:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Ambapo α iko wapi kati ya vekta uliyopewa.
Inaweza kuonyeshwa kuwa kwa kujua viwianishi u¯ na v¯, bidhaa yao yenye nukta moja inaweza kukokotwa kwa kutumia fomula ifuatayo:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
Bidhaa ya scalar ni rahisi kutumia wakati wa kutenganisha vekta katika sehemu mbili zinazoelekezwa kwa upenyo. Pia hutumika kukokotoa ulinganifu au usawa wa vekta, na kukokotoa pembe kati yao.
Bidhaa mtambuka ya u¯ na v¯ inatoa vekta mpya ambayo ni sawa na zile asili na ina moduli:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|dhambi(α).
Mielekeo ya chini au juu ya vekta mpya imedhamiriwa na sheria ya mkono wa kulia (vidole vinne vya mkono wa kulia vinaelekezwa kutoka mwisho wa vekta ya kwanza hadi mwisho wa pili, na kidole gumba kikishikilia juu. inaonyesha mwelekeo wa vector mpya). Kielelezo hapa chini kinaonyesha matokeo ya bidhaa mtambuka kwa a¯ na b¯ kiholela.
Bidhaa mtambuka hutumika kukokotoa maeneo ya takwimu, na pia kubainisha viwianishi vya vekta kwa mwelekeo wa ndege fulani.
Vekta na sifa zao ni rahisi kutumia wakati wa kufafanua mlinganyo wa ndege.
Mlinganyo wa kawaida na wa jumla wa ndege
Kuna njia kadhaa za kufafanua ndege. Mojawapo ni kupatikana kwa mlingano wa jumla wa ndege, unaofuata moja kwa moja kutokana na ujuzi wa vekta ya pembeni yake na sehemu fulani inayojulikana ambayo ni ya ndege.
Chukulia kuwa kuna vekta n¯ (A; B; C) na nukta P (x0; y0; z 0). Ni hali gani itatosheleza pointi zote za Q(x; y; z) za ndege? Hali hii inajumuisha perpendicularity ya vekta yoyote PQ¯ hadi n ya kawaida. Kwa vekta mbili za pembeni, bidhaa ya nukta inakuwa sifuri (cos(90o)=0), andika hivi:
(n¯PQ¯)=0 au
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
Tukifungua mabano, tunapata:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 au
Ax + By + Cz +D=0 ambapo D=-Ax0-By0-Cz0.
Mlinganyo huu unaitwa jumla kwa ndege. Tunaona kwamba viambajengo vilivyo mbele ya x, y, na z ni viwianishi vya vekta ya pembeni n¯. Inaitwa mwongozo wa ndege.
Mlinganyo wa parametric ya Vekta ya ndege
Njia ya pili ya kufafanua ndege ni kutumia vekta mbili zilizo ndani yake.
Chukulia kuwa kuna vekta u¯(x1; y1; z1) na v¯(x2; y2; z2). Kama ilivyosemwa, kila mmoja wao kwenye nafasi anaweza kuwakilishwa na idadi isiyo na kikomo ya sehemu zilizoelekezwa, kwa hivyo, hatua moja zaidi inahitajika ili kuamua ndege ya kipekee. Hebu hatua hii iwe P(x0;y0; z0). Sehemu yoyote ya Q(x; y; z) italala kwenye ndege inayotaka ikiwa vekta PQ¯ inaweza kuwakilishwa kama mseto wa u¯ na v¯. Yaani tuna:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Ambapo α na β ni baadhi ya nambari halisi. Kutoka kwa usawa huu hufuata usemi:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).).
Inaitwa mlinganyo wa parametric vekta ya ndege inayohusiana na vekta 2 u¯ na v¯. Kubadilisha vigezo vya kiholela α na β, mtu anaweza kupata pointi zote (x; y; z) zinazomilikiwa na ndege hii.
Kutoka kwa mlinganyo huu ni rahisi kupata usemi wa jumla wa ndege. Ili kufanya hivyo, inatosha kupata mwelekeo wa vekta n¯, ambayo itakuwa ya kipekee kwa vekta u¯ na v¯, yaani, bidhaa yao ya vekta inapaswa kutumika.
Tatizo la kubainisha mlinganyo wa jumla wa ndege
Hebu tuonyeshe jinsi ya kutumia fomula zilizo hapo juu kutatua matatizo ya kijiometri. Tuseme kiveta cha mwelekeo wa ndege ni n¯(5; -3; 1). Unapaswa kupata mlinganyo wa ndege, ukijua kuwa nukta P(2; 0; 0) ni yake.
Mlinganyo wa jumla umeandikwa kama:
Ax + By + Cz +D=0.
Kwa kuwa vekta ya pembeni mwa ndege inajulikana, mlinganyo utachukua fomu:
5x - 3y + z +D=0.
Inasalia kupata neno huru D. Tunalihesabu kutokana na ujuzi wa viwianishi P:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Kwa hivyo, mlinganyo unaotakiwa wa ndege una fomu:
5x - 3y + z -10=0.
Kielelezo hapa chini kinaonyesha jinsi ndege inayotokana na inavyoonekana.
Viwianishi vilivyoonyeshwa vya pointi vinalingana na makutano ya ndege yenye shoka za x, y na z.
Tatizo la kubaini ndege kupitia vekta mbili na nukta
Sasa tuseme ndege iliyotangulia imefafanuliwa tofauti. Vekta mbili u¯(-2; 0; 10) na v¯(-2; -10/3; 0) zinajulikana, pamoja na uhakika P(2; 0; 0). Jinsi ya kuandika equation ya ndege katika fomu ya parametric ya vector? Kwa kutumia fomula inayolingana inayozingatiwa, tunapata:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Kumbuka kwamba ufafanuzi wa mlingano huu wa ndege, vekta u¯ na v¯ zinaweza kuchukuliwa yoyote kabisa, lakini kwa sharti moja: lazima zisilingane. Vinginevyo, ndege haiwezi kubainishwa kwa njia ya kipekee, hata hivyo, mtu anaweza kupata mlinganyo wa boriti au seti ya ndege.
