Hesabu ni nini? Ubinadamu ulianza lini kutumia nambari na kufanya kazi nazo? Mizizi ya dhana za kila siku kama nambari, sehemu, kutoa, kuongeza na kuzidisha, ambayo mtu amefanya sehemu isiyoweza kutenganishwa ya maisha yake na mtazamo wa ulimwengu, huenda wapi? Waakili wa Ugiriki wa kale walistaajabia sayansi kama vile hisabati, hesabu na jiometri kama simfoni nzuri zaidi za mantiki ya binadamu.
Labda hesabu si ya kina kama sayansi zingine, lakini nini kingetokea kwao ikiwa mtu atasahau jedwali la msingi la kuzidisha? Mawazo ya kimantiki kwetu, kwa kutumia nambari, sehemu na zana zingine, haikuwa rahisi kwa watu na kwa muda mrefu haikuweza kufikiwa na babu zetu. Kwa hakika, kabla ya kuanzishwa kwa hesabu, hakuna eneo lolote la maarifa ya binadamu lililokuwa la kisayansi kweli.
Hesabu ni ABC ya hisabati
Hesabu ni sayansi ya nambari, ambayo mtu yeyote huanza kufahamu ulimwengu unaovutia wa hisabati. Kama M. V. Lomonosov alisema, hesabu ni lango la kujifunza, linalofungua njia ya ujuzi wa ulimwengu kwa ajili yetu. Lakini yuko sahihiUjuzi wa ulimwengu unaweza kutenganishwa na maarifa ya nambari na herufi, hisabati na hotuba? Labda katika siku za zamani, lakini sio katika ulimwengu wa kisasa, ambapo maendeleo ya haraka ya sayansi na teknolojia yanaamuru sheria zake.
Neno "arithmetic" (kwa Kigiriki "arithmos") la asili ya Kigiriki, linamaanisha "idadi". Anasoma nambari na kila kitu kinachoweza kuunganishwa nao. Huu ndio ulimwengu wa nambari: shughuli mbalimbali kwenye nambari, kanuni za nambari, kutatua matatizo ambayo yanahusiana na kuzidisha, kutoa, n.k.
Inakubalika kwa ujumla kuwa hesabu ni hatua ya awali ya hisabati na msingi thabiti wa sehemu zake ngumu zaidi, kama vile aljebra, uchanganuzi wa hisabati, hisabati ya juu, n.k.
Lengo kuu la hesabu
Msingi wa hesabu ni nambari kamili, sifa na mifumo ambayo huzingatiwa katika hesabu ya juu au nadharia ya nambari. Kwa kweli, nguvu ya jengo zima - hisabati - inategemea jinsi njia sahihi inavyochukuliwa katika kuzingatia kizuizi kidogo kama nambari asilia.
Kwa hivyo, swali la hesabu ni nini linaweza kujibiwa kwa urahisi: ni sayansi ya nambari. Ndiyo, kuhusu saba, tisa na jumuiya hii yote tofauti. Na kama vile huwezi kuandika mashairi mazuri au ya wastani zaidi bila alfabeti ya kimsingi, huwezi kutatua hata shida ya kimsingi bila hesabu. Ndio maana sayansi zote zilisonga mbele baada tu ya ukuzaji wa hesabu na hisabati, kabla ya hapo kuwa ni mkusanyiko tu wa mawazo.
Hesabu ni sayansi ya mzuka
Hesabu ni nini - sayansi asilia au phantom? Kwa kweli, kama wanafalsafa wa kale wa Kigiriki walivyobishana, hakuna nambari wala takwimu zinazopatikana katika ukweli. Huu ni mzuka tu ambao umeundwa katika fikra za mwanadamu wakati wa kuzingatia mazingira na michakato yake. Kweli, nambari ni nini? Hakuna mahali popote tunapoona kitu kama hicho ambacho kinaweza kuitwa nambari, badala yake, nambari ni njia ya akili ya mwanadamu kusoma ulimwengu. Au labda ni kujisomea sisi wenyewe kutoka ndani? Wanafalsafa wamekuwa wakibishana juu ya hili kwa karne nyingi mfululizo, kwa hivyo hatujitolea kutoa jibu kamili. Kwa njia moja au nyingine, hesabu imeweza kuchukua nafasi yake kwa uthabiti kiasi kwamba katika ulimwengu wa kisasa hakuna mtu anayeweza kuchukuliwa kuwa amebadilishwa kijamii bila kujua misingi yake.
Nambari asilia ilionekanaje
Bila shaka, kitu kikuu ambacho hesabu hufanyia kazi ni nambari asilia, kama vile 1, 2, 3, 4, …, 152… n.k. Hesabu ya nambari za asili ni matokeo ya kuhesabu vitu vya kawaida, kama vile ng'ombe kwenye meadow. Bado, ufafanuzi wa "mengi" au "kidogo" ulikoma kuwafaa watu, na ilibidi kubuni mbinu za hali ya juu zaidi za kuhesabu.
Lakini mafanikio ya kweli yalitokea wakati mawazo ya mwanadamu yalipofikia hatua kwamba inawezekana kuteua kilo 2, na matofali 2, na sehemu 2 zenye nambari sawa "mbili". Ukweli ni kwamba unahitaji kujiondoa kutoka kwa fomu, mali na maana ya vitu, basi unaweza kufanya baadhi ya vitendo na vitu hivi kwa namna ya nambari za asili. Hivyo ilizaliwa hesabu ya idadi, ambayokukuzwa zaidi na kupanuliwa, kushika nyadhifa kubwa zaidi katika maisha ya jamii.
Dhana za kina kama hizi za nambari kama nambari sifuri na hasi, sehemu, uteuzi wa nambari kwa nambari na kwa njia zingine, zina historia tajiri na ya kuvutia ya maendeleo.
Hesabu na Wamisri wa vitendo
Masahaba wawili wakongwe zaidi katika kuvinjari ulimwengu unaotuzunguka na kutatua matatizo ya kila siku ni hesabu na jiometri.
Inaaminika kuwa historia ya hesabu inaanzia Mashariki ya Kale: India, Misri, Babeli na Uchina. Kwa hivyo, papyrus ya Rinda ya asili ya Misri (iliyoitwa hivyo kwa sababu ilikuwa ya mmiliki wa jina moja), iliyoanzia karne ya 20. BC, pamoja na data nyingine muhimu, ina upanuzi wa sehemu moja hadi jumla ya visehemu vilivyo na denomineta tofauti na nambari inayolingana na moja.
Kwa mfano: 2/73=1/60+1/219+1/292+1/365.
Lakini ni nini uhakika wa mtengano changamano kama huu? Ukweli ni kwamba mbinu ya Misri haikuvumilia mawazo ya kufikirika kuhusu namba, kinyume chake, mahesabu yalifanywa kwa madhumuni ya vitendo tu. Hiyo ni, Mmisri atashiriki katika kitu kama mahesabu, kwa mfano, ili kujenga kaburi. Ilikuwa ni lazima kuhesabu urefu wa makali ya muundo, na hii ililazimisha mtu kukaa chini nyuma ya papyrus. Kama unavyoona, maendeleo ya Wamisri katika hesabu yalisababishwa, badala yake, na ujenzi wa watu wengi kuliko upendo kwa sayansi.
Kwa sababu hii, hesabu zinazopatikana kwenye papyri haziwezi kuitwa tafakari juu ya mada ya sehemu. Uwezekano mkubwa zaidi, hii ni maandalizi ya vitendo ambayo yalisaidia katika siku zijazo.kutatua matatizo na sehemu. Wamisri wa kale, ambao hawakujua meza za kuzidisha, walifanya mahesabu ya muda mrefu, yalitengana katika kazi ndogo nyingi. Labda hii ni moja ya kazi ndogo. Ni rahisi kuona kwamba mahesabu na workpieces vile ni ya utumishi sana na unpromiseing. Labda kwa sababu hii hatuoni mchango mkubwa wa Misri ya Kale katika maendeleo ya hisabati.
Ugiriki ya Kale na hesabu za falsafa
Maarifa mengi ya Mashariki ya Kale yalifaulu kumilikiwa na Wagiriki wa kale, wapenzi maarufu wa tafakari za dhahania, dhahania na za kifalsafa. Hawakuwa na nia ya chini ya mazoezi, lakini ni vigumu kupata wananadharia bora na wafikiri. Hii imefaidika na sayansi, kwani haiwezekani kuingia kwenye hesabu bila kuitenganisha na ukweli. Hakika, unaweza kuzidisha ng'ombe 10 na lita 100 za maziwa, lakini hutafika mbali sana.
Wagiriki wenye mawazo ya kina waliacha alama muhimu katika historia, na maandishi yao yametujia:
- Euclid na Elements.
- Pythagoras.
- Archimedes.
- Eratosthenes.
- Zeno.
- Anaxagoras.
Na, kwa kweli, Wagiriki, ambao waligeuza kila kitu kuwa falsafa, na haswa warithi wa kazi ya Pythagoras, walivutiwa sana na nambari hivi kwamba waliwaona kuwa fumbo la maelewano ya ulimwengu. Nambari zimechunguzwa na kutafitiwa kiasi kwamba baadhi yao na jozi zao wamepewa mali maalum. Kwa mfano:
- Nambari kamili ni zile ambazo ni sawa na jumla ya vigawanyiko vyao vyote, isipokuwa nambari yenyewe (6=1+2+3).
- Nambari za kirafiki ni nambari hizo, mojawaponi sawa na jumla ya vigawanyiko vyote vya pili, na kinyume chake (Watu wa Pythagore walijua jozi moja tu kama hiyo: 220 na 284).
Wagiriki, ambao waliamini kwamba sayansi inapaswa kupendwa, na si kuwa nayo kwa ajili ya faida, walipata mafanikio makubwa kwa kuchunguza, kucheza na kuongeza namba. Ikumbukwe kuwa sio utafiti wao wote ulitumika sana, baadhi yao walibaki "kwa urembo" tu.
Wanafikra wa Mashariki wa Enzi za Kati
Vivyo hivyo, katika Enzi za Kati, hesabu inatokana na maendeleo yake kwa watu wa zama za Mashariki. Wahindi walitupa nambari tunazotumia kikamilifu, dhana kama "sifuri", na toleo la kawaida la calculus, linalojulikana kwa mtazamo wa kisasa. Kutoka kwa Al-Kashi, ambaye alifanya kazi huko Samarkand katika karne ya 15, tulirithi sehemu za desimali, ambazo bila hiyo ni vigumu kufikiria hesabu za kisasa.
Kwa njia nyingi, kufahamiana kwa Uropa na mafanikio ya Mashariki kuliwezekana kutokana na kazi ya mwanasayansi wa Italia Leonardo Fibonacci, ambaye aliandika kazi "Kitabu cha Abacus", akianzisha uvumbuzi wa Mashariki. Ikawa msingi wa ukuzaji wa aljebra na hesabu, utafiti na shughuli za kisayansi barani Ulaya.
hesabu za Kirusi
Na, hatimaye, hesabu, ambayo ilipata mahali pake na kuota mizizi huko Uropa, ilianza kuenea katika ardhi ya Urusi. Hesabu ya kwanza ya Kirusi ilichapishwa mnamo 1703 - ilikuwa kitabu kuhusu hesabu na Leonty Magnitsky. Kwa muda mrefu ilibaki kuwa kitabu pekee cha hisabati. Ina wakati wa awali wa algebra na jiometri. Nambari zilizotumiwa katika mifano na kitabu cha kwanza cha hesabu nchini Urusi ni Kiarabu. Ingawa nambari za Kiarabu zimeonekana hapo awali, kwenye michoro ya karne ya 17.
Kitabu chenyewe kimepambwa kwa picha za Archimedes na Pythagoras, na kwenye karatasi ya kwanza - picha ya hesabu kwa namna ya mwanamke. Ameketi juu ya kiti cha enzi, chini yake imeandikwa kwa Kiebrania neno linaloashiria jina la Mungu, na juu ya ngazi zinazoongoza kwenye kiti cha enzi, maneno "mgawanyiko", "kuzidisha", "kuongeza", nk yameandikwa ukweli. ambayo sasa yanachukuliwa kuwa ya kawaida.
Kitabu cha kurasa 600 kinashughulikia mambo ya msingi kama vile majedwali ya kuongeza na kuzidisha na matumizi kwa sayansi ya urambazaji.
Haishangazi kwamba mwandishi alichagua picha za wanafikra wa Kigiriki kwa kitabu chake, kwa sababu yeye mwenyewe alivutiwa na uzuri wa hesabu, akisema: "Hesabu ni nambari, kuna sanaa ya uaminifu, isiyoweza kuepukika …". Mbinu hii ya hesabu ni haki kabisa, kwa sababu ni utangulizi wake ulioenea ambao unaweza kuchukuliwa kuwa mwanzo wa maendeleo ya haraka ya mawazo ya kisayansi nchini Urusi na elimu ya jumla.
Mashindano yasiyo ya kawaida
Nambari kuu ni nambari asilia ambayo ina vigawanyiko 2 pekee: 1 na yenyewe. Nambari zingine zote, isipokuwa 1, zinaitwa composite. Mifano ya nambari kuu: 2, 3, 5, 7, 11, na zingine zote ambazo hazina vigawanyiko isipokuwa 1 na yenyewe.
Ama nambari 1, iko kwenye akaunti maalum - kuna makubaliano kwamba inapaswa kuzingatiwa kuwa sio rahisi au ya mchanganyiko. Rahisi kwa mtazamo wa kwanza, nambari rahisi huficha mafumbo mengi ambayo hayajatatuliwa ndani yenyewe.
Nadharia ya Euclid inasema kwamba kuna idadi isiyo na kikomo ya nambari kuu, na Eratosthenes alivumbua "ungo" maalum wa hesabu ambao huondoa nambari zisizo za kawaida, na kuacha tu nambari rahisi.
Kiini chake ni kupigia mstari nambari ya kwanza isiyokatwa, na hatimaye kubainisha zile ambazo ni zidishi zake. Tunarudia utaratibu huu mara nyingi - na tunapata jedwali la nambari kuu.
Nadharia ya Msingi ya Hesabu
Miongoni mwa uchunguzi kuhusu nambari kuu, nadharia ya kimsingi ya hesabu inapaswa kutajwa kwa njia maalum.
Nadharia ya kimsingi ya hesabu inasema kwamba nambari yoyote kubwa kuliko 1 ni aidha kuu, au inaweza kugawanywa kuwa bidhaa ya nambari kuu hadi mpangilio wa vipengele, na kwa njia ya kipekee.
Nadharia kuu ya hesabu imethibitishwa kuwa ngumu, na kuielewa hakuonekani tena kama misingi rahisi zaidi.
Kwa mtazamo wa kwanza, nambari kuu ni dhana ya msingi, lakini sivyo. Fizikia pia wakati fulani ilizingatia atomi kuwa ya msingi, hadi ikapata ulimwengu wote ndani yake. Hadithi nzuri ya mwanahisabati Don Tzagir "The First Millioni Hamsini" imetolewa kwa nambari kuu.
Kutoka "tufaha tatu" hadi sheria za kukata
Kinachoweza kuitwa msingi ulioimarishwa wa sayansi yote ni sheria za hesabu. Hata katika utoto, kila mtu anakabiliwa na hesabu, akisoma idadi ya miguu na mikono ya dolls,idadi ya cubes, tufaha, n.k. Hivi ndivyo tunavyosoma hesabu, ambayo kisha inaingia katika kanuni ngumu zaidi.
Maisha yetu yote hutufahamisha sheria za hesabu, ambazo zimekuwa muhimu zaidi kwa wanadamu wa kawaida kuliko yote ambayo sayansi hutoa. Utafiti wa nambari ni "arithmetic-baby", ambayo humtambulisha mtu kwenye ulimwengu wa nambari katika mfumo wa nambari katika utoto wa mapema.
Hesabu za juu ni sayansi pungufu ambayo inasoma sheria za hesabu. Tunawajua wengi wao, ingawa huenda hatujui maneno yao hasa.
Sheria ya kuongeza na kuzidisha
Nambari mbili zozote asilia a na b zinaweza kuonyeshwa kama jumla ya a+b, ambayo pia itakuwa nambari asilia. Sheria zifuatazo zinatumika kwa nyongeza:
- Inayobadilika, ambayo inasema kuwa jumla haibadiliki kutoka kwa upangaji upya wa masharti, au a+b=b+a.
- Associative, ambayo inasema kuwa jumla haitegemei jinsi maneno yamewekwa katika makundi, au a+(b+c)=(a+ b)+ c.
Sheria za hesabu, kama vile kujumlisha, ni miongoni mwa kanuni za msingi, lakini zinatumiwa na sayansi zote, bila kusahau maisha ya kila siku.
Nambari mbili zozote asilia a na b zinaweza kuonyeshwa kama bidhaa ab au ab, ambayo pia ni nambari asilia. Sheria zile zile za ubadilishaji na ushirika hutumika kwa bidhaa kama nyongeza:
- ab=b a;
- a(bc)=(a b) c.
Nashangaakwamba kuna sheria inayounganisha kujumlisha na kuzidisha, pia inaitwa sheria ya ugawaji au ugawaji:
a(b+c)=ab+ac
Sheria hii kwa hakika inatufundisha kufanya kazi na mabano kwa kuyapanua, hivyo basi tunaweza kufanya kazi kwa kutumia fomula ngumu zaidi. Hizi ndizo sheria ambazo zitatuongoza katika ulimwengu wa ajabu na changamano wa aljebra.
Sheria ya mpangilio wa hesabu
Sheria ya utaratibu hutumiwa na mantiki ya binadamu kila siku, kwa kulinganisha saa na kuhesabu noti. Na, hata hivyo, inahitaji kurasimishwa katika mfumo wa uundaji maalum.
Ikiwa tuna nambari mbili asilia a na b, basi chaguo zifuatazo zinawezekana:
- a ni sawa na b, au a=b;
- a ni chini ya b, au < b;
- a ni kubwa kuliko b, au > b.
Kati ya chaguo tatu, moja tu ndiyo inaweza kuwa ya haki. Sheria ya msingi inayosimamia agizo hilo inasema: ikiwa < b na b < c, basi a< c.
Pia kuna sheria zinazohusiana na utaratibu wa kuzidisha na kuongeza: ikiwa a< ni b, basi a + c < b+c na ac< bc.
Sheria za hesabu hutufundisha kufanya kazi kwa kutumia nambari, ishara na mabano, kugeuza kila kitu kuwa muunganisho wa nambari.
Kalkulasi ya nafasi na isiyo ya nafasi
Inaweza kusemwa kuwa nambari ni lugha ya hisabati, kwa urahisi ambayo mengi inategemea. Kuna mifumo mingi ya nambari, ambayo, kama alfabeti za lugha tofauti, hutofautiana.
Hebu tuzingatie mifumo ya nambari kutoka kwa mtazamo wa ushawishi wa nafasi kwenye thamani ya upimajinambari katika nafasi hii. Kwa hiyo, kwa mfano, mfumo wa Kirumi sio wa nafasi, ambapo kila nambari imefungwa na seti fulani ya wahusika maalum: I/ V/ X/L/ C/ D/ M. Wao ni sawa, kwa mtiririko huo, kwa namba 1. / 5/10/50/100/500/ 1000. Katika mfumo huo, nambari haibadili ufafanuzi wake wa kiasi kulingana na nafasi gani iko: kwanza, pili, nk Ili kupata nambari nyingine, unahitaji kuongeza msingi. Kwa mfano:
- DCC=700.
- CCM=800.
Mfumo wa nambari unaojulikana zaidi kwetu kwa kutumia nambari za Kiarabu ni wa nafasi. Katika mfumo kama huo, nambari ya nambari huamua idadi ya nambari, kwa mfano, nambari za nambari tatu: 333, 567, nk. Uzito wa tarakimu yoyote inategemea nafasi ambayo hii au tarakimu hiyo iko, kwa mfano, nambari ya 8 katika nafasi ya pili ina thamani ya 80. Hii ni ya kawaida kwa mfumo wa decimal, kuna mifumo mingine ya nafasi, kwa mfano., jozi.
Hesabu namba mbili
Tunafahamu mfumo wa desimali, unaojumuisha nambari za tarakimu moja na zenye tarakimu nyingi. Nambari iliyo upande wa kushoto wa nambari yenye tarakimu nyingi ni muhimu mara kumi zaidi ya ile iliyo kulia. Kwa hiyo, tumezoea kusoma 2, 17, 467, nk. Sehemu inayoitwa "hesabu ya binary" ina mantiki tofauti kabisa na mbinu. Hii haishangazi, kwa sababu hesabu ya binary haikuundwa kwa mantiki ya kibinadamu, lakini kwa mantiki ya kompyuta. Ikiwa hesabu ya nambari ilitoka kwa kuhesabu vitu, ambayo ilitolewa zaidi kutoka kwa mali ya kitu hadi hesabu "wazi", basi hii haitafanya kazi na kompyuta. Ili kuweza kushirikikwa ujuzi wake wa kompyuta, ilimbidi mtu avumbue kielelezo kama hicho cha calculus.
Hesabu ya binary hufanya kazi na alfabeti ya jozi, ambayo inajumuisha 0 na 1 pekee. Na matumizi ya alfabeti hii yanaitwa mfumo wa jozi.
Tofauti kati ya hesabu ya jozi na hesabu ya desimali ni kwamba umuhimu wa nafasi iliyo upande wa kushoto si 10 tena, bali mara 2. Nambari za binary ni za fomu 111, 1001, nk Jinsi ya kuelewa nambari hizo? Kwa hivyo, zingatia nambari 1100:
- Nambari ya kwanza upande wa kushoto ni 18=8, tukikumbuka kwamba tarakimu ya nne, ambayo ina maana kwamba inahitaji kuzidishwa na 2, tunapata nafasi ya 8.
- Nambari ya pili 14=4 (nafasi 4).
- Nambari ya tatu 02=0 (nafasi 2).
- Nambari ya nne 01=0 (nafasi 1).
- Kwa hiyo namba yetu ni 1100=8+4+0+0=12.
Yaani, unapohamia tarakimu mpya upande wa kushoto, umuhimu wake katika mfumo wa jozi huzidishwa na 2, na katika desimali - na 10. Mfumo kama huo una minus moja: ni ongezeko kubwa mno la tarakimu zinazohitajika kuandika nambari. Mifano ya kuwakilisha nambari za desimali kama nambari mbili inaweza kupatikana katika jedwali lifuatalo.
Nambari za decimal katika mfumo wa jozi zimeonyeshwa hapa chini.
Mifumo ya oktali na heksadesimali pia inatumika.
Hesabu hii ya ajabu
Hesabu ni nini, "mara mbili mbili" au mafumbo ya nambari ambayo hayajagunduliwa? Kama unaweza kuona, hesabu inaweza kuonekana kuwa rahisi kwa mtazamo wa kwanza, lakini urahisi wake usio wazi ni wa udanganyifu. Inaweza pia kusomwa na watoto pamoja na Aunt Owl kutokakatuni "Hesabu-mtoto", na unaweza kuzama katika utafiti wa kina wa kisayansi wa mpangilio wa karibu wa kifalsafa. Katika historia, ametoka kuhesabu vitu hadi kuabudu uzuri wa nambari. Jambo moja tu linajulikana kwa uhakika: kwa kuanzishwa kwa machapisho ya kimsingi ya hesabu, sayansi yote inaweza kutegemea bega lake lenye nguvu.
