Mifumo ya ujazo wa piramidi iliyojaa na kupunguzwa. Kiasi cha piramidi ya Cheops

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Uwezo wa kukokotoa kiasi cha takwimu za anga ni muhimu katika kutatua matatizo kadhaa ya kiutendaji katika jiometri. Moja ya maumbo ya kawaida ni piramidi. Katika makala haya, tutazingatia kanuni za ujazo wa piramidi, kamili na iliyopunguzwa.

Piramidi kama sura ya pande tatu

Kila mtu anajua kuhusu piramidi za Misri, kwa hivyo wana wazo nzuri la takwimu gani itajadiliwa. Hata hivyo, miundo ya mawe ya Misri ni mfano maalum tu wa tabaka kubwa la piramidi.

Kipengele cha kijiometri kinachozingatiwa katika hali ya jumla ni msingi wa poligonal, kila kipeo ambacho kimeunganishwa kwa sehemu fulani katika nafasi ambayo si mali ya ndege ya msingi. Ufafanuzi huu husababisha kielelezo kinachojumuisha n-gon moja na pembetatu n.

Piramidi yoyote ina nyuso za n+1, kingo 2n na wima n+1. Kwa kuwa kielelezo kinachozingatiwa ni polihedroni kamili, nambari za vipengele vilivyowekwa alama hutii usawa wa Euler:

2n=(n+1) + (n+1) - 2.

Poligoni kwenye msingi inatoa jina la piramidi,kwa mfano, triangular, pentagonal, na kadhalika. Seti ya piramidi zilizo na besi tofauti zinaonyeshwa kwenye picha hapa chini.

Mahali ambapo pembetatu n za takwimu zimeunganishwa inaitwa sehemu ya juu ya piramidi. Ikiwa perpendicular inapungua kutoka kwake hadi msingi na inaingilia katikati ya kijiometri, basi takwimu hiyo itaitwa mstari wa moja kwa moja. Ikiwa hali hii haijatimizwa, basi kuna piramidi iliyoinama.

Kielelezo kilichonyooka ambacho msingi wake umeundwa kwa n-gon ya msawazo (sawa) huitwa kawaida.

Mchanganyiko wa ujazo wa piramidi

Ili kukokotoa ujazo wa piramidi, tunatumia calculus muhimu. Ili kufanya hivyo, tunagawanya takwimu kwa ndege za secant sambamba na msingi katika idadi isiyo na kipimo ya tabaka nyembamba. Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha piramidi ya pembe nne yenye urefu h na urefu wa upande L, ambapo safu nyembamba ya sehemu imewekwa alama ya pembe nne.

Eneo la kila safu kama hii linaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:

A(z)=A₀(h-z)²/h².

Hapa A₀ ni eneo la msingi, z ni thamani ya kuratibu wima. Inaweza kuonekana kuwa ikiwa z=0, basi fomula inatoa thamani A₀.

Ili kupata fomula ya ujazo wa piramidi, unapaswa kukokotoa kiunganishi juu ya urefu wote wa takwimu, yaani:

V=∫^h₀(A(z)dz).

Kubadilisha tegemezi A(z) na kukokotoa kinza, tunafikia usemi:

V=-A₀(h-z)³/(3h²)| ^h₀=1/3A₀h.

Tumepata fomula ya ujazo wa piramidi. Ili kupata thamani ya V, inatosha kuzidisha urefu wa takwimu kwa eneo la msingi, na kisha ugawanye matokeo na tatu.

Kumbuka kwamba usemi unaotokana ni halali kwa kukokotoa ujazo wa piramidi ya aina ya kiholela. Hiyo ni, inaweza kutega, na msingi wake unaweza kuwa n-gon ya kiholela.

Piramidi sahihi na ujazo wake

Mchanganyiko wa jumla wa kiasi kilichopatikana katika aya iliyo hapo juu inaweza kurekebishwa katika hali ya piramidi kwa msingi sahihi. Eneo la msingi kama huo huhesabiwa kwa kutumia fomula ifuatayo:

A₀=n/4L²ctg(pi/n).

Hapa L ni urefu wa kando wa poligoni ya kawaida yenye wima n. Alama ya pi ni nambari pi.

Tukibadilisha usemi wa A₀ kwa fomula ya jumla, tunapata ujazo wa piramidi ya kawaida:

V=1/3n/4L²hctg(pi/n)=n/12 L²hctg(pi/n).

Kwa mfano, kwa piramidi ya pembe tatu, fomula hii husababisha usemi ufuatao:

V₃=3/12L²hctg(60^o)=√3/12L²h.

Kwa piramidi ya kawaida ya quadrangular, fomula ya sauti inakuwa:

V₄=4/12L²hctg(45^o)=1/3L²h.

Kuamua kiasi cha piramidi za kawaida kunahitaji kujua upande wa msingi wao na urefu wa takwimu.

Piramidi iliyokatwa

Tuseme tumechukuapiramidi ya kiholela na kukata sehemu ya uso wake wa upande ulio na sehemu ya juu. Takwimu iliyobaki inaitwa piramidi iliyopunguzwa. Tayari lina besi mbili za n-gonal na n trapezoids zinazowaunganisha. Ikiwa ndege ya kukata ilikuwa sawa na msingi wa takwimu, basi piramidi ya truncated huundwa kwa misingi sawa sawa. Hiyo ni, urefu wa pande za mmoja wao unaweza kupatikana kwa kuzidisha urefu wa nyingine kwa mgawo wa k.

Picha iliyo hapo juu inaonyesha piramidi ya kawaida iliyopunguzwa ya hexagonal. Inaweza kuonekana kuwa msingi wake wa juu, kama ule wa chini, umeundwa na hexagons ya kawaida.

Mchanganyiko wa ujazo wa piramidi iliyokatwa, ambayo inaweza kutolewa kwa kutumia kalkulasi muhimu sawa na ile iliyotolewa, ni:

V=1/3h(A₀+ A₁++ √(A₀ A₁)).

Ambapo A₀ na A₁ ni maeneo ya besi za chini (kubwa) na za juu (ndogo), mtawalia. Tofauti h ni urefu wa piramidi iliyopunguzwa.

Kiasi cha piramidi ya Cheops

Inapendeza kusuluhisha tatizo la kubainisha ujazo ambao piramidi kubwa zaidi ya Misri inayo ndani.

Mnamo 1984, Wataalamu wa Misri wa Uingereza Mark Lehner na Jon Goodman walianzisha vipimo kamili vya piramidi ya Cheops. Urefu wake wa awali ulikuwa mita 146.50 (kwa sasa kuhusu mita 137). Urefu wa wastani wa kila pande nne za muundo ulikuwa mita 230.363. Msingi wa piramidi ni mraba na usahihi wa juu.

Hebu tutumie takwimu zilizotolewa kubainisha ukubwa wa jiwe hili kubwa. Kwa kuwa piramidi ni quadrangular ya kawaida, basi fomula ni halali kwake:

V₄=1/3L²h.

Badilisha nambari, tunapata:

V₄=1/3(230, 363)²146, 5 ≈ 2591444 m ³.

Ujazo wa piramidi ya Cheops ni karibu milioni 2.6 m³. Kwa kulinganisha, tunaona kwamba bwawa la Olimpiki lina ujazo wa m³. Yaani, ili kujaza piramidi nzima ya Cheops, zaidi ya madimbwi 1000 ya mabwawa haya yatahitajika!