Sifa na mbinu za kutafuta mizizi ya mlinganyo wa quadratic

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Dunia imepangwa kwa namna ambayo suluhu ya idadi kubwa ya matatizo inakuja chini ya kutafuta mizizi ya mlingano wa quadratic. Mizizi ya equations ni muhimu kwa kuelezea mifumo mbalimbali. Hili lilijulikana hata kwa wapimaji-pimaji wa Babeli ya kale. Wanaastronomia na wahandisi pia walilazimika kutatua matatizo hayo. Huko nyuma katika karne ya 6 BK, mwanasayansi wa Kihindi Aryabhata alitengeneza misingi ya kutafuta mizizi ya mlingano wa quadratic. Fomula zilikamilishwa katika karne ya 19.

Dhana za jumla

Tunakualika ujifahamishe na kanuni za msingi za usawa wa mara nne. Kwa ujumla, usawa unaweza kuandikwa kama ifuatavyo:

shoka2 + bx + c=0, Idadi ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic inaweza kuwa sawa na moja au mbili. Uchambuzi wa haraka unaweza kufanywa kwa kutumia dhana ya kibaguzi:

D=b2 - 4ac

Kulingana na thamani iliyohesabiwa, tunapata:

• Wakati D > 0 kuna mizizi miwili tofauti. Fomula ya jumla ya kubainisha mizizi ya mlinganyo wa quadratic inaonekana kama (-b± √D) / (2a).
• D=0, katika kesi hii mzizi ni mmoja na inalingana na thamani x=-b / (2a)
• D < 0, kwa thamani hasi ya kibaguzi, hakuna suluhu la mlingano.

Kumbuka: ikiwa kibaguzi ni hasi, mlinganyo hauna mizizi katika eneo la nambari halisi pekee. Ikiwa aljebra itapanuliwa hadi kwenye dhana ya mizizi changamano, basi mlinganyo una suluhu.

Hebu tupe mlolongo wa vitendo ambao unathibitisha fomula ya kutafuta mizizi.

Kutoka kwa muundo wa jumla wa mlinganyo, ifuatavyo:

shoka2 + bx=-c

Tunazidisha sehemu za kulia na kushoto kwa 4a na kuongeza b2, tunapata

4a²x² + 4abx + b² =-4ac+b ²

Geuza upande wa kushoto kuwa mraba wa polinomia (2ax + b)². Tunatoa mzizi wa mraba wa pande zote mbili za equation 2ax + b=-b ± √(-4ac + b^{2), kuhamisha mgawo b hadi upande wa kulia, tunapata:}

2ax=-b ± √(-4ac + b2)

Kutoka hapa ifuatavyo:

x=(-b ± √(b2 - 4ac))

Nini kilitakiwa kuonyesha.

Kesi maalum

Katika baadhi ya matukio, suluhu la tatizo linaweza kurahisishwa. Kwa hivyo, kwa mgawo sawa wa b tunapata fomula rahisi zaidi.

Angazia k=1/2b, kisha fomula ya umbo la jumla la mizizi ya mlinganyo wa quadratic inachukua fomu:

x=(-k ± √(k2 -ac)) / a

Wakati D=0, tunapata x=-k / a

Kesi nyingine maalum ni suluhu la mlinganyo na=1.

Kwa fomu x² + bx + c=0 mizizi itakuwa x=-k ± √(k^{2 - c) yenye ubaguzi zaidi ya 0. Kwa kesi wakati D=0, mzizi utaamuliwa kwa fomula rahisi: x=-k.}

Tumia chati

Mtu yeyote, bila hata kujua, mara kwa mara anakabiliwa na matukio ya kimwili, kemikali, kibayolojia na hata kijamii ambayo yanaelezewa vyema na utendaji wa quadratic.

Kumbuka: curve iliyojengwa kwa misingi ya utendaji wa quadratic inaitwa parabola.

Hii hapa ni baadhi ya mifano.

1. Wakati wa kukokotoa mwelekeo wa projectile, sifa ya kusogea kwa mfano wa mwili unaorushwa kwa pembe hadi kwenye upeo wa macho hutumika.
2. Sifa ya parabola ili kusambaza sawasawa mzigo inatumika sana katika usanifu.

Kwa kuelewa umuhimu wa kazi ya kimfano, hebu tufikirie jinsi ya kutumia grafu kuchunguza sifa zake, kwa kutumia dhana za "kibaguzi" na "mizizi ya mlingano wa quadratic".

Kulingana na thamani ya viambajengo a na b, kuna chaguo sita pekee za nafasi ya curve:

1. Kibaguzi ni chanya, a na b wana dalili tofauti. Matawi ya parabola hutazama juu, mlingano wa quadratic una masuluhisho mawili.
2. Kibaguzi na mgawo b ni sawa na sifuri, mgawo a ni mkubwa kuliko sifuri. Grafu iko katika eneo chanya, mlinganyo una mzizi 1.
3. Kibaguzi na vigawo vyote ni chanya. Mlinganyo wa quadratic hauna suluhu.
4. Kibaguzi na mgawo a ni hasi, b ni kubwa kuliko sifuri. Matawi ya grafu yameelekezwa chini, mlinganyo una mizizi miwili.
5. Mbaguzi namgawo b ni sawa na sifuri, mgawo a ni hasi. Parabola inatazama chini, mlinganyo una mzizi mmoja.
6. Thamani za kibaguzi na vigawo vyote ni hasi. Hakuna suluhu, thamani za chaguo za kukokotoa ziko kabisa katika eneo hasi.

Kumbuka: chaguo a=0 halizingatiwi, kwa kuwa katika kesi hii parabola huharibika na kuwa mstari ulionyooka.

Yote yaliyo hapo juu yameonyeshwa vyema na mchoro ulio hapa chini.

Mifano ya utatuzi wa matatizo

Hali: kwa kutumia sifa za jumla, tengeneza mlinganyo wa quadratic ambao mizizi yake ni sawa.

Suluhisho:

kulingana na hali ya tatizo x₁ =x₂, au -b + √(b^{2- 4ac) / (2a)=-b + √(b}2 ^{- 4ac) / (2a). Kurahisisha nukuu:}

-b + √(b² - 4ac) / (2a) - (-b - √(b² - 4ac) / (2a))=0, fungua mabano na toa masharti kama hayo. Mlinganyo huwa 2√(b² - 4ac)=0. Kauli hii ni kweli wakati b² - 4ac=0, kwa hivyo b ^{2=4ac, kisha thamani b=2√(ac) inabadilishwa kuwa mlingano}

shoka² + 2√(ac)x + c=0, katika hali iliyopunguzwa tunapata x^{2 + 2√(c / a)x + c=0.}

Jibu:

kwa isiyo sawa na 0 na c yoyote, kuna suluhisho moja tu ikiwa b=2√(c / a).

Milinganyo ya Quadric, kwa urahisi wake wote, ni muhimu sana katika hesabu za kihandisi. Takriban mchakato wowote wa kimwili unaweza kuelezewa kwa kutumia makadirio fulanikazi za nguvu za utaratibu n. Mlinganyo wa quadratic utakuwa ukadiriaji wa kwanza kama huo.