Katika jiometri, sifa mbili muhimu hutumiwa kuchunguza takwimu: urefu wa pande na pembe kati yao. Katika kesi ya takwimu za anga, pembe za dihedral zinaongezwa kwa sifa hizi. Hebu tuchunguze ni nini, na pia tueleze mbinu ya kubainisha pembe hizi kwa kutumia mfano wa piramidi.
Dhana ya pembe ya dihedral
Kila mtu anajua kuwa mistari miwili inayokatiza huunda pembe yenye kipeo kwenye sehemu ya makutano yake. Pembe hii inaweza kupimwa kwa protractor, au unaweza kutumia vitendaji vya trigonometric ili kuihesabu. Pembe inayoundwa na pembe mbili za kulia inaitwa mstari.
Sasa fikiria kwamba katika nafasi ya pande tatu kuna ndege mbili zinazokatiza katika mstari ulionyooka. Zinaonyeshwa kwenye picha.
Pembe ya dihedral ni pembe kati ya ndege mbili zinazokatiza. Kama tu mstari, hupimwa kwa digrii au radiani. Ikiwa kwa hatua yoyote ya mstari ambao ndege huingiliana, rejesha perpendiculars mbili,amelala katika ndege hizi, basi pembe kati yao itakuwa dihedral inayotaka. Njia rahisi zaidi ya kubainisha pembe hii ni kutumia milinganyo ya jumla ya ndege.
Mlinganyo wa ndege na fomula ya pembe kati yao
Mlinganyo wa ndege yoyote angani kwa maneno ya jumla imeandikwa hivi:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Hapa x, y, z ni viwianishi vya pointi zinazomilikiwa na ndege, viambajengo A, B, C, D ni baadhi ya nambari zinazojulikana. Urahisi wa usawa huu kwa kuhesabu pembe za dihedral ni kwamba ina wazi kuratibu za vector ya mwelekeo wa ndege. Tutaashiria kwa n¯. Kisha:
n¯=(A; B; C).
Vekta n¯i ina mkabala wa ndege. Pembe kati ya ndege mbili ni sawa na pembe kati ya vekta za mwelekeo n1¯ na n2¯. Inajulikana kutoka kwa hisabati kuwa pembe inayoundwa na vekta mbili imedhamiriwa kipekee kutoka kwa bidhaa zao za scalar. Hii hukuruhusu kuandika fomula ya kukokotoa pembe ya dihedral kati ya ndege mbili:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Tukibadilisha viwianishi vya vekta, fomula itaandikwa kwa uwazi:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))
Alama ya modulo katika nambari hutumika kufafanua pembe ya papo hapo pekee, kwa kuwa pembe ya dihedral huwa chini ya au sawa na 90o.
Piramidi na pembe zake
Piramidi ni umbo linaloundwa na pembetatu za n-gon na n. Hapa n ni nambari kamili sawa na idadi ya pande za poligoni ambayo ni msingi wa piramidi. Umbo hili la anga ni polihedron au polihedron, kwa kuwa lina nyuso bapa (pande).
Pembe za dihedral za piramidi-polyhedron zinaweza kuwa za aina mbili:
- kati ya msingi na upande (pembetatu);
- kati ya pande mbili.
Ikiwa piramidi inachukuliwa kuwa ya kawaida, basi ni rahisi kubainisha pembe zilizotajwa kwa ajili yake. Ili kufanya hivyo, kwa kutumia kuratibu za pointi tatu zinazojulikana, mtu anapaswa kutunga equation ya ndege, na kisha kutumia formula iliyotolewa katika aya hapo juu kwa angle φ.
Hapa chini tunatoa mfano ambao tunaonyesha jinsi ya kupata pembe za dihedral kwenye msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular.
Piramidi ya kawaida ya pembe nne na pembe kwenye msingi wake
Chukulia kwamba piramidi ya kawaida yenye msingi wa mraba imetolewa. Urefu wa upande wa mraba ni a, urefu wa takwimu ni h. Tafuta pembe kati ya msingi wa piramidi na ubavu wake.
Hebu tuweke asili ya mfumo wa kuratibu katikati ya mraba. Kisha kuratibu za pointiA, B, C, D inayoonyeshwa kwenye picha itakuwa:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Zingatia ndege za ACB na ADB. Ni wazi, mwelekeo wa vekta n1¯ kwa ndege ya ACB itakuwa:
1¯=(0; 0; 1).
Ili kubainisha mwelekeo wa vekta n2¯ ya ndege ya ADB, endelea kama ifuatavyo: tafuta vekta mbili kiholela ambazo ni zake, kwa mfano, AD¯ na AB¯, kisha uhesabu kazi yao ya vector. Matokeo yake yatatoa viwianishi n2¯. Tuna:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Kwa kuwa kuzidisha na mgawanyiko wa vekta kwa nambari haibadilishi mwelekeo wake, tunabadilisha n2¯, tukigawanya viwianishi vyake kwa -a, tunapata:
2¯=(h; 0; a/2).
Tumefafanua miongozo ya vekta n1¯ na n2¯ kwa msingi wa ACB na ndege za kando za ADB. Inabakia kutumia fomula ya pembe φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Badilisha usemi unaotokana na uiandike upya hivi:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
)
Tumepata fomula ya pembe ya dihedral kwenye msingi ya piramidi ya kawaida ya quadrangular. Kujua urefu wa takwimu na urefu wa upande wake, unaweza kuhesabu angle φ. Kwa mfano, kwa piramidi ya Cheops, ambayo upande wake wa msingi ni mita 230.4, na urefu wa awali ulikuwa mita 146.5, angle φ itakuwa 51.8o.
Pia inawezekana kubainisha pembe ya dihedral kwa piramidi ya kawaida yenye miiko minne kwa kutumia mbinu ya kijiometri. Ili kufanya hivyo, inatosha kuzingatia pembetatu yenye pembe ya kulia inayoundwa na urefu h, nusu ya urefu wa besi a/2 na apothemu ya pembetatu ya isosceles.
