Ujazo wa piramidi ya kawaida ya quadrangular. Fomula na mifano ya kazi

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Unaposoma takwimu zozote za anga, ni muhimu kujua jinsi ya kukokotoa kiasi chake. Makala haya yanatoa fomula ya ujazo wa piramidi ya kawaida ya quadrangular, na pia inaonyesha jinsi fomula hii inapaswa kutumika kwa kutumia mfano wa kutatua matatizo.

Piramidi gani tunazungumzia?

Kila mwanafunzi wa shule ya upili anajua kwamba piramidi ni polihedroni yenye pembetatu na poligoni. Mwisho ni msingi wa takwimu. Pembetatu zina upande mmoja wenye msingi na hukatiza katika sehemu moja, ambayo ni sehemu ya juu ya piramidi.

Kila piramidi ina sifa ya urefu wa pande za msingi, urefu wa kingo za upande na urefu. Mwisho ni sehemu ya pembeni, iliyoshushwa hadi chini kutoka juu ya takwimu.

Piramidi ya kawaida ya quadrangular ni kielelezo chenye msingi wa mraba, urefu ambao unakatiza mraba huu katikati yake. Labda mfano maarufu zaidi wa aina hii ya piramidi ni miundo ya mawe ya Misri ya kale. Chini ni pichapiramidi za Cheops.

Kielelezo kinachofanyiwa utafiti kina nyuso tano, nne kati yake ni pembetatu zinazofanana za isosceles. Pia ina sifa ya wima tano, nne ambazo ni za msingi, na kingo nane (kingo 4 za msingi na kingo 4 za nyuso za upande).

Mchanganyiko wa ujazo wa piramidi ya quadrangular ni sahihi

Ujazo wa takwimu inayozungumziwa ni sehemu ya nafasi ambayo imewekewa mipaka kwa pande tano. Ili kuhesabu kiasi hiki, tunatumia utegemezi ufuatao wa eneo la kipande sambamba na msingi wa piramidi S_z kwenye kuratibu wima z:

S_z=S_o (h - z/h)²

Hapa S_o ni eneo la msingi wa mraba. Ikiwa tutabadilisha z=h kwenye usemi ulioandikwa, basi tutapata thamani sifuri ya S_z. Thamani hii ya z inalingana na kipande ambacho kitakuwa na sehemu ya juu tu ya piramidi. Ikiwa z=0, basi tunapata thamani ya eneo la msingi S_o.

Ni rahisi kupata kiasi cha piramidi ikiwa unajua kazi S_z(z), kwa hili inatosha kukata takwimu katika idadi isiyo na kikomo ya tabaka sambamba na msingi, na kisha ufanyie operesheni ya kuunganisha. Ninafuata mbinu hii, tunapata:

V=∫₀^h(S_z)dz=-S ₀(h-z)³ / (3h²)|₀ ^h=1/3S₀h.

Kwa sababu S₀ nieneo la msingi wa mraba, basi, ikiashiria upande wa mraba na herufi A, tunapata formula ya kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular:

V=1/3a²h.

Sasa hebu tutumie mifano ya utatuzi wa matatizo ili kuonyesha jinsi usemi huu unapaswa kutumiwa.

Tatizo la kubainisha ujazo wa piramidi kupitia apothem yake na ukingo wa pembeni

Apothem ya piramidi ni urefu wa pembetatu yake ya upande, ambayo imeshushwa kwa upande wa msingi. Kwa kuwa pembetatu zote ni sawa katika piramidi ya kawaida, apothems zao pia zitakuwa sawa. Hebu tuonyeshe urefu wake kwa ishara h_b. Bainisha ukingo wa upande kama b.

Ukijua kwamba apothem ya piramidi ni sm 12, na ukingo wake wa upande ni sm 15, tafuta ujazo wa piramidi ya kawaida ya quadrangular.

Mchanganuo wa ujazo wa kielelezo ulioandikwa katika aya iliyotangulia una vigezo viwili: urefu wa upande a na urefu h. Kwa sasa, hatujui hata mmoja wao, kwa hivyo hebu tuangalie hesabu zao.

Urefu wa upande wa mraba a ni rahisi kukokotoa ikiwa unatumia nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ya kulia, ambayo hypotenuse ni ukingo b, na miguu ni apothem h _b na nusu ya upande wa msingi a/2. Tunapata:

b²=h_b²+ a² /4=>

a=2√(b²- h_b²).

Ikibadilisha thamani zinazojulikana kutoka kwa hali, tunapata thamani=18 cm.

Ili kukokotoa urefu wa h wa piramidi, unaweza kufanya mambo mawili: zingatia mstatili.pembetatu yenye makali ya hypotenuse-lateral au yenye hypotenuse-apothem. Njia zote mbili ni sawa na zinahusisha utendaji wa idadi sawa ya shughuli za hisabati. Wacha tukae juu ya kuzingatia pembetatu, ambapo hypotenuse ni apothem h_b. Miguu ndani yake itakuwa h na a / 2. Kisha tunapata:

h=√(h_b²-a²/4)=√(12 ²- 18²/4)=7, 937 cm.

Sasa unaweza kutumia fomula ya ujazo wa V:

V=1/3a²h=1/318²7, 937=857, 196 cm ³.

Kwa hivyo, ujazo wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ni takriban lita 0.86.

Kiasi cha piramidi ya Cheops

Sasa hebu tusuluhishe tatizo la kuvutia na muhimu sana: pata ujazo wa piramidi kubwa zaidi huko Giza. Inajulikana kutoka kwa maandiko kwamba urefu wa awali wa jengo ulikuwa mita 146.5, na urefu wa msingi wake ni mita 230.363. Nambari hizi huturuhusu kutumia fomula kukokotoa V. Tunapata:

V=1/3a²h=1/3230, 363²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Thamani inayotokana ni karibu milioni 2.6 m³. Kiasi hiki kinalingana na ujazo wa mchemraba ambao upande wake ni mita 137.4.