Mche wa pembetatu na sifa zake kuu

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Jiometri ya anga ni utafiti wa miche. Tabia zao muhimu ni kiasi kilichomo ndani yao, eneo la uso na idadi ya vipengele vilivyomo. Katika makala, tutazingatia sifa hizi zote kwa prism ya hexagonal.

Tunazungumzia prism gani?

Prism ya hexagonal ni umbo linaloundwa na poligoni mbili zenye pande sita na pembe sita, na sambamba sita zinazounganisha hexagoni zilizowekwa alama kuwa muundo mmoja wa kijiometri.

Kielelezo kinaonyesha mfano wa mche huu.

Hexagons iliyowekwa alama nyekundu inaitwa msingi wa takwimu. Kwa wazi, idadi ya besi zake ni sawa na mbili, na zote mbili zinafanana. Nyuso za njano-kijani za prism huitwa pande zake. Katika takwimu zinawakilishwa na miraba, lakini kwa jumla ni msambamba.

Mche wenye pembe sita unaweza kuinamia na kunyooka. Katika kesi ya kwanza, pembe kati ya msingi na pande sio sawa, kwa pili ni sawa na 90o. Pia, prism hii inaweza kuwa sahihi na isiyo sahihi. Mara kwa mara hexagonalprism lazima iwe sawa na iwe na hexagon ya kawaida kwenye msingi. Prism hapo juu kwenye takwimu inakidhi mahitaji haya, kwa hivyo inaitwa sahihi. Zaidi katika makala tutasoma sifa zake tu, kama kisa cha jumla.

Vipengele

Kwa mche wowote vipengele vyake kuu ni kingo, nyuso na wima. Prism ya hexagonal sio ubaguzi. Takwimu hapo juu inakuwezesha kuhesabu idadi ya vipengele hivi. Kwa hivyo, tunapata nyuso 8 au pande (besi mbili na parallelograms sita za nyuma), idadi ya wima ni 12 (wima 6 kwa kila msingi), idadi ya kingo za prism ya hexagonal ni 18 (sita nyuma na 12 kwa besi).

Katika miaka ya 1750, Leonhard Euler (mwanahisabati wa Uswizi) alianzisha polihedra zote, ambazo ni pamoja na prism, uhusiano wa hisabati kati ya nambari za vipengele vilivyoonyeshwa. Uhusiano huu unaonekana kama:

idadi ya kingo=idadi ya nyuso + idadi ya wima - 2.

Takwimu zilizo hapo juu zinakidhi fomula hii.

Milalo ya Prism

Milalo yote ya mche wa hexagonal inaweza kugawanywa katika aina mbili:

• wale walalao katika ndege za nyuso zake;
• zile ambazo ni za ujazo wote wa takwimu.

Picha iliyo hapa chini inaonyesha diagonal hizi zote.

Inaweza kuonekana kuwa D₁ ni ulalo wa upande, D₂ na D₃ ni diagonal za mche mzima, D₄ na D_{5 - mishororo ya msingi.}

Urefu wa mishororo ya pande zote ni sawa. Ni rahisi kuzihesabu kwa kutumia theorem inayojulikana ya Pythagorean. Hebu a iwe urefu wa upande wa hexagons, b urefu wa ukingo wa upande. Kisha mlalo una urefu:

D₁=√(a² + b^2).).

Diagonal D₄ pia ni rahisi kubainisha. Ikiwa tunakumbuka kwamba hexagons ya kawaida inafaa kwenye mduara na radius a, basi D_{4 ni kipenyo cha mduara huu, yaani, tunapata fomula ifuatayo:}

D_4=2a.

Misingi ya Ulalo D₅besi ni ngumu zaidi kupata. Ili kufanya hivyo, fikiria pembetatu ya usawa ABC (ona Mtini.). Kwake AB=BC=a, pembe ABC ni 120^{o. Ikiwa tutapunguza urefu kutoka kwa pembe hii (pia itakuwa kipenyo na wastani), basi nusu ya msingi wa AC itakuwa sawa na:}

AC/2=ABdhambi(60o)=a√3/2.

Upande wa AC ni mlalo wa D_{5, kwa hivyo tunapata:}

D_5=AC=√3a.

Sasa imesalia kupata diagonal D₂na D_{3ya mche wa kawaida wa hexagonal. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuona kwamba wao ni hypotenuses ya pembetatu zinazofanana za kulia. Kwa kutumia nadharia ya Pythagorean, tunapata:}

D₂=√(D₄²+ b^2)=√(4a2^{+ b}2^);

D₃=√(D₅²+ b^2)=√(3a2^{+ b}2^).).

Kwa hivyo, diagonal kubwa zaidi kwa thamani zozote za a na b niD_2.

Eneo la uso

Ili kuelewa ni nini kiko hatarini, njia rahisi ni kuzingatia ukuzaji wa mche huu. Inaonyeshwa kwenye picha.

Inaweza kuonekana kuwa ili kuamua eneo la pande zote za takwimu inayozingatiwa, ni muhimu kuhesabu eneo la quadrangle na eneo la hexagon kando, kisha kuzizidisha. kwa nambari kamili zinazolingana sawa na nambari ya kila n-gon kwenye prism, na ongeza matokeo. Heksagoni 2, mistatili 6.

Kwa eneo la mstatili tunapata:

S_1=ab.

Kisha eneo la uso wa kando ni:

S_2=6ab.

Ili kubainisha eneo la heksagoni, njia rahisi ni kutumia fomula inayolingana, ambayo inaonekana kama:

S=n/4a2ctg(pi/n).

Kubadilisha nambari n sawa na 6 kwenye usemi huu, tunapata eneo la heksagoni moja:

S₆=6/4a²ctg(pi/6)=3√3/2a 2^.

Msemo huu unapaswa kuzidishwa na mbili ili kupata eneo la besi za prism:

S_os=3√3a^2.

Inasalia kuongeza S_os na S_{2 ili kupata jumla ya eneo la takwimu:}

S=S_os+ S₂=3√3a^{2+ 6ab=3a(√3a + 2b).}

Kiasi cha prism

Baada ya fomula yaeneo la msingi wa hexagonal, kuhesabu kiasi kilichomo kwenye prism inayohusika ni rahisi kama pears za shelling. Ili kufanya hivyo, unahitaji tu kuzidisha eneo la msingi wa mfupa (hexagon) kwa urefu wa takwimu, urefu ambao ni sawa na urefu wa makali ya upande. Tunapata fomula:

V=S₆b=3√3/2a^2b.

Kumbuka kwamba bidhaa ya msingi na urefu hutoa thamani ya ujazo wa mche wowote kabisa, ikijumuisha ile ya oblique. Hata hivyo, katika kesi ya mwisho, hesabu ya urefu ni ngumu, kwani haitakuwa sawa na urefu wa ubavu wa upande. Kama ilivyo kwa prism ya kawaida ya hexagonal, thamani ya ujazo wake ni kazi ya vigeu viwili: pande a na b.