Logarithmu: mifano na suluhu

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Kama unavyojua, unapozidisha usemi kwa nguvu, vielezi vyake hujumlisha kila wakati (a^ba^c=a^{b+ c). Sheria hii ya hisabati ilitolewa na Archimedes, na baadaye, katika karne ya 8, mtaalamu wa hisabati Virasen aliunda meza ya viashiria vya integer. Ni wao ambao walihudumu kwa ugunduzi zaidi wa logarithms. Mifano ya kutumia kipengele hiki inaweza kupatikana karibu kila mahali ambapo inahitajika kurahisisha kuzidisha kugumu hadi kuongeza rahisi. Ikiwa unatumia dakika 10 kusoma makala hii, tutakuelezea nini logarithms ni na jinsi ya kufanya kazi nao. Lugha rahisi na inayoweza kufikiwa.}

Ufafanuzi katika hisabati

Logariti ni usemi wa fomu ifuatayo: log_ab=c c" ambayo unahitaji kuinua msingi "a" ili hatimaye kupata thamani " b". Wacha tuchambue logariti kwa kutumia mifano, tuseme kuna logi ya usemi_{28. Jinsi ya kupata jibu? Ni rahisi sana, unahitaji kupata shahada hiyo kwamba kutoka 2 hadi shahada inayohitajika kupata 8. Baada ya kufanya mahesabu fulani katika akili yako, tunapata namba 3! Na ni kweli, kwa sababu2 iliyoinuliwa kwa uwezo wa 3 inatoa jibu 8.}

Aina za logariti

Kwa wanafunzi na wanafunzi wengi, mada hii inaonekana kuwa ngumu na isiyoeleweka, lakini kwa kweli, logariti sio za kutisha sana, jambo kuu ni kuelewa maana yao ya jumla na kukumbuka mali zao na sheria kadhaa. Kuna aina tatu tofauti za semi za logarithmic:

Logariti asilia ln a, ambapo msingi ni nambari ya Euler (e=2, 7).
desimali logariti lg a, ambapo msingi ni nambari 10.
Logariti ya nambari yoyote b hadi msingi a>1.

Kila mojawapo hutatuliwa kwa njia ya kawaida, ikijumuisha kurahisisha, kupunguza na kupunguzwa kwa logariti moja kwa kutumia nadharia za logarithmic. Ili kupata maadili sahihi ya logariti, mtu anapaswa kukumbuka sifa zao na mpangilio wa hatua katika kuzitatua.

Sheria na baadhi ya vikwazo

Katika hisabati, kuna vikwazo-kadhaa vya sheria ambavyo vinakubaliwa kama axiom, yaani, havibadiliki na ni vya kweli. Kwa mfano, haiwezekani kugawanya nambari kwa sifuri, na pia haiwezekani kuchukua mizizi hata kutoka kwa nambari hasi. Logarithmu pia zina sheria zao, kufuatia ambayo unaweza kujifunza kwa urahisi jinsi ya kufanya kazi hata kwa misemo ndefu na kubwa ya logarithmic:

msingi wa "a" lazima kila wakati uwe mkubwa kuliko sifuri, na wakati huo huo usiwe sawa na 1, vinginevyo usemi utapoteza maana yake, kwa sababu "1" na "0" kwa kiwango chochote huwa daima. sawa na maadili yao;
kama > 0, basi ab>0,inabadilika kuwa "c" lazima pia iwe kubwa kuliko sifuri.

Jinsi ya kutatua logariti?

Kwa mfano, ukipewa jukumu la kupata jibu la equation 10^x=100. Ni rahisi sana, unahitaji kuchagua nguvu kama hiyo, kuinua nambari kumi, pata 100. Hii, bila shaka Naam, nguvu ya quadratic! 10^2=100.

Sasa hebu tuwakilishe usemi huu kama logarithmic. Tunapata kumbukumbu_{10100=2. Wakati wa kusuluhisha logariti, vitendo vyote huungana na kutafuta nguvu ambayo msingi wa logariti lazima uingizwe ili kupata nambari fulani.}

Ili kubaini kwa usahihi thamani ya digrii isiyojulikana, unahitaji kujifunza jinsi ya kufanya kazi na jedwali la digrii. Inaonekana hivi:

Kama unavyoona, baadhi ya vielezi vinaweza kubashiriwa kwa njia angavu ikiwa una mawazo ya kiufundi na ujuzi wa jedwali la kuzidisha. Walakini, maadili makubwa yatahitaji meza ya nguvu. Inaweza kutumika hata kwa wale ambao hawaelewi chochote katika mada ngumu za hisabati. Safu ya kushoto ina nambari (msingi a), safu ya juu ya nambari ni thamani ya nguvu c, ambayo nambari a imeinuliwa. Katika makutano, seli hufafanua thamani za nambari ambazo ni jibu (ac=b). Hebu tuchukue, kwa mfano, kiini cha kwanza kabisa na namba 10 na mraba, tunapata thamani 100, ambayo imeonyeshwa kwenye makutano ya seli zetu mbili. Kila kitu ni rahisi na rahisi kiasi kwamba hata mwanabinadamu wa kweli ataelewa!

Milingano na ukosefu wa usawa

Inabadilika kuwa liniChini ya hali fulani, kipeo ni logariti. Kwa hivyo, maneno yoyote ya kihesabu ya kihesabu yanaweza kuandikwa kama mlinganyo wa logarithmic. Kwa mfano, 3⁴=81 inaweza kuandikwa kama logariti ya 81 hadi msingi 3, ambayo ni nne (logi₃81=4). Kwa digrii hasi, sheria ni sawa: 2^-5=1/32 iliyoandikwa kama logariti, tunapata kumbukumbu_{2 (1/32)=-5. Moja ya sehemu ya kuvutia zaidi ya hisabati ni mada ya "logarithms". Tutazingatia mifano na suluhisho za equations chini kidogo, mara baada ya kusoma mali zao. Kwa sasa, hebu tuangalie ukosefu wa usawa unaonekanaje na jinsi ya kutofautisha kutoka kwa milinganyo.}

Usemi ufuatao umetolewa: log_{2(x-1) > 3 - ni ukosefu wa usawa wa logarithmic, kwa kuwa thamani isiyojulikana "x" iko chini ya ishara ya logarithm. Usemi huo pia unalinganisha thamani mbili: logariti mbili msingi ya nambari inayotakiwa ni kubwa kuliko nambari tatu.}

Tofauti muhimu zaidi kati ya milinganyo ya logarithmic na ukosefu wa usawa ni kwamba milinganyo na logariti (mfano - logarithm₂x=√9) _{inaashiria katika jibu nambari moja au zaidi maalum za nambari, wakati wa kusuluhisha usawa, anuwai ya maadili yanayokubalika na vizuizi vya kazi hii huamuliwa. Kwa hivyo, jibu si seti rahisi ya nambari za kibinafsi, kama katika jibu la equation, lakini mfululizo unaoendelea au seti ya nambari.}

Nadharia za msingi kwenye logariti

Unaposuluhisha kazi za awali ili kupata thamani za logariti, huenda usijue sifa zake. Hata hivyo, linapokuja suala la usawa wa logarithmic au usawa, kwanza kabisa, ni muhimu kuelewa wazi na kutumia katika mazoezi mali yote ya msingi ya logarithms. Tutafahamiana na mifano ya milinganyo baadaye, hebu kwanza tuchambue kila sifa kwa undani zaidi.

kitambulisho msingi kinaonekana kama hii: alogaB=B. Inatumika tu ikiwa a ni kubwa kuliko 0, si sawa na moja, na B ni kubwa kuliko sifuri.

Logariti ya bidhaa inaweza kuwakilishwa katika fomula ifuatayo: log_d(s₁s_2)=logid_s1 _{+ log}d_s2. _{Katika hali hii, sharti la lazima ni: d, s}1 _{na s}2 _{> 0; a≠1. Unaweza kutoa uthibitisho wa fomula hii ya logarithms, na mifano na suluhisho. Ruhusu} a_s1 _=f1 _{na uweke}_s 2_=f2_{, kisha a}f1^=s1_{, a} f2^=s2. _{Tunapata hiyo} 1_s2 _=af1^a f2^=af1+f2 ^{(sifa za digrii), na zaidi kwa ufafanuzi: log}a_(s1 _s2_)=f1_{+ f}2_=log a_{s1 + log}a_s2, _{ambayo ilitakiwa kuthibitishwa.}
Logariti ya mgawo inaonekana kama hii: log_a(s_1/s₂)=logi _as₁- log_as_2.

Nadharia katika mfumo wa fomula inachukua namna ifuatayo: log_a^qbⁿ =n/q logi_ab.

Mfumo huu unaitwa "mali ya daraja la logariti". Inafanana na mali ya digrii za kawaida, na haishangazi, kwa sababu hisabati zote hutegemea postulates za kawaida. Hebu tuangalie uthibitisho.

Hebu ingia_ab=t, tunapata^t=b. Ukiinua pande zote mbili kwa nguvu ya m: a^tn=b^;

lakini kwa sababu^tn=(a^q)^nt/q=b ^{, kwa hivyo ingia}aq _bn=(nt)/t, kisha ingia^a_q b_n=n/q logi^ab. Nadharia imethibitishwa.

Mifano ya matatizo na ukosefu wa usawa

Aina zinazojulikana zaidi za matatizo ya logariti ni mifano ya milinganyo na ukosefu wa usawa. Zinapatikana katika karibu vitabu vyote vya shida, na pia zinajumuishwa katika sehemu ya lazima ya mitihani katika hisabati. Ili kuingia chuo kikuu au kufaulu majaribio ya kuingia katika hisabati, unahitaji kujua jinsi ya kutatua matatizo kama haya kwa usahihi.

Kwa bahati mbaya, hakuna mpango au mpango mmoja wa kutatua na kubainisha thamani isiyojulikana ya logariti, lakini sheria fulani zinaweza kutumika kwa kila usawa wa kihesabu au mlinganyo wa logarithmic. Kwanza kabisa, unapaswa kujua ikiwa usemi huo unaweza kurahisishwa au kupunguzwa kuwa fomu ya jumla. Unaweza kurahisisha misemo ndefu ya logarithmic ikiwa unatumia sifa zao kwa usahihi. Hebu tuwafahamu hivi karibuni.

Wakati wa kutatua milinganyo ya logarithmia,ni muhimu kubainisha ni aina gani ya logariti tuliyo nayo mbele yetu: mfano wa usemi unaweza kuwa na logariti asilia au desimali moja.

Ifuatayo ni mifano ya logariti za decimal: ln100, ln1026. Suluhisho lao linapungua kwa ukweli kwamba unahitaji kuamua kiwango ambacho msingi 10 utakuwa sawa na 100 na 1026, kwa mtiririko huo. Kwa ufumbuzi wa logarithms asili, mtu lazima atumie vitambulisho vya logarithmic au mali zao. Hebu tuangalie mifano ya kutatua matatizo ya logarithmic ya aina mbalimbali.

Jinsi ya kutumia fomula za logariti: zenye mifano na suluhu

Kwa hivyo, hebu tuangalie mifano ya kutumia nadharia kuu kuhusu logariti.

Sifa ya logariti ya bidhaa inaweza kutumika katika kazi ambapo ni muhimu kutenganisha thamani kubwa ya nambari b katika vipengele rahisi zaidi. Kwa mfano, logi₂4 + log₂128=log₂(4128)=log_{2512. Jibu ni 9.}

logi₄8=logi_2² 2³ =3/2 logi_{22=1, 5 - kama unaweza kuona, kwa kutumia mali ya nne ya shahada ya logarithm, tuliweza kutatua kwa mtazamo wa kwanza. usemi changamano na usioweza kusuluhishwa. Unachohitajika kufanya ni kuangazia msingi na kisha kutoa nguvu kutoka kwa ishara ya logariti.}

Kazi kutoka kwa mtihani

Logariti mara nyingi hupatikana katika mitihani ya kujiunga, hasa matatizo mengi ya mantiki katika Mtihani wa Jimbo la Umoja (mtihani wa serikali kwa wahitimu wote wa shule). Kawaida kazi hizi hazipo tu katika sehemu A (zaidimtihani rahisi sehemu ya mtihani), lakini pia katika sehemu C (kazi ngumu zaidi na voluminous). Mtihani unahitaji maarifa sahihi na kamili ya mada "Logarithmu Asili".

Mifano na suluhu za matatizo huchukuliwa kutoka kwa matoleo rasmi ya mtihani. Hebu tuone jinsi kazi kama hizi zinavyotatuliwa.

logi uliyopewa₂(2x-1)=4. Suluhisho:

andika upya usemi, uirahisisha logi kidogo_2(2x-1)=22^{, kwa ufafanuzi wa logariti tunapata kwamba 2x-1=2}4^{, kwa hivyo 2x=17; x=8, 5.}

Kufuata miongozo michache, kufuatia ambayo unaweza kutatua milinganyo yote iliyo na misemo kwa urahisi iliyo chini ya ishara ya logariti.

Ni bora kupunguza logariti zote kwa msingi sawa ili suluhisho lisiwe gumu na la kutatanisha.
Semi zote chini ya alama ya logariti huonyeshwa kuwa chanya, kwa hivyo unapozidisha kipeo cha usemi kilicho chini ya alama ya logariti na kama msingi wake, usemi unaobaki chini ya logariti lazima kiwe chanya.