Kujua umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege au kwa mstari ulionyooka hukuruhusu kukokotoa kiasi na eneo la uso la takwimu katika nafasi. Uhesabuji wa umbali huu katika jiometri unafanywa kwa kutumia equations sambamba kwa vitu maalum vya kijiometri. Katika makala tutaonyesha ni fomula gani zinaweza kutumika kuibainisha.
Mlinganyo wa laini na ndege
Kabla ya kutoa fomula za kubainisha umbali kutoka sehemu hadi ndege na hadi mstari, hebu tuonyeshe ni milinganyo gani inayoelezea vitu hivi.
Ili kufafanua nukta, seti ya viwianishi katika mfumo fulani wa mihimili ya kuratibu hutumiwa. Hapa tutazingatia tu mfumo wa mstatili wa Cartesian ambao shoka zina vekta za kitengo sawa na ziko kwa pande zote. Kwenye ndege, sehemu ya kiholela inaelezewa na viwianishi viwili, katika nafasi - na tatu.
Aina tofauti za milinganyo hutumiwa kufafanua mstari ulionyooka. Kwa mujibu wa mada ya makala, tunawasilishamiwili pekee kati yao, ambayo hutumika katika nafasi ya pande mbili kufafanua mistari.
Mlingano wa Vekta. Ina nukuu ifuatayo:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Muhula wa kwanza hapa unawakilisha viwianishi vya sehemu inayojulikana iliyo kwenye mstari. Neno la pili ni viwianishi vya kivekta mwelekeo vinavyozidishwa na nambari ya kiholela λ.
Mlingano wa jumla. Nukuu yake ni kama ifuatavyo:
Ax + By + C=0;
ambapo A, B, C ni baadhi ya vigawo.
Mlingano wa jumla hutumiwa mara nyingi zaidi kubainisha mistari kwenye ndege, hata hivyo, ili kupata umbali kutoka sehemu moja hadi mstari kwenye ndege, ni rahisi zaidi kufanya kazi kwa usemi wa vekta.
Ndege katika nafasi ya pande tatu pia inaweza kuandikwa kwa njia kadhaa za hisabati. Walakini, mara nyingi katika shida kuna equation ya jumla, ambayo imeandikwa kama ifuatavyo:
Ax + By + Cz + D=0.
Faida ya nukuu hii kuhusiana na nyinginezo ni kwamba ina viwianishi vya vekta inayoelekea kwenye ndege. Vekta hii inaitwa mwongozo wake, inaendana na mwelekeo wa kawaida, na kuratibu zake ni sawa na (A; B; C).
Kumbuka kwamba usemi ulio hapo juu unalingana na namna ya kuandika mlingano wa jumla kwa mstari ulionyooka katika nafasi ya pande mbili, kwa hivyo unaposuluhisha matatizo, unapaswa kuwa mwangalifu usichanganye vitu hivi vya kijiometri.
Umbali kati ya uhakika na mstari
Hebu tuonyeshe jinsi ya kukokotoa umbali kati ya mstari ulionyooka nauhakika katika nafasi ya pande mbili.
Kuwe na hoja fulani Q(x1; y1) na mstari uliotolewa na:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Umbali kati ya mstari na nukta unaeleweka kama urefu wa sehemu inayoendana na mstari huu, iliyoshushwa juu yake kutoka kwa uhakika Q.
Kabla ya kuhesabu umbali huu, unapaswa kubadilisha viwianishi vya Q kwenye mlingano huu. Ikiwa wanakidhi, basi Q ni ya mstari uliotolewa, na umbali unaofanana ni sawa na sifuri. Ikiwa kuratibu za uhakika haziongozi usawa, basi umbali kati ya vitu vya kijiometri sio sifuri. Inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Hapa P ni sehemu ya kiholela ya mstari ulionyooka, ambao ni mwanzo wa vekta PQ¯. Vekta u¯ ni sehemu ya mwongozo kwa mstari ulionyooka, yaani, viwianishi vyake ni (a; b).
Kutumia fomula hii kunahitaji uwezo wa kukokotoa bidhaa tofauti katika nambari.
Tatizo la pointi na mstari
Hebu tuseme unahitaji kupata umbali kati ya Q(-3; 1) na mstari ulionyooka unaokidhi mlinganyo:
y=5x -2.
Tukibadilisha viwianishi vya Q kwenye usemi, tunaweza kuhakikisha kuwa Q haiongoi kwenye mstari. Unaweza kutumia fomula ya d iliyotolewa katika aya hapo juu ikiwa unawakilisha mlingano huu katika fomu ya vekta. Wacha tuifanye hivi:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Sasa hebu tuchukue hoja yoyote kwenye mstari huu, kwa mfano (0; -2), na tujenge vekta kuanzia humo na kuishia kwa Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Sasa tumia fomula ili kubainisha umbali, tunapata:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Umbali kutoka sehemu moja hadi ndege
Kama ilivyo kwa mstari ulionyooka, umbali kati ya ndege na sehemu katika anga hueleweka kama urefu wa sehemu, ambayo kutoka kwa sehemu fulani huteremshwa kwa upenyo hadi kwenye ndege na kuivuka.
Katika nafasi, pointi hutolewa na viwianishi vitatu. Ikiwa ni sawa na (x1; y1; z1), basi umbali kati ya ndege na hatua hiyo inaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).).
Kumbuka kwamba kutumia fomula hukuruhusu kupata umbali kutoka kwa ndege hadi kwenye laini pekee. Ili kupata kuratibu za mahali ambapo sehemu ya perpendicular inaingiliana na ndege, ni muhimu kuandika equation kwa mstari ambao sehemu hii ni, na kisha kupata uhakika wa kawaida wa mstari huu na ndege iliyotolewa.
Tatizo la ndege na uhakika
Tafuta umbali kutoka kwa uhakika hadi kwenye ndege ikiwa inajulikana kuwa sehemu hiyo ina viwianishi (3; -1; 2) na ndege imetolewa na:
-y + 3z=0.
Ili kutumia fomula inayolingana, kwanza tunaandika vigawo vyakupewa ndege. Kwa kuwa variable x na neno la bure haipo, coefficients A na D ni sawa na sifuri. Tuna:
A=0; B=-1; C=3; D=0.
Ni rahisi kuonyesha kuwa ndege hii inapitia asili na mhimili wa x ni wake.
Badilisha viwianishi vya nukta na vigawo vya ndege hadi kwenye fomula ya umbali d, tunapata:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Kumbuka kwamba ukibadilisha kiratibu cha x cha nukta, basi umbali d hautabadilika. Ukweli huu unamaanisha kwamba seti ya pointi (x; -1; 2) huunda mstari ulionyooka sambamba na ndege iliyotolewa.
