Eneo la uso wa kando wa piramidi ya kawaida ya quadrangular: fomula na mifano ya shida

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Matatizo ya kawaida ya kijiometri katika ndege na katika nafasi ya pande tatu ni matatizo ya kubainisha maeneo ya uso ya maumbo tofauti. Katika makala haya, tunawasilisha fomula ya eneo la uso wa kando wa piramidi ya kawaida ya quadrangular.

Piramidi ni nini?

Hebu tupe ufafanuzi madhubuti wa kijiometri wa piramidi. Tuseme kuna poligoni na pande n na pembe n. Tunachagua sehemu ya kiholela katika nafasi ambayo haitakuwa kwenye ndege ya n-gon iliyotajwa, na kuiunganisha kwa kila kipeo cha poligoni. Tutapata takwimu ambayo ina kiasi fulani, kinachoitwa piramidi ya n-gonal. Kwa mfano, hebu tuonyeshe katika mchoro ulio hapa chini jinsi piramidi ya pentagonal inaonekana.

Vipengele viwili muhimu vya piramidi yoyote ni msingi wake (n-gon) na juu. Mambo haya yanaunganishwa kwa kila mmoja na n pembetatu, ambayo kwa ujumla si sawa na kila mmoja. Perpendicular imeshuka kutokajuu hadi chini inaitwa urefu wa takwimu. Ikiwa inaingilia msingi katika kituo cha kijiometri (sanjari na katikati ya wingi wa poligoni), basi piramidi hiyo inaitwa mstari wa moja kwa moja. Ikiwa, pamoja na hali hii, msingi ni poligoni ya kawaida, basi piramidi nzima inaitwa mara kwa mara. Mchoro ulio hapa chini unaonyesha jinsi piramidi za kawaida zinavyofanana na besi za pembe tatu, quadrangular, pentagonal na hexagonal.

Uso wa piramidi

Kabla ya kugeukia swali la eneo la uso wa kando wa piramidi ya kawaida ya quadrangular, tunapaswa kukaa juu ya dhana ya uso yenyewe.

Kama ilivyotajwa hapo juu na kuonyeshwa kwenye takwimu, piramidi yoyote huundwa kwa seti ya nyuso au pande. Upande mmoja ni msingi na n pande ni pembetatu. Uso wa sura nzima ni jumla ya maeneo ya kila upande wake.

Inafaa kusoma uso kwa mfano wa takwimu inayojitokeza. Uchanganuzi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular umeonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Tunaona kuwa eneo lake la uso ni sawa na jumla ya maeneo manne ya pembetatu za isosceles zinazofanana na eneo la mraba.

Jumla ya eneo la pembetatu zote zinazounda pande za mchoro huitwa eneo la uso wa upande. Ifuatayo, tutaonyesha jinsi ya kuihesabu kwa piramidi ya kawaida ya quadrangular.

Eneo la uso wa kando wa piramidi ya kawaida ya quadrangular

Kukokotoa eneo la upandeuso wa takwimu maalum, sisi tena kurejea kwa Scan hapo juu. Tuseme tunajua upande wa msingi wa mraba. Hebu tuashirie kwa ishara a. Inaweza kuonekana kuwa kila moja ya pembetatu nne zinazofanana ina msingi wa urefu a. Ili kuhesabu eneo lao la jumla, unahitaji kujua thamani hii kwa pembetatu moja. Inajulikana kutoka kwa kozi ya jiometri kuwa eneo la pembetatu S_{t ni sawa na bidhaa ya msingi na urefu, ambayo inapaswa kugawanywa kwa nusu. Hiyo ni:}

S_t=1/2h_ba.

Ambapo h_b ni urefu wa pembetatu ya isosceles inayochorwa kwenye msingi a. Kwa piramidi, urefu huu ni apothem. Sasa inabakia kuzidisha usemi unaotokana na 4 ili kupata eneo S_{bya uso wa upande wa piramidi inayohusika:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Mfumo huu una vigezo viwili: apothem na upande wa besi. Ikiwa mwisho unajulikana katika hali nyingi za matatizo, basi ya kwanza inapaswa kuhesabiwa kujua kiasi kingine. Hapa kuna fomula za kukokotoa apotema h_{b kwa visa viwili:}

• wakati urefu wa ubavu wa upande unajulikana;
• wakati urefu wa piramidi unajulikana.

Ikiwa tunaashiria urefu wa ukingo wa kando (upande wa pembetatu ya isosceles) kwa ishara L, basi apotema h_{b hubainishwa na fomula:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Usemi huu ni matokeo ya kutumia nadharia ya Pythagorean kwa pembetatu ya uso iliyo upande.

Ikiwa inajulikanaurefu h wa piramidi, kisha apotema h_{b inaweza kuhesabiwa kama ifuatavyo:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Kupata usemi huu pia si vigumu ikiwa tutazingatia ndani ya piramidi pembetatu yenye pembe ya kulia inayoundwa na miguu h na a/2 na hypotenuse h_b.

Hebu tuonyeshe jinsi ya kutumia fomula hizi kwa kutatua matatizo mawili ya kuvutia.

Tatizo la eneo linalojulikana

Inajulikana kuwa eneo la kando la piramidi ya kawaida ya quadrangular ni 108 cm². Ni muhimu kuhesabu thamani ya urefu wa apothem yake h_{b, ikiwa urefu wa piramidi ni 7 cm.}

Hebu tuandike fomula ya eneo S_{bya uso wa upande kupitia urefu. Tuna:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Hapa tumebadilisha fomula inayolingana ya apotema katika usemi wa S_{b. Wacha tuweke mraba pande zote mbili za mlinganyo:}

S_b²=4a²h² + a^4.

Ili kupata thamani ya a, hebu tufanye mabadiliko ya vigeu:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Sasa tunabadilisha thamani zinazojulikana na kutatua mlingano wa quadratic:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Tuliandika mzizi chanya pekee wa mlingano huu. Kisha pande za msingi wa piramidi zitakuwa:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

Ili kupata urefu wa apotema,tumia tu fomula:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7 ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 ona}

Uso wa kando wa piramidi ya Cheops

Amua thamani ya eneo la kando la piramidi kubwa zaidi ya Misri. Inajulikana kuwa katika msingi wake kuna mraba na urefu wa upande wa mita 230.363. Urefu wa muundo hapo awali ulikuwa mita 146.5. Badilisha nambari hizi kwenye fomula inayolingana ya S_{b, tunapata:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Thamani iliyopatikana ni kubwa kidogo kuliko eneo la viwanja 17 vya soka.