Mojawapo ya sehemu za msingi za uchanganuzi wa hisabati ni calculus muhimu. Inashughulikia uwanja mpana zaidi wa vitu, ambapo ya kwanza ni kiunganishi kisichojulikana. Inafaa kuiweka kama ufunguo, ambao hata katika shule ya upili hufichua idadi inayoongezeka ya mitazamo na fursa ambazo hisabati ya juu inaelezea.
Muonekano
Kwa mtazamo wa kwanza, kiungo hicho kinaonekana kuwa cha kisasa kabisa, kinafaa, lakini katika mazoezi inabadilika kuwa kilionekana mapema kama 1800 KK. Misri inachukuliwa kuwa nchi rasmi, kwani ushahidi wa hapo awali wa uwepo wake haujatufikia. Yeye, kwa sababu ya ukosefu wa habari, wakati huu wote aliwekwa kama jambo la kawaida. Kwa mara nyingine tena alithibitisha kiwango cha maendeleo ya sayansi kati ya watu wa nyakati hizo. Hatimaye, kazi za wanahisabati wa Kigiriki wa kale wa karne ya 4 KK zilipatikana. Walielezea njia ambayo kiunga kisichojulikana kilitumiwa, kiini chake kilikuwa kupata kiasi au eneo la takwimu ya curvilinear (ya pande tatu).na ndege za pande mbili, kwa mtiririko huo). Kanuni ya hesabu ilitokana na kugawanya takwimu ya awali katika vipengele visivyo na ukomo, mradi kiasi chao (eneo) tayari kinajulikana. Kwa wakati, njia hiyo imekua, Archimedes aliitumia kupata eneo la parabola. Hesabu sawa na hizo zilifanywa wakati huo huo na wanasayansi katika Uchina wa kale, na walikuwa huru kabisa na wenzao wa Kigiriki katika sayansi.
Maendeleo
Mafanikio yaliyofuata katika karne ya 11 AD yalikuwa ni kazi ya mwanasayansi Mwarabu-"ulimwengu mzima" Abu Ali al-Basri, ambaye alisukuma mipaka ya kile kilichokuwa kinajulikana, akipata kanuni za msingi za kukokotoa hesabu. ya safu mlalo na majumuisho ya mamlaka kutoka ya kwanza hadi ya nne, kwa kutumia mbinu hii ya uanzishaji wa hisabati inayojulikana kwetu.
Akili za nyakati za kisasa zinastaajabia jinsi Wamisri wa kale walivyounda makaburi ya ajabu ya usanifu bila vifaa vyovyote maalum, isipokuwa labda mikono yao, lakini je, uwezo wa akili wa wanasayansi wa wakati huo si muujiza tu? Ikilinganishwa na leo, maisha yao yanaonekana kuwa ya zamani, lakini suluhu la viambajengo visivyojulikana lilipatikana kila mahali na kutumika kimazoea kwa maendeleo zaidi.
Hatua iliyofuata ilifanyika katika karne ya 16, wakati mwanahisabati Mwitaliano Cavalieri alipobuni mbinu ya kugawanyika, ambayo ilichukuliwa na Pierre Fermat. Ilikuwa haiba hizi mbili ambazo ziliweka msingi wa calculus muhimu ya kisasa, ambayo inajulikana kwa sasa. Waliunganisha dhana za utofautishaji na ujumuishaji, ambazo hapo awali zilikuwakuchukuliwa kama vitengo vya uhuru. Kwa kiasi kikubwa, hisabati ya nyakati hizo ilikuwa imegawanyika, chembe za hitimisho zilikuwepo peke yao, kuwa na upeo mdogo. Njia ya kuungana na kutafuta maelewano ndiyo pekee ya kweli wakati huo, kwa sababu hiyo uchanganuzi wa kisasa wa hisabati ulipata fursa ya kukua na kuendeleza.
Kila kitu kimebadilika baada ya muda, ikijumuisha nukuu ya muunganisho. Kwa ujumla, wanasayansi waliiashiria kwa njia zote, kwa mfano, Newton alitumia ikoni ya mraba ambayo aliweka kitendakazi kinachoweza kuunganishwa au kuiweka tu karibu nayo.
Kutofautiana huku kuliendelea hadi karne ya 17, wakati mwanasayansi Gottfried Leibniz, nguzo kuu ya nadharia nzima ya uchanganuzi wa hisabati, alipotambulisha ishara inayojulikana sana kwetu. "S" iliyoinuliwa kwa hakika inategemea herufi hii ya alfabeti ya Kilatini, kwani inaashiria jumla ya vizuia derivatives. Mchanganyiko huo ulipata jina lake shukrani kwa Jacob Bernoulli miaka 15 baadaye.
Ufafanuzi rasmi
Kiunga kisichojulikana moja kwa moja inategemea ufafanuzi wa kizuia derivative, kwa hivyo hebu tukifikirie kwanza.
Kizuia derivative ni kitendakazi ambacho ni kinyume cha kiingilizi, kiutendaji pia huitwa primitive. Vinginevyo: kinza derivative ya chaguo za kukokotoa d ni chaguo la kukokotoa D ambalo kinyambulisho chake ni sawa na v V'=v. Utafutaji wa kizuia derivative ni hesabu ya kiunganishi kisichojulikana, na mchakato huu wenyewe unaitwa muunganisho.
Mfano:
Function s(y)=y3, na kizuia derivative yake S(y)=(y4/4).
Seti ya vizuia derivatives zote za chaguo za kukokotoa zinazozingatiwa ni kiungo muhimu kisichojulikana, inaashiriwa kama ifuatavyo: ∫v(x)dx.
Kutokana na ukweli kwamba V(x) ni kizuia derivative baadhi tu ya chaguo za kukokotoa asilia, usemi hutokea: ∫v(x)dx=V(x) + C, ambapo C ni thabiti. Kitendo kiholela ni kisichobadilika chochote, kwa kuwa kito chake ni sawa na sifuri.
Mali
Sifa ambazo kiunganishi kisichojulikana kinazo zinatokana na ufafanuzi mkuu na sifa za viasili.
Hebu tuangalie mambo muhimu:
- muhimu kutoka kwa kiingilio cha kinza-derivative ni kinza-derivatifu chenyewe pamoja na kisichobadilika kiholela С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- kinyago cha kiunganishi cha chaguo za kukokotoa ni chaguo za kukokotoa asili (∫v(x)dx)'=v(x);
- mara kwa mara inatolewa kutoka chini ya ishara muhimu ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, ambapo k ni kiholela;
- muunganisho uliochukuliwa kutoka kwa jumla ni sawa sawa na jumla ya viambatanisho ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Kutoka kwa sifa mbili za mwisho, tunaweza kuhitimisha kuwa kiunganishi kisichojulikana ni cha mstari. Shukrani kwa hili, tunayo: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Ili kujumuisha, zingatia mifano ya kutatua viambajengo visivyojulikana.
Ni muhimu kupata kiungo muhimu ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx 3cosx C
Kutoka kwa mfano tunaweza kuhitimisha:sijui jinsi ya kutatua viambatanisho visivyo na kikomo? Pata tu primitives zote! Lakini kanuni za utafutaji zitazingatiwa hapa chini.
Mbinu na mifano
Ili kutatua muunganisho, unaweza kuamua kutumia mbinu zifuatazo:
- tumia jedwali lililoandaliwa;
- unganisha kwa sehemu;
- unganisha kwa kubadilisha kigezo;
- kuleta chini ya ishara tofauti.
Meza
Njia rahisi na ya kufurahisha zaidi. Kwa sasa, uchambuzi wa hisabati unajivunia meza nyingi sana ambazo kanuni za msingi za viambatanisho visivyojulikana zimeandikwa. Kwa maneno mengine, kuna templates ambazo zimetengenezwa kabla yako na kwa ajili yako, inabakia tu kuzitumia. Hapa kuna orodha ya nafasi kuu za jedwali ambazo unaweza kupata karibu kila mfano ambao una suluhu:
- ∫0dy=C, ambapo C ni thabiti;
- ∫dy=y + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, ambapo C ni ya kudumu na n - nambari isiyo ya moja;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫eydy=ey + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫cosydy=siny + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫sinydy=-cosy + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫dy/dhambi2y=-ctgy + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, ambapo C ni thabiti;
- ∫chydy=aibu + C, ambapo C -mara kwa mara;
- ∫shydy=chy + C, ambapo C ni thabiti.
Ikihitajika, chukua hatua kadhaa, leta muunganisho kwenye muundo wa jedwali na ufurahie ushindi. Mfano: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x dhambi(5x - 2) + C.
Kulingana na suluhisho, ni wazi kwamba kwa mfano wa jedwali, kiunganishi kinakosa kipengele cha 5. Tunaiongeza, tukizidisha kwa 1/5 sambamba ili usemi wa jumla usibadilike.
Muunganisho kwa sehemu
Zingatia chaguo za kukokotoa mbili - z(y) na x(y). Lazima ziendelee kutofautishwa katika kikoa kizima cha ufafanuzi. Kulingana na moja ya sifa za kutofautisha, tunayo: d(xz)=xdz + zdx. Kuunganisha sehemu zote mbili za mlingano, tunapata: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Kuandika upya usawa unaotokana, tunapata fomula inayoelezea mbinu ya ujumuishaji kwa sehemu: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Kwa nini inahitajika? Jambo ni kwamba baadhi ya mifano inaweza kurahisishwa, kwa kuongea kwa masharti, kupunguza ∫zdx hadi ∫xdz ikiwa mwisho iko karibu na umbo la jedwali. Pia, fomula hii inaweza kutumika zaidi ya mara moja, na kupata matokeo bora zaidi.
Jinsi ya kutatua viambatanisho visivyojulikana kwa njia hii:
inahitaji kukokotoa ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
inahitaji kukokotoa ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + C.
Ubadilishaji unaoweza kubadilika
Kanuni hii ya kusuluhisha viambatanisho visivyo na kikomo katika mahitaji sio chini ya zile mbili zilizopita, ingawa ni ngumu zaidi. Njia ni kama ifuatavyo: acha V(x) iwe kiungo cha kazi fulani v(x). Katika tukio ambalo kiunga chenyewe katika mfano kinakuja kama ngumu, kuna uwezekano mkubwa wa kuchanganyikiwa na kuchukua njia mbaya ya suluhisho. Ili kuepusha hili, mpito kutoka kwa kigezo x hadi z hufanywa, ambapo usemi wa jumla hurahisishwa kimuonekano huku kukiwa na utegemezi wa z kwa x.
Kihisabati inaonekana hivi: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), ambapo x=y(z) ni kibadala. Na, bila shaka, kitendakazi kinyume z=y-1(x) kinaeleza kikamilifu utegemezi na uhusiano wa vigeu. Kumbuka muhimu - tofauti ya dx inabadilishwa lazima na dz mpya ya tofauti, kwa kuwa uingizwaji wa kibadilishi katika muunganisho usio na kikomo unamaanisha uingizwaji wake kila mahali, na sio tu kwenye kiunganishi.
Mfano:
inahitaji kupata ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Tekeleza z=(s+1)/(s2+2s-5). Kisha dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Kwa hivyo, tunapata usemi ufuatao, ambao ni rahisi sana kuhesabu:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
inahitaji kupata kiungo muhimu∫2sesdx
Ili kutatua, tunaandika upya usemi katika fomu ifuatayo:
∫2sesds=∫(2e)sds.
Angalia kwa=2e (hatua hii si badala ya hoja, bado ni s), tunaleta kiungo chetu kinachoonekana kuwa changamano kwa muundo wa jedwali wa kimsingi:
∫(2e)sds=∫asds=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Inaleta chini ya ishara tofauti
Kwa ujumla, mbinu hii ya viunganishi visivyojulikana ni ndugu pacha wa kanuni ya mabadiliko ya kutofautiana, lakini kuna tofauti katika mchakato wa kubuni. Hebu tuangalie kwa karibu.
Kama ∫v(x)dx=V(x) + C na y=z(x), basi ∫v(y)dy=V(y) + C.
Katika kesi hii, mtu asipaswi kusahau mabadiliko madogo madogo, kati ya ambayo:
- dx=d(x + a), ambapo a ni thabiti;
- dx=(1 / a)d(shoka + b), ambapo a ni thabiti tena, lakini si sawa na sufuri;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Tukizingatia herufi ya jumla tunapokokotoa kiunganishi kisichojulikana, mifano inaweza kujumlishwa chini ya fomula ya jumla w'(x)dx=dw(x).
Mifano:
inahitaji kupata ∫(2s + 3)2ds, ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2ds=1/2∫(2s + 3)2d(2s + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + C.
Msaada wa Mtandaoni
Katika hali zingine, kosa ambalo linaweza kuwa uvivu au hitaji la dharura, unaweza kutumia vidokezo vya mtandaoni, au tuseme, tumia kikokotoo kikuu kisichojulikana. Licha ya ugumu wote unaoonekana na kutokubaliana kwa viungo, suluhisho lao linategemea algorithm fulani, ambayo inategemea kanuni "ikiwa sio …, basi …".
Kwa kweli, kikokotoo kama hicho hakitasimamia mifano ngumu sana, kwani kuna visa ambavyo suluhisho linapaswa kupatikana kwa njia ya uwongo, "kwa nguvu" ikianzisha vitu fulani katika mchakato, kwa sababu matokeo hayawezi kupatikana kwa njia dhahiri. njia. Licha ya mabishano yote ya taarifa hii, ni kweli, kwani hisabati, kimsingi, ni sayansi ya kufikirika, na inazingatia hitaji la kupanua mipaka ya uwezekano kama kazi yake ya msingi. Kwa kweli, ni ngumu sana kusonga juu na kukuza kulingana na nadharia laini, zinazoendelea, kwa hivyo haifai kudhani kuwa mifano ya kutatua viunga visivyo na kikomo ambavyo tumetoa ni urefu wa uwezekano. Lakini nyuma kwa upande wa kiufundi wa mambo. Angalau kuangalia mahesabu, unaweza kutumia huduma ambazo kila kitu kiliandikwa mbele yetu. Ikiwa kuna hitaji la hesabu ya kiotomatiki ya usemi mgumu, basi haziwezi kutolewa, itabidi uamue kwa programu kubwa zaidi. Inafaa kulipa kipaumbele kwanza kwa mazingira ya MatLab.
Maombi
Suluhisho la viunganishi visivyojulikana kwa mtazamo wa kwanza linaonekana kutokuguswa kabisa na uhalisia, kwani ni vigumu kuona maeneo dhahiri ya utumiaji. Hakika, haziwezi kutumika moja kwa moja popote, lakini zinachukuliwa kuwa kipengele cha kati cha lazima katika mchakato wa kupata ufumbuzi unaotumiwa katika mazoezi. Kwa hivyo, ujumuishaji ni kinyume na utofautishaji, kutokana na ambayo inashiriki kikamilifu katika mchakato wa kutatua milinganyo.
Kwa upande wake, milinganyo hii ina athari ya moja kwa moja kwenye utatuzi wa matatizo ya kiufundi, ukokotoaji wa njia na upitishaji wa joto - kwa ufupi, kila kitu kinachounda sasa na kuunda siku zijazo. Muhimu usio na kikomo, mifano ambayo tumechunguza hapo juu, ni ndogo katika mtazamo wa kwanza tu, kwa kuwa ndio msingi wa kufanya uvumbuzi mpya zaidi na zaidi.
