Wanafunzi wa hisabati ya juu wanapaswa kufahamu kuwa jumla ya baadhi ya mfululizo wa nishati unaohusishwa na muda wa muunganisho wa mfululizo huu hubadilika na kuwa idadi endelevu na isiyo na kikomo ya utendaji uliotofautishwa wa nyakati. Swali linatokea: inawezekana kudai kwamba kazi fulani ya kiholela f(x) ni jumla ya safu fulani ya nguvu? Hiyo ni, chini ya hali gani kazi ya f(x) inaweza kuwakilishwa na mfululizo wa nishati? Umuhimu wa swali hili upo katika ukweli kwamba inawezekana kuchukua nafasi ya chaguo la kukokotoa f(x) kwa jumla ya masharti machache ya kwanza ya mfululizo wa nguvu, yaani, na polynomial. Ubadilishaji kama huo wa kazi kwa usemi rahisi - polynomial - pia ni rahisi wakati wa kutatua shida kadhaa za uchanganuzi wa hisabati, ambayo ni: wakati wa kutatua viunga, wakati wa kuhesabu hesabu za kutofautisha, n.k.
Imethibitishwa kuwa kwa baadhi ya chaguo za kukokotoa f(х) ambapo viingilio hadi (n+1) mpangilio, ikijumuisha la mwisho, vinaweza kukokotwa katika ujirani (α - R; x0 + R) ya uhakika x=α fomula ni halali:
Mfumo huu umepewa jina la mwanasayansi maarufu Brook Taylor. Msururu unaopatikana kutoka kwa ule uliopita unaitwa mfululizo wa Maclaurin:
Sheria inayowezesha kupanuka katika mfululizo wa Maclaurin:
- Amua viini vya maagizo ya kwanza, ya pili, ya tatu…
- Kokotoa ni nini derivatives katika x=0 ni sawa.
- Rekodi mfululizo wa Maclaurin kwa chaguo hili la kukokotoa, kisha ubaini muda wa muunganisho wake.
- Amua muda (-R;R) ambapo salio la fomula ya Maclaurin
R (x) -> 0 kwa n -> infinity. Ikiwa moja iko, fomula f(x) ndani yake lazima sanjari na jumla ya mfululizo wa Maclaurin.
Sasa zingatia mfululizo wa Maclaurin kwa utendaji mahususi.
1. Kwa hivyo, ya kwanza itakuwa f(x)=ex. Bila shaka, kulingana na vipengele vyake, kazi kama hiyo ina derivatives ya maagizo mbalimbali, na f(k)(x)=ex, ambapo k ni sawa na yote. nambari za asili. Hebu tubadilishe x=0. Tunapata f(k)(0)=e0=1, k=1, 2… ingeonekana hivi:
2. Msururu wa Maclaurin wa chaguo za kukokotoa f(x)=sin x. Fafanua mara moja kwamba chaguo za kukokotoa za vitu vyote visivyojulikana vitakuwa na viingilio, kando na f'(x)=cos x=sin(x+n/2), f '' (x)=-dhambi x=dhambi(x+2n/2)…, f(k)(x)=dhambi(x+k n/2), ambapo k ni sawa na nambari yoyote asilia. Hiyo ni, baada ya kufanya mahesabu rahisi, tunaweza kufikia hitimisho kwamba mfululizo wa f(x)=sin x utaonekana kama hii:
3. Sasa hebu tujaribu kuzingatia kazi f(x)=cos x. Yeye ni kwa wote wasiojulikanaina viasili vya mpangilio holela, na |f(k)(x)|=|cos(x+kp/2)|<=1, k=1, 2… Tena, baada ya kufanya hesabu, tunapata kwamba mfululizo wa f(x)=cos x utaonekana hivi:
Kwa hivyo, tumeorodhesha vipengele muhimu zaidi vinavyoweza kupanuliwa katika mfululizo wa Maclaurin, lakini vinaongezwa na mfululizo wa Taylor kwa baadhi ya vipengele. Sasa tutaziorodhesha. Inafaa pia kuzingatia kwamba mfululizo wa Taylor na Maclaurin ni sehemu muhimu ya mazoezi ya kutatua mfululizo katika hisabati ya juu. Kwa hivyo, mfululizo wa Taylor.
1. Ya kwanza itakuwa mfululizo wa f-ii f(x)=ln(1+x). Kama katika mifano iliyotangulia, tuliyopewa f (x)=ln (1 + x), tunaweza kuongeza mfululizo kwa kutumia aina ya jumla ya mfululizo wa Maclaurin. hata hivyo, kwa kazi hii, mfululizo wa Maclaurin unaweza kupatikana kwa urahisi zaidi. Baada ya kuunganisha mfululizo fulani wa kijiometri, tunapata mfululizo wa f(x)=ln(1+x) wa sampuli hii:
2. Na ya pili, ambayo itakuwa ya mwisho katika nakala yetu, itakuwa safu ya f (x) u003d arctg x. Kwa x inayomilikiwa na muda [-1;1], upanuzi ni halali:
Ni hayo tu. Makala haya yalichunguza mfululizo wa Taylor na Maclaurin unaotumika sana katika hisabati ya juu, hasa katika vyuo vikuu vya kiuchumi na kiufundi.
