Matrices: Mbinu ya Gauss. Hesabu ya Matrix ya Gauss: Mifano

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Linear algebra, ambayo hufundishwa katika vyuo vikuu katika taaluma mbalimbali, huchanganya mada nyingi changamano. Baadhi yao yanahusiana na matrices, na pia kwa ufumbuzi wa mifumo ya equations linear na Gauss na Gauss-Jordan mbinu. Sio wanafunzi wote wanaoweza kuelewa mada hizi, kanuni za kutatua matatizo mbalimbali. Hebu tuelewe pamoja matrices na mbinu za Gauss na Gauss-Jordan.

Dhana za kimsingi

Matrix katika aljebra ya mstari ni safu ya vipengele vya mstatili (jedwali). Ifuatayo ni seti za vipengele vilivyofungwa kwenye mabano. Hizi ni matrices. Kutoka kwa mfano hapo juu, inaweza kuonekana kwamba vipengele katika safu za mstatili sio nambari tu. Matrix inaweza kuwa na utendaji wa hisabati, alama za aljebra.

Ili kuelewa baadhi ya dhana, hebu tutengeneze matrix A kutoka kwa vipengele a_ij. Faharisi sio herufi tu: mimi ni nambari ya safu kwenye jedwali, na j ni nambari ya safu, katika eneo la makutano ambayo kitu hicho iko.a_ij. Kwa hivyo, tunaona kwamba tuna mkusanyiko wa vipengele kama vile₁₁, a₂₁, a₁₂, a ₂₂ na kadhalika. Herufi n inaashiria idadi ya safu wima, na herufi m inaashiria idadi ya safu mlalo. Alama ya m × n inaashiria ukubwa wa tumbo. Hili ndilo wazo linalofafanua idadi ya safu mlalo na safu wima katika safu ya mstatili ya vipengele.

Kwa hiari, tumbo lazima liwe na safu wima na safu mlalo kadhaa. Kwa mwelekeo wa 1 × n, safu ya vipengele ni safu moja, na kwa mwelekeo wa m × 1, ni safu ya safu moja. Wakati idadi ya safu na idadi ya safu ni sawa, matrix inaitwa mraba. Kila matrix ya mraba ina kiashiria (det A). Neno hili linarejelea nambari ambayo imetolewa kwa matrix A.

Dhana chache muhimu zaidi za kukumbuka ili kusuluhisha matrices ni viambatisho kuu na vya upili. Ulalo kuu wa matrix ni diagonal ambayo inashuka hadi kona ya kulia ya meza kutoka kona ya juu kushoto. Ulalo wa upande unaenda kwenye kona ya kulia juu kutoka kona ya kushoto kutoka chini.

Mwonekano wa hatua ya tumbo

Angalia picha hapa chini. Juu yake utaona matrix na mchoro. Wacha tushughulike na matrix kwanza. Katika aljebra ya mstari, matrix ya aina hii inaitwa matrix ya hatua. Ina sifa moja: ikiwa a_ij ni kipengele cha kwanza kisicho sifuri katika safu mlalo ya i-th, basi vipengele vingine vyote kutoka kwenye tumbo lililo hapa chini na upande wa kushoto wa a_ij. , ni batili (yaani, vipengele hivyo vyote vinavyoweza kupewa jina la herufi a_kl, ambapo k>i nal<j).

Sasa zingatia mchoro. Inaonyesha fomu iliyopigwa ya matrix. Mpango unaonyesha aina 3 za seli. Kila aina inaashiria vipengele fulani:

• seli tupu - vipengele sifuri vya tumbo;
• seli zenye kivuli ni vipengele vya kiholela ambavyo vinaweza kuwa sifuri na si sifuri;
• miraba meusi ni vipengee visivyo sifuri, ambavyo huitwa vipengele vya kona, "hatua" (katika matrix iliyoonyeshwa kando yao, vipengele kama hivyo ni nambari -1, 5, 3, 8).

Wakati wa kutatua matrices, wakati mwingine matokeo ni kwamba "urefu" wa hatua ni mkubwa kuliko 1. Hii inaruhusiwa. Ni "urefu" tu wa hatua muhimu. Katika matrix ya hatua, kigezo hiki lazima kiwe sawa na moja kila wakati.

Kupunguzwa kwa tumbo kwa fomu ya hatua

Tumbo lolote la mstatili linaweza kubadilishwa kuwa fomu ya kupitiwa. Hii inafanywa kupitia mabadiliko ya kimsingi. Zinajumuisha:

• kupanga upya mifuatano;
• Kuongeza laini nyingine kwenye mstari mmoja, ikihitajika kuzidishwa na nambari fulani (unaweza pia kufanya operesheni ya kutoa).

Hebu tuzingatie mabadiliko ya kimsingi katika kutatua tatizo mahususi. Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha matrix A, ambayo inahitaji kupunguzwa hadi fomu ya hatua.

Ili kutatua tatizo, tutafuata kanuni:

• Inafaa kufanya mabadiliko kwenye matrix kwa kutumiakipengele cha kwanza kwenye kona ya juu kushoto (yaani, kipengele "kinachoongoza") ni 1 au -1. Kwa upande wetu, kipengele cha kwanza katika safu mlalo ya juu ni 2, kwa hivyo tubadilishane safu mlalo ya kwanza na ya pili.
• Hebu tufanye shughuli za kutoa, zinazoathiri safu mlalo 2, 3 na 4. Tunapaswa kupata sufuri katika safu wima ya kwanza chini ya kipengele cha "kinachoongoza". Ili kufikia matokeo haya: kutoka kwa vipengele vya mstari wa 2, tunaondoa sequentially vipengele vya mstari wa 1, kuongezeka kwa 2; kutoka kwa vipengele vya mstari wa 3 tunaondoa sequentially vipengele vya mstari wa 1, kuzidishwa na 4; kutoka kwa vipengele vya mstari wa 4 tunaondoa vipengele vya mstari wa 1.
• Inayofuata, tutafanya kazi na matrix iliyopunguzwa (bila safu wima 1 na bila safu 1). Kipengele kipya "kinachoongoza", kilichosimama kwenye makutano ya safu ya pili na safu ya pili, ni sawa na -1. Hakuna haja ya kupanga upya mistari, kwa hiyo tunaandika upya safu ya kwanza na safu ya kwanza na ya pili bila mabadiliko. Hebu tufanye shughuli za kutoa ili kupata zero kwenye safu ya pili chini ya kipengele cha "kuongoza": kutoka kwa vipengele vya mstari wa tatu tunaondoa sequentially vipengele vya mstari wa pili, kuzidishwa na 3; toa vipengele vya mstari wa pili vilivyozidishwa na 2 kutoka kwa vipengele vya mstari wa nne.
• Inasalia kubadilisha mstari wa mwisho. Kutoka kwa vipengele vyake tunaondoa mfululizo vipengele vya safu ya tatu. Kwa hivyo, tulipata matrix ya hatua.

Kupunguza matrices hadi fomu ya hatua hutumika katika kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari (SLE) kwa mbinu ya Gauss. Kabla ya kuangalia mbinu hii, hebu tuelewe baadhi ya masharti yanayohusiana na SLN.

Matrices na mifumo ya milinganyo ya mstari

Matrices hutumika katika sayansi mbalimbali. Kwa kutumia jedwali la nambari, unaweza, kwa mfano, kutatua milinganyo ya mstari iliyojumuishwa kwenye mfumo kwa kutumia njia ya Gauss. Kwanza, hebu tufahamiane na istilahi chache na ufafanuzi wake, na pia tuone jinsi matrix inavyoundwa kutoka kwa mfumo unaochanganya milinganyo kadhaa ya mstari.

SLU – milinganyo kadhaa ya aljebra iliyojumuishwa na nguvu za kwanza zisizojulikana na hakuna masharti ya bidhaa.

Suluhisho la SLE - lilipata thamani za zisizojulikana, na kuchukua nafasi ya ambayo milinganyo katika mfumo inakuwa vitambulisho.

SLE ya pamoja ni mfumo wa milinganyo ambao una angalau suluhu moja.

SLE Isiyolingana ni mfumo wa milinganyo ambao hauna suluhu.

Je, matrix huundwa vipi kulingana na mfumo unaochanganya milinganyo ya mstari? Kuna dhana kama vile matrices kuu na kupanuliwa ya mfumo. Ili kupata matrix kuu ya mfumo, ni muhimu kuweka katika meza coefficients zote kwa haijulikani. Matrix iliyopanuliwa hupatikana kwa kuongeza safu ya maneno ya bure kwenye matrix kuu (inajumuisha vitu vinavyojulikana ambavyo kila equation kwenye mfumo inalinganishwa). Unaweza kuelewa mchakato huu mzima kwa kusoma picha hapa chini.

Kitu cha kwanza tunachoona kwenye picha ni mfumo unaojumuisha milinganyo ya mstari. Vipengee vyake: a_ij – vigawo vya nambari, x_j - thamani zisizojulikana, b_i - maneno yasiyobadilika (ambapo i=1, 2, …, m, na j=1, 2, …, n). Kipengele cha pili kwenye picha ni matrix kuu ya coefficients. Kutoka kwa kila equation, coefficients imeandikwa mfululizo. Kama matokeo, kuna safu nyingi kwenye matrix kama kuna hesabu kwenye mfumo. Idadi ya safu wima ni sawa na idadi kubwa zaidi ya mgawo katika mlinganyo wowote. Kipengele cha tatu kwenye picha ni matrix iliyoimarishwa na safu wima ya maneno bila malipo.

Maelezo ya jumla kuhusu mbinu ya Gauss

Katika aljebra ya mstari, mbinu ya Gauss ndiyo njia ya kitambo ya kutatua SLE. Ina jina la Carl Friedrich Gauss, aliyeishi katika karne ya 18-19. Huyu ni mmoja wa wanahisabati wakubwa wa wakati wote. Kiini cha mbinu ya Gauss ni kufanya mabadiliko ya kimsingi kwenye mfumo wa milinganyo ya aljebra ya mstari. Kwa usaidizi wa mabadiliko, SLE inapunguzwa kwa mfumo sawa wa fomu ya triangular (iliyopigwa hatua), ambayo vigezo vyote vinaweza kupatikana.

Inafaa kukumbuka kuwa Carl Friedrich Gauss si mgunduzi wa mbinu ya kitamaduni ya kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari. Mbinu hiyo iligunduliwa mapema zaidi. Maelezo yake ya kwanza yanapatikana katika ensaiklopidia ya maarifa ya wanahisabati wa kale wa Kichina, inayoitwa "Hisabati katika vitabu 9".

Mfano wa kutatua SLE kwa mbinu ya Gauss

Hebu tuzingatie suluhisho la mifumo kwa mbinu ya Gauss kwenye mfano mahususi. Tutafanya kazi na SLU iliyoonyeshwa kwenye picha.

Algorithm ya utatuzi:

1. Tutapunguza mfumo kuwa hatua kwa kusogeza moja kwa moja kwa mbinu ya Gauss, lakini kwanzatutaunda mkusanyiko uliopanuliwa wa vigawo vya nambari na washiriki bila malipo.
2. Ili kutatua matrix kwa kutumia mbinu ya Gaussian (yaani kuileta kwa umbo la kupitiwa), kutoka kwa vipengee vya safu mlalo ya pili na ya tatu, tunatoa vipengele vya safu mlalo ya kwanza kwa mfuatano. Tunapata zero kwenye safu ya kwanza chini ya kipengele cha "kuongoza". Ifuatayo, tutabadilisha mistari ya pili na ya tatu katika maeneo kwa urahisi. Kwa vipengele vya safu mlalo ya mwisho, ongeza kwa kufuatana vipengele vya safu mlalo ya pili, ikizidishwa na 3.
3. Kutokana na kukokotoa matrix kwa mbinu ya Gauss, tulipata safu ya vipengee vilivyo hatua kwa hatua. Kwa msingi wake, tutaunda mfumo mpya wa milinganyo ya mstari. Kwa mwendo wa nyuma wa njia ya Gauss, tunapata maadili ya maneno yasiyojulikana. Inaweza kuonekana kutoka kwa mlingano wa mstari wa mwisho kuwa x₃ ni sawa na 1. Tunabadilisha thamani hii kwenye safu ya pili ya mfumo. Unapata mlingano x₂ – 4=–4. Inafuata kwamba x₂ ni sawa na 0. Badilisha x₂ na x₃ kwenye mlingano wa kwanza wa mfumo: x1 _{+ 0 +3=2. Neno lisilojulikana ni -1.}

Jibu: kwa kutumia matrix, mbinu ya Gaussian, tulipata thamani za zisizojulikana; x₁ =–1, x₂=0, x₃=1.

mbinu ya Gauss-Jordan

Katika aljebra ya mstari pia kuna kitu kama mbinu ya Gauss-Jordan. Inachukuliwa kuwa ni urekebishaji wa mbinu ya Gaussian na hutumiwa kupata matriki kinyume, kukokotoa masharti yasiyojulikana ya mifumo ya mraba ya milinganyo ya mstari wa aljebra. Njia ya Gauss-Jordan ni rahisi kwa kuwa inaruhusu kutatua SLE kwa hatua moja (bila matumizi ya moja kwa moja na kinyume.inasonga).

Hebu tuanze na neno "inverse matrix". Tuseme tuna matrix A. Kinyume chake kitakuwa tumbo A^-1, ilhali sharti lazima litimizwe: A × A^-1=A -1 ^{× A=E, i.e. bidhaa ya matrices haya ni sawa na matrix ya utambulisho (vipengele vya diagonal kuu ya matrix ya utambulisho ni moja, na vipengele vilivyobaki ni sifuri).}

Kiini muhimu: katika aljebra ya mstari kuna nadharia juu ya kuwepo kwa matrix kinyume. Hali ya kutosha na ya lazima kwa kuwepo kwa matrix A^-1 ni kwamba matrix A haina umoja.

Hatua za msingi ambazo mbinu ya Gauss-Jordan inategemea:

1. Angalia safu mlalo ya kwanza ya matrix mahususi. Njia ya Gauss-Jordan inaweza kuanza ikiwa thamani ya kwanza si sawa na sifuri. Ikiwa nafasi ya kwanza ni 0, basi ubadilishane safu mlalo ili kipengele cha kwanza kiwe na thamani isiyo ya sifuri (inafaa kuwa nambari iko karibu na moja).
2. Gawa vipengele vyote vya safu mlalo ya kwanza kwa nambari ya kwanza. Utaishia na mfuatano unaoanza na mmoja.
3. Kutoka kwa mstari wa pili, toa mstari wa kwanza uliozidishwa na kipengele cha kwanza cha mstari wa pili, yaani, mwishoni utapata mstari unaoanza kutoka sifuri. Fanya vivyo hivyo kwa mistari iliyobaki. Gawanya kila mstari kwa kipengele chake cha kwanza kisicho sifuri ili kupata 1 kwa mshazari.
4. Kwa sababu hiyo, utapata matrix ya pembetatu ya juu kwa kutumia mbinu ya Gauss - Jordan. Ndani yake, diagonal kuu inawakilishwa na vitengo. Kona ya chini imejaa zero, nakona ya juu - thamani mbalimbali.
5. Kutoka kwa mstari wa mwisho, toa mstari wa mwisho unaorudishwa na mgawo unaohitajika. Unapaswa kupata kamba na sifuri na moja. Kwa mistari iliyobaki, rudia kitendo sawa. Baada ya mabadiliko yote, matrix ya utambulisho itapatikana.

Mfano wa kutafuta matrix kinyume kwa kutumia mbinu ya Gauss-Jordan

Ili kukokotoa matrix ya kinyume, unahitaji kuandika matrix iliyoongezwa A|E na ufanye mabadiliko yanayohitajika. Hebu tuchunguze mfano rahisi. Kielelezo hapa chini kinaonyesha matrix A.

Suluhisho:

1. Kwanza, tutafute kibainishi cha matrix kwa kutumia mbinu ya Gaussian (det A). Ikiwa parameter hii si sawa na sifuri, basi matrix itazingatiwa isiyo ya umoja. Hii itaturuhusu kuhitimisha kuwa A hakika ina A^-1. Ili kukokotoa kiambishi, tunabadilisha matrix kuwa fomu ya hatua kwa mabadiliko ya kimsingi. Wacha tuhesabu nambari K sawa na idadi ya vibali vya safu. Tulibadilisha mistari mara 1 tu. Wacha tuhesabu kiashiria. Thamani yake itakuwa sawa na bidhaa ya vipengele vya diagonal kuu, ikizidishwa na (–1)^K. Matokeo ya hesabu: det A=2.
2. Tunga matrix iliyoimarishwa kwa kuongeza matrix ya utambulisho kwenye mkusanyiko asilia. Mfululizo utakaotokana wa vipengele utatumika kupata matriki kinyume kwa mbinu ya Gauss-Jordan.
3. Kipengele cha kwanza katika safu mlalo ya kwanza ni sawa na kimoja. Hii inatufaa, kwa sababu hakuna haja ya kupanga upya mistari na kugawanya mstari uliopewa kwa nambari fulani. Hebu tuanze kufanya kazina mstari wa pili na wa tatu. Ili kugeuza kipengele cha kwanza katika safu mlalo ya pili kuwa 0, toa safu mlalo ya kwanza iliyozidishwa na 3 kutoka safu mlalo ya pili. Ondoa safu mlalo ya kwanza kutoka safu mlalo ya tatu (hakuna kuzidisha kunahitajika).
4. Katika mkusanyiko unaotokana, kipengele cha pili cha safu mlalo ya pili ni -4, na kipengele cha pili cha safu mlalo ya tatu ni -1. Wacha tubadilishane mistari kwa urahisi. Kutoka safu ya tatu toa safu ya pili iliyozidishwa na 4. Gawa safu ya pili kwa -1 na safu ya tatu na 2. Tunapata matrix ya pembetatu ya juu.
5. Hebu tutoe mstari wa mwisho uliozidishwa na 4 kutoka mstari wa pili, na mstari wa mwisho ukizidishwa na 5 kutoka mstari wa kwanza. Kisha, toa mstari wa pili uliozidishwa na 2 kutoka mstari wa kwanza. Upande wa kushoto tulipata matrix ya utambulisho. Upande wa kulia ni matrix inverse.

Mfano wa kutatua SLE kwa mbinu ya Gauss-Jordan

Kielelezo kinaonyesha mfumo wa milinganyo ya mstari. Inahitajika kupata thamani za vigeu visivyojulikana kwa kutumia matrix, mbinu ya Gauss-Jordan.

Suluhisho:

1. Hebu tuunde matrix iliyoimarishwa. Ili kufanya hivyo, tutaweka hesabu na masharti yasiyolipishwa kwenye jedwali.
2. Tatua matrix kwa kutumia mbinu ya Gauss-Jordan. Kutoka kwa mstari wa 2 tunaondoa mstari wa 1. Kutoka kwa mstari wa 3 tunaondoa mstari wa 1, hapo awali ulizidishwa na 2.
3. Badilisha safu mlalo 2 na 3.
4. Kutoka kwa mstari 3 toa mstari 2 ukizidishwa na 2. Gawanya mstari wa tatu unaotokana na -1.
5. Ondoa mstari wa 3 kutoka mstari wa 2.
6. Ondoa mstari 1 kutoka mstari wa 1Mara 2 -1. Kwa upande, tulipata safu inayojumuisha nambari 0, 1 na -1. Kutokana na hili tunahitimisha kwamba x₁=0, x₂=1 na x₃ =-1.

Ukipenda, unaweza kuangalia usahihi wa suluhu kwa kubadilisha thamani zilizokokotwa kwenye milinganyo:

• 0 – 1=–1, kitambulisho cha kwanza kutoka kwa mfumo ni sahihi;
• 0 + 1 + (–1)=0, kitambulisho cha pili kutoka kwa mfumo ni sahihi;
• 0 – 1 + (–1)=–2, kitambulisho cha tatu kutoka kwa mfumo ni sahihi.

Hitimisho: kwa kutumia mbinu ya Gauss-Jordan, tumepata suluhu sahihi kwa mfumo wa quadratic unaochanganya milinganyo ya aljebra ya mstari.

Vikokotoo vya mtandaoni

Maisha ya vijana wa leo wanaosoma katika vyuo vikuu na kusoma aljebra ya mstari yamerahisishwa sana. Miaka michache iliyopita, ilitubidi kutafuta suluhu kwa mifumo inayotumia njia ya Gauss na Gauss-Jordan peke yetu. Wanafunzi wengine walifanikiwa kukabiliana na kazi hizo, wakati wengine walichanganyikiwa katika suluhisho, walifanya makosa, wakauliza wanafunzi wenzao msaada. Leo, unaweza kutumia vikokotoo vya mtandaoni unapofanya kazi za nyumbani. Ili kutatua mifumo ya milinganyo ya mstari, tafuta hesabu kinyume, programu zimeandikwa ambazo hazionyeshi tu majibu sahihi, lakini pia zinaonyesha maendeleo ya kutatua tatizo fulani.

Kuna nyenzo nyingi kwenye Mtandao zilizo na vikokotoo vilivyojengewa ndani mtandaoni. Matrices ya Gaussian, mifumo ya equations hutatuliwa na programu hizi kwa sekunde chache. Wanafunzi wanahitaji tu kutaja vigezo vinavyohitajika (kwa mfano, idadi ya milinganyo,idadi ya vigezo).