Vigezo vya kawaida vya mstari wa piramidi yoyote ni urefu wa pande za besi yake, urefu, kingo za kando na apothemu. Walakini, kuna tabia nyingine ambayo inahusishwa na vigezo vilivyojulikana - hii ni pembe ya dihedral. Fikiria katika makala ni nini na jinsi ya kuipata.
Piramidi ya kielelezo cha anga
Kila mwanafunzi huwa na wazo nzuri la kile kilicho hatarini anaposikia neno "piramidi". Inaweza kujengwa kijiometri kama ifuatavyo: chagua poligoni fulani, kisha urekebishe uhakika katika nafasi na uunganishe kwa kila kona ya poligoni. Takwimu ya tatu-dimensional itakuwa piramidi ya aina ya kiholela. Polygon inayounda inaitwa msingi, na hatua ambayo pembe zake zote zimeunganishwa ni vertex ya takwimu. Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha piramidi ya pentagonal.
Inaweza kuonekana kuwa uso wake haujaundwa na pentagoni tu, bali pia na pembetatu tano. Kwa ujumla, idadi ya pembetatu hizi itakuwa sawa na nambaripande za msingi wa poligonal.
Pembe za dihedral za takwimu
Matatizo ya kijiometri yanapozingatiwa kwenye ndege, pembe yoyote huundwa kwa mistari miwili iliyonyooka inayokatiza, au sehemu. Katika nafasi, pembe za dihedral huongezwa kwa pembe hizi za mstari, zinazoundwa na makutano ya ndege mbili.
Ikiwa ufafanuzi uliowekwa alama wa pembe katika nafasi unatumika kwa takwimu inayohusika, basi tunaweza kusema kwamba kuna aina mbili za pembe za dihedral:
- Chini ya piramidi. Inaundwa na ndege ya msingi na yoyote ya nyuso za upande (pembetatu). Hii ina maana kwamba pembe za msingi za piramidi ni n, ambapo n ni idadi ya pande za poligoni.
- Kati ya pande (pembetatu). Idadi ya pembe hizi za dihedral pia ni vipande n.
Kumbuka kwamba aina ya kwanza ya pembe zinazozingatiwa imejengwa kwenye kingo za msingi, aina ya pili - kwenye kingo za kando.
Jinsi ya kukokotoa pembe za piramidi?
Pembe ya mstari wa pembe ya dihedral ndicho kipimo cha mwisho. Si rahisi kuihesabu, kwani nyuso za piramidi, tofauti na nyuso za prism, haziingiliani kwa pembe za kulia katika kesi ya jumla. Inaaminika zaidi kukokotoa thamani za pembe za dihedral kwa kutumia milinganyo ya ndege katika hali ya jumla.
Katika nafasi ya pande tatu, ndege inatolewa kwa usemi ufuatao:
Ax + By + Cz + D=0
Ambapo A, B, C, D ni baadhi ya nambari halisi. Urahisi wa equation hii ni kwamba nambari tatu za kwanza zilizo na alama ni kuratibu za vekta,ambayo ni ya kawaida kwa ndege iliyotolewa, yaani:
n¯=[A; B; C]
Ikiwa viwianishi vya pointi tatu za ndege vinajulikana, basi kwa kuchukua bidhaa ya vekta ya vekta mbili zilizojengwa kwenye pointi hizi, mtu anaweza kupata kuratibu n¯. Vekta n¯ inaitwa mwongozo wa ndege.
Kulingana na ufafanuzi, pembe ya dihedral inayoundwa na makutano ya ndege mbili ni sawa na pembe ya mstari kati ya vekta za mwelekeo wao. Tuseme tuna ndege mbili ambazo vekta zake za kawaida ni sawa:
1¯=[A1; B1; C1];
2¯=[A2; B2; C2
Ili kukokotoa pembe φ kati yao, unaweza kutumia sifa ya bidhaa ya scalar, kisha fomula inayolingana inakuwa:
φ=arccos(|(n1¯n2¯)|/(|n1 ¯||n2¯|))
Au katika mfumo wa kuratibu:
φ=arccos(|A1A2+ B1B 2+ C1C2|/(√(A1 2 + B12+C12 )√(A22 + B22+ C22)))
Hebu tuonyeshe jinsi ya kutumia mbinu iliyo hapo juu kukokotoa pembe za dihedral wakati wa kutatua matatizo ya kijiometri.
Pembe za piramidi ya kawaida ya quadrangular
Fikiria kuwa kuna piramidi ya kawaida, ambayo chini yake kuna mraba na upande wa cm 10. Urefu wa takwimu niSentimita 12. Ni muhimu kuhesabu ni nini pembe za dihedral ziko kwenye msingi wa piramidi na kwa pande zake.
Kwa kuwa takwimu iliyotolewa katika hali ya tatizo ni sahihi, yaani, ina ulinganifu wa juu, basi pembe zote kwenye msingi ni sawa kwa kila mmoja. Pembe zinazoundwa na nyuso za upande pia ni sawa. Ili kuhesabu pembe za dihedral zinazohitajika, tunapata vectors ya mwelekeo kwa msingi na ndege mbili za upande. Onyesha urefu wa upande wa besi kwa herufi a, na urefu h.
Picha hapo juu inaonyesha piramidi ya kawaida ya pembe nne. Wacha tuandike viwianishi vya alama A, B, C na D kwa mujibu wa mfumo ulioingia wa kuratibu:
A(a/2; -a/2; 0);
B(a/2; a/2; 0);
C(-a/2; a/2; 0);
D(0; 0; h)
Sasa tunapata vidhibiti vya mwelekeo kwa ndege za msingi ABC na pande mbili za ABD na BCD kwa mujibu wa mbinu iliyoelezwa katika aya hapo juu:
Kwa ABC:
AB¯=(0; a; 0); AC¯=(-a; a; 0); n1¯=[AB¯AC¯]=(0; 0; a2)
Kwa ABD:
AB¯=(0; a; 0); AD¯=(-a/2; a/2; h); n2¯=[AB¯AD¯]=(ah; 0; a2/2)
Kwa BCD:
BC¯=(-a; 0; 0); BD¯=(-a/2; -a/2; h); n3¯=[BC¯BD¯]=(0; ah; a2/2)
Sasa inabakia kutumia fomula ifaayo ya pembe φ na kubadilisha thamani za upande na urefu kutoka kwa taarifa ya tatizo:
Pembe kati ya ABC naABD:
(n1¯n2¯)=a4/2; |n1¯|=a2; |n2¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/2/(a2a√(h2+ a2/4))=arccos(a/(2√(h2 + a2 /4)))=67, 38o
Pembe kati ya ABD na BDC:
(n2¯n3¯)=a4/4; |n2¯|=a√(h2 + a2/4); |n3¯|=a√(h2 + a2/4);
φ=arccos(a4/(4a2(h2+ a2/4))=arccos(a2/(4(h2+a 2/4))=81, 49o
Tulikokotoa thamani za pembe zinazohitajika kupatikana kulingana na hali ya tatizo. Njia zilizopatikana katika kutatua tatizo zinaweza kutumika kuamua pembe za dihedral za piramidi za kawaida za quadrangular na maadili yoyote ya a na h.
Pembe za piramidi ya kawaida ya pembe tatu
Mchoro ulio hapa chini unaonyesha piramidi ambayo msingi wake ni pembetatu ya kawaida. Inajulikana kuwa pembe ya dihedral kati ya pande ni sawa. Inahitajika kuhesabu eneo la msingi ikiwa inajulikana kuwa urefu wa takwimu ni 15 cm.
Pembe ya dihedral sawa na 90o inaashiriwa kama ABC kwenye takwimu. Unaweza kutatua tatizo kwa kutumia njia hapo juu, lakini katika kesi hii tutafanya rahisi zaidi. Wacha tuonyeshe upande wa pembetatu a, urefu wa takwimu - h, apothema - hb na upandeubavu - b. Sasa unaweza kuandika fomula zifuatazo:
S=1/2ahb;
b2=hb2+ a2 /4;
b2=h2 + a2/3
Kwa kuwa pembetatu za upande katika piramidi ni sawa, pande AB na CB ni sawa na ni miguu ya pembetatu ABC. Wacha tuonyeshe urefu wao kwa x, kisha:
x=a/√2;
S=1/2ba/√2
Kusawazisha maeneo ya pembetatu za kando na kubadilisha apothem katika usemi unaolingana, tuna:
1/2ahb=1/2ba/√2=>
hb=b/√2;
b2=b 2/2 + a2/4=>
b=a/√2;
a2/2=h2 + a2/3=>
a=h√6
Eneo la pembetatu sawia linakokotolewa kama ifuatavyo:
S=√3/4a2=3√3/2h2
Badilisha thamani ya urefu kutoka kwa hali ya tatizo, tunapata jibu: S=584, 567 cm2.
