Ndege angani. Mahali pa ndege angani

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Ndege ni kitu cha kijiometri ambacho sifa zake hutumika wakati wa kuunda makadirio ya pointi na mistari, na pia wakati wa kukokotoa umbali na pembe za dihedral kati ya vipengele vya takwimu za pande tatu. Hebu tuchunguze katika makala haya milinganyo gani inaweza kutumika kuchunguza eneo la ndege angani.

Ufafanuzi wa ndege

Kila mtu kwa angavu anawazia ni kitu gani kitakachojadiliwa. Kutoka kwa mtazamo wa kijiometri, ndege ni mkusanyiko wa pointi, vectors yoyote kati ya ambayo lazima perpendicular kwa baadhi ya vector moja. Kwa mfano, ikiwa kuna m pointi tofauti katika nafasi, basi m(m-1) / 2 vectors tofauti inaweza kufanywa kutoka kwao, kuunganisha pointi kwa jozi. Ikiwa vekta zote zina mwelekeo mmoja, basi hii ni hali ya kutosha kwamba pointi zote m ni za ndege moja.

Mlingano wa jumla

Katika jiometri anga, ndege inaelezewa kwa kutumia milinganyo ambayo kwa ujumla ina viwianishi vitatu visivyojulikana vinavyolingana na shoka za x, y na z. Kwapata mlingano wa jumla katika viwianishi vya ndege angani, chukulia kuwa kuna vekta n¯(A; B; C) na nukta M(x₀; y₀; z_{0). Kwa kutumia vitu hivi viwili, ndege inaweza kufafanuliwa kipekee.}

Kwa kweli, tuseme kuna sehemu ya pili P(x; y; z) ambayo viwianishi vyake havijulikani. Kulingana na ufafanuzi uliotolewa hapo juu, vekta MP¯ lazima iwe sawa na n¯, yaani, bidhaa ya scalar kwao ni sawa na sifuri. Kisha tunaweza kuandika usemi ufuatao:

(n¯MP¯)=0 au

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Kufungua mabano na kutambulisha mgawo mpya wa D, tunapata usemi huu:

Ax + By + Cz + D=0 ambapo D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Usemi huu unaitwa mlinganyo wa jumla wa ndege. Ni muhimu kukumbuka kwamba viambajengo vilivyo mbele ya x, y na z huunda viwianishi vya vekta n¯(A; B; C) iliyo mkabala wa ndege. Inafanana na ya kawaida na ni mwongozo wa ndege. Kuamua equation ya jumla, haijalishi ambapo vector hii inaelekezwa. Hiyo ni, ndege zilizojengwa kwenye vekta n¯ na -n¯ zitakuwa sawa.

Kielelezo hapo juu kinaonyesha ndege, vekta ya kawaida yake, na mstari unaoelekea kwenye ndege.

Sehemu zilizokatwa na ndege kwenye shoka na mlinganyo unaolingana

Mlingano wa jumla unaruhusu kutumia utendakazi rahisi wa hisabati kubainisha, ndanini saa ngapi ndege itapita kati ya shoka za kuratibu. Ni muhimu kujua habari hii ili kuwa na wazo kuhusu nafasi katika nafasi ya ndege, na pia wakati wa kuionyesha kwenye michoro.

Ili kubainisha maeneo ya makutano yaliyotajwa, mlinganyo katika sehemu hutumika. Inaitwa hivyo kwa sababu ina kwa uwazi maadili ya urefu wa sehemu zilizokatwa na ndege kwenye shoka za kuratibu, wakati wa kuhesabu kutoka kwa uhakika (0; 0; 0). Hebu tupate mlingano huu.

Andika usemi wa jumla wa ndege kama ifuatavyo:

Ax + By + Cz=-D

Sehemu za kushoto na kulia zinaweza kugawanywa kwa -D bila kukiuka usawa. Tuna:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 au

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Unda madhehebu ya kila neno kwa ishara mpya, tunapata:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C kisha

x/p + y/q + z/r=1

Huu ndio mlinganyo uliotajwa hapo juu katika sehemu. Inafuata kutoka kwake kwamba thamani ya denominator ya kila neno inaonyesha uratibu wa makutano na mhimili unaofanana wa ndege. Kwa mfano, inakatiza mhimili wa y kwenye uhakika (0; q; 0). Hii ni rahisi kuelewa ikiwa utabadilisha viwianishi vya sifuri x na z kwenye mlinganyo.

Kumbuka kwamba ikiwa hakuna tofauti katika mlinganyo katika sehemu, hii inamaanisha kuwa ndege haikatishi mhimili unaolingana. Kwa mfano, kutokana na usemi:

x/p + y/q=1

Hii ina maana kwamba ndege itakata sehemu p na q kwenye mihimili ya x na y, mtawalia, lakini itakuwa sambamba na mhimili wa z.

Hitimisho kuhusu tabia ya ndege wakatikukosekana kwa tofauti fulani katika mlinganyo wake pia ni kweli kwa usemi wa aina ya jumla, kama inavyoonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.

Mlinganyo wa parametric ya Vekta

Kuna aina ya tatu ya mlinganyo unaoruhusu kuelezea ndege angani. Inaitwa vector ya parametric kwa sababu inatolewa na vekta mbili zilizolala kwenye ndege na vigezo viwili vinavyoweza kuchukua maadili ya kujitegemea ya kiholela. Hebu tuonyeshe jinsi mlingano huu unavyoweza kupatikana.

Tuseme kuna vivekta kadhaa vinavyojulikana u ¯(a₁; b₁; c₁) na v¯(a₂; b₂; c₂). Ikiwa haziwiani, basi zinaweza kutumika kuweka ndege maalum kwa kurekebisha mwanzo wa mojawapo ya vekta hizi kwenye sehemu inayojulikana M(x₀; y₀; z_{0). Ikiwa vekta ya kiholela MP¯ inaweza kuwakilishwa kama mseto wa vekta za mstari u¯ na v¯, basi hii inamaanisha kuwa ncha P(x; y; z) ni ya ndege sawa na u¯, v¯. Kwa hivyo, tunaweza kuandika usawa:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Au tukiandika usawa huu kulingana na viwianishi, tunapata:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Usawa uliowasilishwa ni mlingano wa vekta ya parametric ya ndege. KATIKAnafasi ya vekta kwenye ndege u¯ na v¯ huitwa jenereta.

Inayofuata, wakati wa kusuluhisha tatizo, itaonyeshwa jinsi mlingano huu unavyoweza kupunguzwa hadi umbo la jumla kwa ndege.

Angle kati ya ndege angani

Kwa kueleweka, ndege zilizo katika anga ya 3D zinaweza kukatiza au la. Katika kesi ya kwanza, ni ya kupendeza kupata pembe kati yao. Hesabu ya pembe hii ni ngumu zaidi kuliko pembe kati ya mistari, kwani tunazungumza juu ya kitu cha kijiometri cha dihedral. Hata hivyo, vekta elekezi iliyotajwa tayari ya ndege inakuja kuokoa.

Imethibitishwa kijiometri kuwa pembe ya dihedral kati ya ndege mbili zinazokatiza ni sawa kabisa na pembe kati ya vekta za mwongozo. Hebu tutambue vekta hizi kama n₁¯(a₁; b₁; c_{1) na n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Cosine ya pembe kati yao imedhamiriwa kutoka kwa bidhaa ya scalar. Hiyo ni, pembe yenyewe katika nafasi kati ya ndege inaweza kuhesabiwa kwa formula:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Hapa moduli katika kipunguzo hutumika kutupa thamani ya pembe ya buti (kati ya ndege zinazokatiza kila mara ni chini ya au sawa na 90o).

Katika umbo la kuratibu, usemi huu unaweza kuandikwa upya kama ifuatavyo:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Ndege zenye pembe na sambamba

Iwapo ndege zitapishana na pembe ya dihedral inayoundwa nazo ni 90o, basi zitakuwa zenye mwelekeo. Mfano wa ndege hizo ni prism ya mstatili au mchemraba. Takwimu hizi zinaundwa na ndege sita. Katika kila kipeo cha takwimu zilizotajwa kuna ndege tatu zenye usawa wa kila moja.

Ili kujua ikiwa ndege zinazozingatiwa ni za pembendiko, inatosha kukokotoa bidhaa ya scalar ya vekta zao za kawaida. Hali ya kutosha ya upenyo katika nafasi ya ndege ni thamani ya sifuri ya bidhaa hii.

Sambamba huitwa ndege zisizokatiza. Wakati mwingine pia inasemekana kwamba ndege zinazofanana zinaingiliana kwa infinity. Hali ya ulinganifu katika nafasi ya ndege inapatana na hali hiyo kwa vekta za mwelekeo n₁¯ na n_{2¯. Unaweza kukiangalia kwa njia mbili:}

Hesabu kosini ya pembe ya dihedral (cos(φ)) kwa kutumia bidhaa ya scalar. Ikiwa ndege ziko sambamba, basi thamani itakuwa 1.

Jaribu kuwakilisha vekta moja kupitia nyingine kwa kuzidisha kwa baadhi ya nambari, yaani n₁¯=kn_{2¯. Ikiwa hii inaweza kufanyika, basi ndege zinazofanana nisambamba.}

Kielelezo kinaonyesha ndege mbili zinazofanana.

Sasa hebu tutoe mifano ya kutatua matatizo mawili ya kuvutia kwa kutumia maarifa yaliyopatikana ya hisabati.

Jinsi ya kupata fomu ya jumla kutoka kwa mlinganyo wa kivekta?

Hii ni kielelezo cha kivekta cha parametric kwa ndege. Ili kurahisisha kuelewa mtiririko wa shughuli na hila za hisabati zinazotumiwa, zingatia mfano mahususi:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Panua usemi huu na ueleze vigezo visivyojulikana:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Kisha:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Tukifungua mabano katika usemi wa mwisho, tunapata:

z=2x-2 + 3y - 6 au

2x + 3y - z - 8=0

Tumepata fomu ya jumla ya mlingano wa ndege iliyobainishwa katika taarifa ya tatizo katika fomu ya vekta

Jinsi ya kuunda ndege kupitia pointi tatu?

Inawezekana kuchora ndege moja kupitia pointi tatu ikiwa pointi hizi si za mstari mmoja ulionyooka. Kanuni ya kutatua tatizo hili inajumuisha mlolongo ufuatao wa vitendo:

tafuta viwianishi vya vekta mbili kwa kuunganisha sehemu zinazojulikana kwa jozi;
kokotoa bidhaa zao tofauti na upate vekta ya kawaida kwenye ndege;
andika mlingano wa jumla kwa kutumia vekta iliyopatikana napointi zozote kati ya hizo tatu.

Hebu tuchukue mfano halisi. Alama zimetolewa: