Wakati wa kusoma sifa za equation ya quadratic, kizuizi kiliwekwa - kwa kibaguzi chini ya sifuri, hakuna suluhu. Mara moja iliainishwa kuwa tunazungumza juu ya seti ya nambari halisi. Akili ya kudadisi ya mwanahisabati itapendezwa - ni siri gani iliyomo katika kifungu kuhusu maadili halisi?
Baada ya muda, wanahisabati walianzisha dhana ya nambari changamano, ambapo thamani ya masharti ya mzizi wa pili wa minus moja inachukuliwa kama kitengo.
Usuli wa kihistoria
Nadharia ya hisabati hukua kwa kufuatana, kutoka rahisi hadi changamano. Hebu tuchunguze jinsi dhana inayoitwa "nambari changamano" ilitokea na kwa nini inahitajika.
Tangu zamani, msingi wa hisabati ulikuwa akaunti ya kawaida. Watafiti walijua tu seti ya asili ya maadili. Kuongeza na kutoa kulikuwa rahisi. Mahusiano ya kiuchumi yalipozidi kuwa magumu, kuzidisha kulianza kutumika badala ya kuongeza maadili sawa. Kuna operesheni ya kurudi nyumakuzidisha - mgawanyiko.
Dhana ya nambari asilia ilidhibiti matumizi ya shughuli za hesabu. Haiwezekani kutatua matatizo yote ya mgawanyiko kwenye seti ya maadili kamili. Kufanya kazi na sehemu kuliongoza kwanza kwa dhana ya maadili ya busara, na kisha kwa maadili yasiyo na maana. Ikiwa kwa busara inawezekana kuonyesha eneo halisi la uhakika kwenye mstari, basi kwa wasio na maana haiwezekani kuonyesha hatua hiyo. Unaweza tu kukadiria muda. Muungano wa nambari za busara na zisizo na maana ziliunda seti halisi, ambayo inaweza kuwakilishwa kama mstari fulani na kiwango fulani. Kila hatua kando ya mstari ni nambari asilia, na kati yao kuna maadili ya kimantiki na yasiyo na mantiki.
Enzi ya hisabati ya kinadharia imeanza. Ukuzaji wa unajimu, mechanics, fizikia ilihitaji suluhisho la hesabu ngumu zaidi na ngumu zaidi. Kwa ujumla, mizizi ya equation ya quadratic ilipatikana. Wakati wa kutatua polynomial ngumu zaidi ya ujazo, wanasayansi waliingia kwenye mkanganyiko. Dhana ya mizizi ya mchemraba kutoka kwa hasi ina maana, lakini kwa mizizi ya mraba, kutokuwa na uhakika kunapatikana. Zaidi ya hayo, mlinganyo wa quadratic ni kisa maalum tu cha ujazo.
Mnamo 1545, Mtaliano J. Cardano alipendekeza kuanzishwa kwa dhana ya nambari ya kuwaziwa.
Nambari hii ni mzizi wa pili wa minus moja. Neno nambari changamano hatimaye liliundwa miaka mia tatu tu baadaye, katika kazi za mwanahisabati maarufu Gauss. Alipendekeza kupanua rasmi sheria zote za aljebra hadi nambari ya kufikiria. Mstari halisi umepanuliwa hadindege. Dunia ni kubwa zaidi.
Dhana za kimsingi
Kumbuka idadi ya chaguo za kukokotoa ambazo zina vikwazo kwenye seti halisi:
- y=arcsin(x), imefafanuliwa kati ya hasi na chanya 1.
- y=ln(x), logariti ya desimali ina mantiki kwa hoja chanya.
- mzizi wa mraba y=√x, unaokokotolewa kwa x ≧ 0 pekee.
Kuashiria i=√(-1), tunatanguliza dhana kama nambari ya kuwazia, hii itaondoa vizuizi vyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zilizo hapo juu. Vielezi kama y=arcsin(2), y=ln(-4), y=√(-5) vina maana katika baadhi ya nafasi ya nambari changamano.
Aina ya aljebra inaweza kuandikwa kama usemi z=x + i×y kwenye seti ya thamani halisi za x na y, na i2 =-1.
Dhana mpya huondoa vizuizi vyote vya matumizi ya chaguo za kukokotoa za aljebra na inafanana na grafu ya mstari ulionyooka katika viwianishi vya thamani halisi na za kufikirika.
Ndege tata
Aina ya kijiometri ya nambari changamano kwa mwonekano huturuhusu kuwakilisha sifa zake nyingi. Kwenye mhimili wa Re(z) tunatia alama thamani halisi za x, kwenye Im(z) - maadili ya kuwaziwa ya y, kisha nukta z kwenye ndege itaonyesha thamani changamano inayohitajika.
Ufafanuzi:
- Re(z) - mhimili halisi.
- Im(z) - inamaanisha mhimili wa kufikirika.
- z - hatua ya masharti ya nambari changamano.
- Thamani ya nambari ya urefu wa vekta kutoka sufuri hadi z inaitwasehemu.
- Shoka halisi na za kufikirika hugawanya ndege katika sehemu nne. Na thamani chanya ya kuratibu - mimi robo. Wakati hoja ya mhimili halisi ni chini ya 0, na mhimili wa kufikiria ni mkubwa kuliko robo ya 0 - II. Wakati kuratibu ni hasi - III robo. Robo ya mwisho, ya nne ina thamani nyingi chanya na maadili hasi ya kufikirika.
Kwa hivyo, kwenye ndege yenye thamani za x na y za kuratibu, mtu anaweza kuonyesha taswira ya nukta ya nambari changamano kila wakati. Tabia i inatambulishwa ili kutenganisha sehemu halisi na ile ya kufikirika.
Mali
- Thamani ya hoja ya kufikirika ni sifuri, tunapata nambari (z=x), ambayo iko kwenye mhimili halisi na ni ya seti halisi.
- Mfano maalum wakati thamani ya hoja halisi inakuwa sifuri, usemi z=i×y unalingana na eneo la nukta kwenye mhimili wa kufikirika.
- Aina ya jumla ya z=x + i×y itakuwa ya thamani zisizo sifuri za hoja. Inaonyesha eneo la sehemu inayoonyesha nambari changamano katika robo moja.
nukuu ya Trigonometric
Kumbuka mfumo wa kuratibu wa polar na ufafanuzi wa kazi za trigonometric sin and cos. Ni dhahiri kwamba kwa msaada wa kazi hizi inawezekana kuelezea eneo la hatua yoyote kwenye ndege. Ili kufanya hivyo, inatosha kujua urefu wa boriti ya polar na angle ya mwelekeo kwa mhimili halisi.
Ufafanuzi. Ingizo la fomu ∣z ∣ likizidishwa kwa jumla ya vitendakazi vya trigonometric cos(ϴ) na sehemu ya kufikirika i ×sin(ϴ) inaitwa nambari changamano ya trigonometric. Hapa jina ni pembe ya mwelekeo kwa mhimili halisi
ϴ=arg(z) na r=∣z∣, urefu wa boriti.
Kutoka kwa ufafanuzi na sifa za utendakazi wa trigonometric, fomula muhimu sana ya Moivre ifuatavyo:
zn =r × (cos(n × ϴ) + i × dhambi(n × ϴ)).
Kwa kutumia fomula hii, ni rahisi kutatua mifumo mingi ya milinganyo iliyo na vitendaji vya trigonometric. Hasa tatizo la kuongeza nguvu linapotokea.
Moduli na awamu
Ili kukamilisha maelezo ya seti changamano, tunapendekeza fasili mbili muhimu.
Kujua nadharia ya Pythagorean, ni rahisi kukokotoa urefu wa boriti katika mfumo wa kuratibu wa polar.
r=∣z∣=√(x2 + y2), nukuu kama hiyo kwenye nafasi changamano inaitwa " moduli" na kubainisha umbali kutoka 0 hadi pointi moja kwenye ndege.
Pembe ya mwelekeo wa boriti changamano hadi mstari halisi ϴ kwa kawaida huitwa awamu.
Ufafanuzi unaonyesha kuwa sehemu halisi na za kufikirika zinafafanuliwa kwa kutumia vitendaji vya mzunguko. Yaani:
- x=r × cos(ϴ);
- y=r × dhambi(ϴ);
Kinyume chake, awamu inahusiana na thamani za aljebra kupitia fomula:
ϴ=arctan(x / y) + µ, urekebishaji µ unaletwa ili kuzingatia utendakazi wa kijiometri.
Mfumo wa Euler
Wataalamu wa hisabati mara nyingi hutumia fomu ya ufafanuzi. Nambari changamano za ndege zimeandikwa kama misemo
z=r × ei×ϴ , ambayo hufuata kutoka kwa fomula ya Euler.
Rekodi hii inatumika sana kwa ukokotoaji wa vitendo wa kiasi halisi. Fomu ya uwasilishaji katika fomunambari ngumu za kielelezo ni rahisi sana kwa mahesabu ya uhandisi, ambapo inakuwa muhimu kuhesabu mizunguko na mikondo ya sinusoidal na ni muhimu kujua thamani ya viunga vya kazi na kipindi fulani. Hesabu zenyewe hutumika kama zana katika uundaji wa mashine na mitambo mbalimbali.
Bainisha utendakazi
Kama ilivyobainishwa tayari, sheria zote za aljebra za kufanya kazi na vipengele vya msingi vya hisabati hutumika kwa nambari changamano.
Jumla ya operesheni
Wakati wa kuongeza thamani changamano, sehemu zake halisi na za kufikirika pia huongezwa.
z=z1 + z2 ambapo z1 na z2 - nambari changamano za jumla. Kubadilisha usemi, baada ya kufungua mabano na kurahisisha nukuu, tunapata hoja halisi x=(x1 + x2), hoja ya kufikirika y=(y 1 + y2).).
Kwenye grafu, inaonekana kama nyongeza ya vekta mbili, kulingana na kanuni inayojulikana sana ya msambamba.
Operesheni ya kutoa
Inazingatiwa kama hali maalum ya kujumlisha, wakati nambari moja ni chanya, nyingine ni hasi, ambayo ni, iko katika sehemu ya kioo. Maandishi ya algebra yanaonekana kama tofauti kati ya sehemu halisi na ya kufikirika.
z=z1 - z2, au, kwa kuzingatia maadili ya hoja, sawa na nyongeza. operesheni, tunapata kwa thamani halisi x=(x1 - x2) na kimawazo y=(y1- y2).
Kuzidisha kwenye ndege changamano
Kwa kutumia sheria za kufanya kazi na polynomia, tunapata fomulakutatua nambari changamano.
Kwa kufuata kanuni za jumla za aljebra z=z1×z2, eleza kila hoja na uorodheshe zinazofanana. Sehemu halisi na za kufikirika zinaweza kuandikwa hivi:
- x=x1 × x2 - y1 × y2,
- y=x1 × y2 + x2 × y 1.
Inaonekana kupendeza zaidi tukitumia nambari changamano changamano.
Msemo unaonekana hivi: z=z1 × z2 =r1 × eiϴ1 × r2 × eiϴ2=r1 × r2 × ei(ϴ1+ϴ2).
Kwa urahisi zaidi, moduli zinazidishwa na awamu zinaongezwa.
Division
Tunapozingatia utendakazi wa mgawanyiko kama kinyume cha kuzidisha, tunapata usemi rahisi katika nukuu ya ufafanuzi. Kugawanya thamani z1 kwa z2 ni matokeo ya kugawanya moduli zao na tofauti ya awamu. Rasmi, unapotumia aina ya kielelezo cha nambari changamano, inaonekana kama hii:
z=z1 / z2 =r1 × e mimiϴ1 / r2 × ei ϴ2=r1 / r2× ei(ϴ1-ϴ 2).
Katika muundo wa nukuu za aljebra, utendakazi wa kugawanya nambari za ndege changamano huandikwa kwa utata zaidi:
z=z1 / z2.
Kuelezea hoja na kufanya mabadiliko ya polinomia, ni rahisi kupata maadilix=x1 × x2 + y1 × y2, kwa mtiririko huo y=x2 × y1 - x1 × y2 , hata hivyo, ndani ya nafasi iliyoelezwa, usemi huu unaeleweka ikiwa z2 ≠ 0.
Nyoa mzizi
Yote yaliyo hapo juu yanaweza kutumika wakati wa kufafanua vitendaji changamano zaidi vya aljebra - kuinua kwa nguvu yoyote na kinyume nayo - kuchimba mzizi.
Kwa kutumia dhana ya jumla ya kuongeza kwenye nguvu n, tunapata ufafanuzi:
zn =(r × eiϴ).
Kwa kutumia sifa za kawaida, andika upya kama:
zn =rn × eiϴ.
Tumepata fomula rahisi ya kuongeza nambari changamano hadi nguvu.
Kutokana na ufafanuzi wa shahada tunapata tokeo muhimu sana. Nguvu sawia ya kitengo cha kuwazia kila mara ni 1. Nguvu yoyote isiyo ya kawaida ya kitengo cha kufikiria huwa ni -1.
Sasa hebu tuchunguze kitendakazi kinyume - kuchimba mzizi.
Kwa urahisi wa kubainisha, hebu tuchukue n=2. Mzizi wa mraba w wa thamani changamano z kwenye ndege changamano C inachukuliwa kuwa usemi z=±, halali kwa hoja yoyote halisi iliyo kubwa kuliko au sawa na sufuri. Kwa w ≦ 0, hakuna suluhu.
Hebu tuangalie mlinganyo rahisi zaidi wa quadratic z2 =1. Kwa kutumia fomula za nambari changamano, andika upya r2 × ei2ϴ =r2 × ei2ϴ=ei0. Inaweza kuonekana kutoka kwa rekodi kuwa r2 =1 na ϴ=0, kwa hivyo, tuna suluhisho la kipekee sawa na 1. Lakini hii inakinzana na dhana kwamba z=-1 pia inalingana na ufafanuzi wa mzizi wa mraba.
Wacha tubaini ni nini hatuzingatii. Ikiwa tunakumbuka nukuu ya trigonometric, basi tunarejesha taarifa - kwa mabadiliko ya mara kwa mara katika awamu ϴ, namba tata haibadilika. Hebu p ionyeshe thamani ya kipindi, kisha tuna r2 × ei2ϴ =ei(0+p), wapi 2ϴ=0 + p, au ϴ=p / 2. Kwa hiyo, ei0 =1 na eip/2 =-1. Tulipata suluhisho la pili, ambalo linalingana na uelewa wa jumla wa mzizi wa mraba.
Kwa hivyo, ili kupata mzizi kiholela wa nambari changamano, tutafuata utaratibu.
- Andika fomu ya ufafanuzi w=∣w∣ × ei(arg (w) + pk), k ni nambari kamili kiholela.
- Nambari inayotakiwa pia inawakilishwa katika fomu ya Euler z=r × eiϴ.
- Tumia ufafanuzi wa jumla wa kitendakazi cha uchimbaji wa mzizi r ei ϴ =∣w∣ × ei(arg(w) + pk).
- Kutoka kwa sifa za jumla za usawa wa moduli na hoja, tunaandika rn =∣w∣ na nϴ=arg (w) + p×k.
- Rekodi ya mwisho ya mzizi wa nambari changamano inafafanuliwa kwa fomula z=√∣w∣ × ei ( arg (w) + pk ) / .
- Kumbuka. Thamani ya ∣w∣, kwa ufafanuzi,ni nambari chanya, kwa hivyo mzizi wa digrii yoyote unaeleweka.
Sehemu na mnyambuliko
Kwa kumalizia, tunatoa fasili mbili muhimu ambazo hazina umuhimu mdogo katika kutatua matatizo yanayotumika na nambari changamano, lakini ni muhimu kwa maendeleo zaidi ya nadharia ya hisabati.
Misemo ya kujumlisha na kuzidisha inasemekana kuunda sehemu ikiwa inakidhi viambishi vya vipengele vyovyote vya ndege changamano z:
- Jumla changamano haibadiliki kutoka kubadilisha nafasi za maneno changamano.
- Taarifa hiyo ni kweli - katika usemi changamano, jumla yoyote ya nambari mbili inaweza kubadilishwa na thamani yake.
- Kuna thamani ya upande wowote 0 ambayo z + 0=0 + z=z ni kweli.
- Kwa z yoyote kuna kinyume - z, nyongeza ambayo inatoa sifuri.
- Wakati wa kubadilisha maeneo ya vipengele changamano, bidhaa changamano haibadiliki.
- Kuzidisha kwa nambari zozote mbili kunaweza kubadilishwa na thamani yake.
- Kuna thamani ya 1, kuzidisha ambayo haibadilishi nambari changamano.
- Kwa kila z ≠ 0, kuna kinyume cha z-1, ambayo huzidisha kwa 1.
- Kuzidisha jumla ya nambari mbili kwa theluthi ni sawa na operesheni ya kuzidisha kila nambari kwa nambari hii na kuongeza matokeo.
- 0 ≠ 1.
Nambari z1 =x + i×y na z2 =x - i×y zinaitwa conjugate.
Nadharia. Kwa mnyambuliko, taarifa hiyo ni kweli:
- Muunganisho wa jumla ni sawa na jumla ya vipengele vya mnyambuliko.
- Muunganisho wa bidhaa nibidhaa ya minyambuliko.
- Mnyambuliko wa mnyambuliko ni sawa na nambari yenyewe.
Kwa ujumla aljebra, sifa kama hizo huitwa uundaji otomatiki wa sehemu.
Mifano
Kwa kufuata sheria na fomula ulizopewa za nambari changamano, unaweza kufanya kazi nazo kwa urahisi.
Hebu tuzingatie mifano rahisi zaidi.
Tatizo 1. Kwa kutumia mlingano 3y +5 x i=15 - 7i, bainisha x na y.
Uamuzi. Kumbuka ufafanuzi wa usawa tata, kisha 3y=15, 5x=-7. Kwa hivyo, x=-7 / 5, y=5.
Kazi 2. Kokotoa thamani 2 + i28 na 1 + i135.
Uamuzi. Ni wazi, 28 ni nambari sawia, kutokana na matokeo ya ufafanuzi wa nambari changamano katika uwezo tulionao i28 =1, ambayo ina maana kwamba usemi 2 + i 28 =3. Thamani ya pili, i135 =-1, kisha 1 + i135 =0.
Kazi 3. Kokotoa bidhaa ya thamani 2 + 5i na 4 + 3i.
Uamuzi. Kutoka kwa mali ya jumla ya kuzidisha namba tata, tunapata (2 + 5i) X (4 + 3i)=8 - 15 + i (6 + 20). Thamani mpya itakuwa -7 + 26i.
Kazi 4. Kokotoa mizizi ya mlinganyo z3 =-i.
Uamuzi. Kuna njia kadhaa za kupata nambari changamano. Hebu fikiria mojawapo ya iwezekanavyo. Kwa ufafanuzi, ∣ - i∣=1, awamu ya -i ni -p / 4. Mlinganyo wa asili unaweza kuandikwa upya kama r3ei3ϴ =e--p/4+pk, kutoka wapi z=e-p / 12 + pk/3, kwa nambari yoyote k.
Seti ya suluhisho ina fomu (e-ip/12,eip/4, ei2 p/3).
Kwa nini tunahitaji nambari changamano
Historia inajua mifano mingi wakati wanasayansi, wanaofanyia kazi nadharia, hawafikirii hata kuhusu matumizi ya vitendo ya matokeo yao. Hisabati ni, kwanza kabisa, mchezo wa akili, ufuasi mkali wa uhusiano wa sababu-na-athari. Takriban miundo yote ya hisabati imepunguzwa ili kutatua milinganyo muhimu na tofauti, na hizo, kwa upande wake, kwa makadirio fulani, hutatuliwa kwa kutafuta mizizi ya polynomials. Hapa tunakutana kwa mara ya kwanza na kitendawili cha nambari dhahania.
Wanasayansi wanasayansi wa masuala ya asili, wanaotatua matatizo ya vitendo kabisa, kugeukia masuluhisho ya milinganyo mbalimbali, kugundua vitendawili vya kihisabati. Ufafanuzi wa vitendawili hivi husababisha uvumbuzi wa kushangaza kabisa. Asili mbili za mawimbi ya sumakuumeme ni mfano mmoja kama huo. Nambari changamano huchukua jukumu muhimu katika kuelewa sifa zao.
Hii, kwa upande wake, imepata matumizi ya vitendo katika macho, vifaa vya elektroniki vya redio, nishati na nyanja zingine nyingi za kiteknolojia. Mfano mwingine, ni vigumu zaidi kuelewa matukio ya kimwili. Antimatter ilitabiriwa kwenye ncha ya kalamu. Na miaka mingi baadaye, majaribio ya kuiunganisha kimwili yakaanza.
Usifikirie kuwa katika fizikia pekee kuna hali kama hizi. Hakuna uvumbuzi mdogo wa kuvutia unaofanywa katika wanyamapori, katika awali ya macromolecules, wakati wa utafiti wa akili ya bandia. Na yote ni shukrani kwaupanuzi wa fahamu zetu, tukiachana na kuongeza na kutoa tunu asilia rahisi.
