Maendeleo ya mwanadamu yanatokana kwa kiasi kikubwa na uvumbuzi uliofanywa na fikra. Mmoja wao ni Blaise Pascal. Wasifu wake wa ubunifu kwa mara nyingine tena unathibitisha ukweli wa usemi wa Simba Feuchtwanger "Mtu mwenye talanta, mwenye talanta katika kila kitu." Mafanikio yote ya kisayansi ya mwanasayansi huyu mkuu ni ngumu kuhesabu. Miongoni mwao ni moja ya uvumbuzi wa kifahari zaidi katika ulimwengu wa hisabati - pembetatu ya Pascal.
Maneno machache kuhusu fikra
Blaise Pascal alifariki mapema kulingana na viwango vya kisasa, akiwa na umri wa miaka 39. Walakini, katika maisha yake mafupi alijitofautisha kama mwanafizikia bora, mwanahisabati, mwanafalsafa na mwandishi. Wazao wenye shukrani walitaja kitengo cha shinikizo na lugha maarufu ya programu Pascal kwa heshima yake. Imetumika kwa karibu miaka 60 kufundisha jinsi ya kuandika misimbo mbalimbali. Kwa mfano, kwa msaada wake, kila mwanafunzi anaweza kuandika mpango wa kuhesabu eneo la pembetatu huko Pascal, na pia kuchunguza mali ya mzunguko.ambayo itajadiliwa hapa chini.
Shughuli ya mwanasayansi huyu mwenye mawazo ya ajabu ajabu huhusisha nyanja mbalimbali za sayansi. Hasa, Blaise Pascal ni mmoja wa waanzilishi wa hidrostatics, uchambuzi wa hisabati, baadhi ya maeneo ya jiometri na nadharia ya uwezekano. Pia, yeye:
- iliunda kikokotoo cha mitambo kinachojulikana kama gurudumu la Pascal;
- imetoa ushahidi wa majaribio kwamba hewa ina unyumbufu na uzito;
- imethibitisha kuwa kipima kipimo kinaweza kutumika kutabiri hali ya hewa;
- alivumbua toroli;
- aligundua basi kubwa - magari ya kukokotwa na farasi yenye njia zisizobadilika, ambayo baadaye ikawa aina ya kwanza ya usafiri wa umma wa kawaida, n.k.
Pascal's Arithmetic Triangle
Kama ilivyotajwa tayari, mwanasayansi huyu nguli wa Ufaransa alitoa mchango mkubwa kwa sayansi ya hisabati. Mojawapo ya kazi bora kabisa za kisayansi ni "Tiba kwenye Pembetatu ya Hesabu", ambayo inajumuisha coefficients ya binomial iliyopangwa kwa mpangilio fulani. Sifa za mpango huu zinashangaza katika utofauti wao, na yenyewe inathibitisha methali "Kila kitu cha busara ni rahisi!"
Historia kidogo
Ili kuwa sawa, ni lazima isemwe kwamba kwa kweli pembetatu ya Pascal ilijulikana Ulaya mapema mwanzoni mwa karne ya 16. Hasa, picha yake inaweza kuonekana kwenye jalada la kitabu cha hesabu na mwanaanga maarufu Peter Apian kutoka Chuo Kikuu cha Ingolstadt. Pembetatu inayofanana pia inaonyeshwa kama kielelezo.katika kitabu cha mwanahisabati wa China Yang Hui, kilichochapishwa mwaka wa 1303. Mshairi na mwanafalsafa wa Kiajemi Omar Khayyam pia alifahamu sifa zake mwanzoni mwa karne ya 12. Isitoshe, inaaminika kwamba alikutana naye kutoka katika risala za wanasayansi wa Kiarabu na Kihindi zilizoandikwa hapo awali.
Maelezo
Kabla ya kuchunguza sifa zinazovutia zaidi za pembetatu ya Pascal, nzuri katika ukamilifu na usahili wake, inafaa kujua ni nini.
Kwa kusema kisayansi, mpangilio huu wa nambari ni jedwali lisilo na kikomo la pembetatu linaloundwa kutoka kwa vigawo viwili vilivyopangwa kwa mpangilio fulani. Juu yake na pande ni nambari 1. Nafasi zilizobaki zinachukuliwa na nambari sawa na jumla ya nambari mbili ziko juu yao karibu na kila mmoja. Zaidi ya hayo, mistari yote ya pembetatu ya Pascal ina ulinganifu kuhusu mhimili wake wima.
Sifa za Msingi
Pembetatu ya Pascal inagonga kwa ukamilifu wake. Kwa laini yoyote iliyo na nambari n (n=0, 1, 2…) kweli:
- nambari ya kwanza na ya mwisho ni 1;
- ya pili na ya mwisho - n;
- nambari ya tatu ni sawa na nambari ya pembetatu (idadi ya miduara inayoweza kupangwa katika pembetatu ya usawa, yaani 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Nambari ya nne ni tetrahedral, yaani ni piramidi yenye pembetatu chini.
Kwa kuongezea, hivi majuzi, mnamo 1972, mali nyingine ya pembetatu ya Pascal ilianzishwa. Ili kwa ajili yakeili kujua, unahitaji kuandika vipengele vya mpango huu kwa namna ya meza na mabadiliko ya safu na nafasi 2. Kisha kumbuka nambari zinazoweza kugawanywa kwa nambari ya mstari. Inabadilika kuwa nambari ya safu wima ambayo nambari zote zimeangaziwa ni nambari kuu.
Ujanja sawa unaweza kufanywa kwa njia nyingine. Ili kufanya hivyo, katika pembetatu ya Pascal, nambari hubadilishwa na mabaki ya mgawanyiko wao na nambari ya safu kwenye jedwali. Kisha mistari hupangwa katika pembetatu inayosababisha ili inayofuata ianze nguzo 2 kwenda kulia kutoka kwa kipengele cha kwanza cha uliopita. Kisha safu wima zilizo na nambari ambazo ni nambari kuu zitakuwa na sufuri pekee, na zile zilizo na nambari mchanganyiko zitakuwa na angalau sifuri moja.
Muunganisho na binomial ya Newton
Kama unavyojua, hili ndilo jina la fomula ya upanuzi katika masharti ya nguvu kamili isiyo hasi ya jumla ya vigeu viwili, ambayo inaonekana kama:
Vigawo vilivyomo ndani yake ni sawa na C m =n! / (m! (n - m)!), ambapo m ni nambari ya ordinal katika safu n ya pembetatu ya Pascal. Kwa maneno mengine, kuwa na jedwali hili karibu, unaweza kuinua nambari zozote kwa nguvu kwa urahisi, ukiwa umezitenganisha kwa maneno mawili.
Hivyo, pembetatu ya Pascal na binomial ya Newton zinahusiana kwa karibu.
Maajabu ya Hisabati
Uchunguzi wa karibu wa pembetatu ya Pascal unaonyesha kuwa:
- jumla ya nambari zote kwenye mstari nanambari ya serial n (kuhesabu kutoka 0) ni 2;
- ikiwa mistari imeachwa ikiwa imepangiliwa, basi jumla ya nambari ambazo ziko kando ya diagonal ya pembetatu ya Pascal, kutoka chini kwenda juu na kutoka kushoto kwenda kulia, ni sawa na nambari za Fibonacci;
- "diagonal" ya kwanza ina nambari asilia kwa mpangilio;
- kipengee chochote kutoka kwa pembetatu ya Pascal, ikipunguzwa kwa moja, ni sawa na jumla ya nambari zote zilizo ndani ya msambamba, ambao huzuiliwa na diagonal za kushoto na kulia zinazokatiza kwenye nambari hii;
- katika kila mstari wa mchoro, jumla ya nambari katika sehemu zilizo sawa ni sawa na jumla ya vipengele katika maeneo yasiyo ya kawaida.
Sierpinski Triangle
Mfumo wa hisabati unaovutia kama huu, unaotia matumaini kabisa katika suala la kutatua matatizo changamano, hupatikana kwa kuchorea nambari sawa za picha ya Pascal katika rangi moja, na nambari zisizo za kawaida katika nyingine.
Pembetatu ya Sierpinski inaweza kujengwa kwa njia nyingine:
- katika mpango wa Pascal wenye kivuli, pembetatu ya kati inapakwa rangi upya kwa rangi tofauti, ambayo inaundwa kwa kuunganisha ncha za kati za pande za ile ya asili;
- fanya vivyo hivyo na tatu ambazo hazijapakwa rangi ziko kwenye kona;
- ikiwa utaratibu utaendelea kwa muda usiojulikana, basi matokeo yanapaswa kuwa kielelezo cha rangi mbili.
Sifa inayovutia zaidi ya pembetatu ya Sierpinski ni kufanana kwake, kwa kuwa ina nakala zake 3, ambazo zimepunguzwa mara 2. Inaturuhusu kuhusisha mpango huu na mikunjo iliyovunjika, na wao, kama inavyoonyeshwa na mpya zaidiutafiti unafaa zaidi kwa uundaji wa hisabati wa mawingu, mimea, delta za mito, na ulimwengu wenyewe.
Kazi kadhaa za kuvutia
Pembetatu ya Pascal inatumika wapi? Mifano ya kazi ambazo zinaweza kutatuliwa kwa msaada wake ni tofauti kabisa na ni za nyanja mbalimbali za sayansi. Hebu tuangalie baadhi ya zile zinazovutia zaidi.
Tatizo 1. Baadhi ya jiji kubwa lililozungukwa na ukuta wa ngome lina lango moja tu la kuingilia. Katika makutano ya kwanza, barabara kuu inagawanyika katika sehemu mbili. Vile vile hufanyika kwa nyingine yoyote. Watu 210 wanaingia mjini. Katika kila makutano wanayokutana, wamegawanywa kwa nusu. Ni watu wangapi watapatikana kwenye kila makutano wakati haitawezekana kushirikiwa tena. Jibu lake ni mstari wa 10 wa pembetatu ya Pascal (fomula ya mgawo imewasilishwa hapo juu), ambapo nambari 210 ziko pande zote za mhimili wima.
Jukumu la 2. Kuna majina 7 ya rangi. Unahitaji kufanya bouque ya maua 3. Inahitajika kujua ni kwa njia ngapi tofauti hii inaweza kufanywa. Tatizo hili ni kutoka kwa uwanja wa combinatorics. Ili kuitatua, tunatumia tena pembetatu ya Pascal na kufika kwenye mstari wa 7 katika nafasi ya tatu (nambari katika visa vyote viwili kutoka 0) nambari 35.
Sasa unajua kile mwanafalsafa na mwanasayansi mashuhuri wa Ufaransa Blaise Pascal alibuni. Pembetatu yake maarufu, ikitumiwa kwa usahihi, inaweza kuwa kiokoa maisha halisi kwa kutatua shida nyingi, haswa kutoka kwa shambacombinatorics. Kwa kuongeza, inaweza kutumika kutatua mafumbo mengi yanayohusiana na fractals.
