Milinganyo ya robo mara nyingi hutokea katika matatizo kadhaa katika hisabati na fizikia, kwa hivyo kila mwanafunzi anapaswa kuwa na uwezo wa kuyatatua. Makala haya yanaangazia mbinu kuu za kutatua milinganyo ya quadratic, na pia hutoa mifano ya matumizi yake.
Mlinganyo gani unaitwa quadratic
Kwanza kabisa, tutajibu swali la aya hii ili kuelewa zaidi makala yatahusu nini. Kwa hivyo, equation ya quadratic ina fomu ya jumla ifuatayo: c + bx+ax2=0, ambapo a, b, c ni baadhi ya nambari, ambazo huitwa coefficients. Hapa a≠0 ni hali ya lazima, vinginevyo mlinganyo ulioonyeshwa huharibika na kuwa mstari. Coefficients iliyobaki (b, c) inaweza kuchukua maadili yoyote, ikiwa ni pamoja na sifuri. Kwa hivyo, misemo kama ax2=0, ambapo b=0 na c=0, au c+ax2=0, ambapo b=0, au bx+ax2=0, ambapo c=0 pia ni milinganyo ya quadratic, ambayo inaitwa haijakamilika, kwani ama mgawo wa mstari b ndani yake ni sifuri au sifuri.ni neno huru c, au zote mbili hutoweka.
Mlinganyo ambapo a=1 inaitwa imepunguzwa, yaani, ina umbo la: x2 + с/a + (b/a)x=0.
Suluhisho la mlinganyo wa quadratic ni kupata thamani kama hizi za x zinazokidhi usawa wake. Maadili haya huitwa mizizi. Kwa kuwa equation inayozingatiwa ni usemi wa shahada ya pili, hii ina maana kwamba idadi ya juu kabisa ya mizizi yake haiwezi kuzidi mbili.
Ni mbinu gani za kutatua milinganyo ya mraba zilizopo
Kwa ujumla, kuna njia 4 za suluhisho. Majina yao yameorodheshwa hapa chini:
- Factoring.
- Ongeza kwa mraba.
- Kwa kutumia fomula inayojulikana (kupitia kibaguzi).
- Njia ya suluhisho ni kijiometri.
Kama unavyoona kwenye orodha iliyo hapo juu, mbinu tatu za kwanza ni za aljebra, kwa hivyo hutumiwa mara nyingi zaidi kuliko ya mwisho, ambayo inahusisha kupanga utendaji.
Kuna njia nyingine ya kutatua milinganyo ya mraba kwa kutumia nadharia ya Vieta. Inaweza kujumuishwa ya 5 katika orodha iliyo hapo juu, hata hivyo, hii haijafanywa, kwa kuwa nadharia ya Vieta ni tokeo rahisi la mbinu ya 3.
Baadaye katika makala tutazingatia kwa undani zaidi mbinu zilizotajwa za suluhisho, na pia kutoa mifano ya matumizi yao kupata mizizi ya milinganyo maalum.
Njia 1. Inaanzisha
Kwa mbinu hii katika hisabati ya milinganyo ya roboduara, kuna njia nzuri.jina: factorization. Kiini cha njia hii ni kama ifuatavyo: inahitajika kuwasilisha equation ya quadratic kama bidhaa ya maneno mawili (maneno), ambayo lazima sawa na sifuri. Baada ya uwakilishi kama huu, unaweza kutumia sifa ya bidhaa, ambayo itakuwa sawa na sifuri tu wakati mmoja au zaidi ya wanachama wake (wote) ni sifuri.
Sasa zingatia mfuatano wa vitendo mahususi vinavyohitajika kufanywa ili kupata mizizi ya mlingano:
- Hamisha washiriki wote hadi sehemu moja ya usemi (kwa mfano, kushoto) ili 0 pekee ibaki katika sehemu yake nyingine (kulia).
- Wakilisha jumla ya masharti katika sehemu moja ya mlingano kama bidhaa ya milinganyo miwili ya mstari.
- Weka kila moja ya vielezi vya mstari hadi sufuri na uzitatue.
Kama unavyoona, kanuni ya uainishaji ni rahisi sana, hata hivyo, wanafunzi wengi wana matatizo wakati wa utekelezaji wa hatua ya 2, kwa hivyo tutaieleza kwa undani zaidi.
Ili kukisia ni vielezi vipi 2 vya mstari, vikizidishwa kwa kila kimoja, vitatoa mlingano wa quadratic unaohitajika, unahitaji kukumbuka sheria mbili rahisi:
- Migawo ya mstari ya semi mbili za mstari, inapozidishwa kwa kila moja, inapaswa kutoa mgawo wa kwanza wa mlinganyo wa quadratic, yaani, nambari a.
- Masharti yasiyolipishwa ya semi za mstari, yanapozidishwa, yanapaswa kutoa nambari c ya mlinganyo unaotakiwa.
Baada ya nambari zote za vipengele kuchaguliwa, zinapaswa kuzidishwa, na zikitoa mlinganyo unaotakiwa, basi nenda kwenye hatua ya 3algorithm hapo juu, vinginevyo unapaswa kubadilisha vizidishi, lakini unahitaji kufanya hivi ili sheria zilizo hapo juu zifuatwe kila wakati.
Mfano wa suluhu kwa mbinu ya uainishaji
Hebu tuonyeshe kwa uwazi jinsi algoriti ya kusuluhisha mlinganyo wa quadratic ni kutunga na kutafuta mizizi isiyojulikana. Acha usemi wa kiholela utolewe, kwa mfano, 2x-5+5x2-2x2=x2+2+x2+1. Wacha tuendelee kwenye suluhisho lake, tukizingatia mlolongo wa vidokezo kutoka 1 hadi 3, ambavyo vimeainishwa katika aya iliyotangulia ya kifungu hicho.
Kipengee cha 1. Sogeza masharti yote hadi upande wa kushoto na uyapange katika mfuatano wa kitamaduni wa mlingano wa quadratic. Tuna usawa ufuatao: 2x+(-8)+x2=0.
Kipengee cha 2. Tunakigawanya kuwa bidhaa ya milinganyo ya mstari. Kwa kuwa a=1, na c=-8, basi tutachagua, kwa mfano, bidhaa hiyo (x-2)(x+4). Inakidhi sheria za kutafuta sababu zinazotarajiwa zilizoainishwa katika aya hapo juu. Ikiwa tutafungua mabano, tunapata: -8+2x+x2, yaani, tunapata usemi sawa kabisa na upande wa kushoto wa equation. Hii inamaanisha kuwa tulikisia vizidishi kwa usahihi, na tunaweza kuendelea hadi hatua ya 3 ya kanuni.
Kipengee cha 3. Sawazisha kila kipengele hadi sifuri, tunapata: x=-4 na x=2.
Iwapo kuna shaka yoyote kuhusu matokeo, inashauriwa kuangalia kwa kubadilisha mizizi iliyopatikana kwenye mlinganyo wa asili. Katika hali hii, tunayo: 22+22-8=0 na 2(-4)+(-4)2 -8=0. Mizizi imepatikana kwa usahihi.
Kwa hivyo, kwa kutumia mbinu ya uainishaji, tuligundua kuwa mlinganyo uliotolewa una mizizi miwili ya tofauti.ina: 2 na -4.
Njia 2. Kamilisha kwa mraba kamili
Katika aljebra ya milinganyo ya mraba, njia ya kuzidisha haiwezi kutumika kila wakati, kwani katika kesi ya maadili ya sehemu ya mgawo wa mlinganyo wa quadratic, ugumu huibuka katika utekelezaji wa aya ya 2 ya algoriti.
Mbinu kamili ya mraba, kwa upande wake, ni ya ulimwengu wote na inaweza kutumika kwa milinganyo ya quadratic ya aina yoyote. Kiini chake ni kufanya shughuli zifuatazo:
- Sheria na masharti ya mlingano ulio na vihesabu a na b lazima yahamishwe hadi sehemu moja ya mlinganyo, na neno lisilolipishwa c hadi lingine.
- Ifuatayo, sehemu za usawa (kulia na kushoto) zinapaswa kugawanywa kwa mgawo a, yaani, kuwasilisha mlinganyo katika umbo lililopunguzwa (a=1).
- Himilisha sheria na masharti kwa viambajengo a na b ili kuwakilisha kama mraba wa mlingano wa mstari. Kwa kuwa \u003d 1, basi mgawo wa mstari utakuwa sawa na 1, kama kwa muda wa bure wa equation ya mstari, basi inapaswa kuwa sawa na nusu ya mgawo wa mstari wa equation iliyopunguzwa ya quadratic. Baada ya mraba wa usemi wa mstari kuchorwa, ni muhimu kuongeza nambari inayolingana kwa upande wa kulia wa usawa, ambapo neno la bure liko, ambalo linapatikana kwa kupanua mraba.
- Chukua mzizi wa mraba kwa ishara "+" na "-" na utatue mlingano wa mstari ambao tayari umepatikana.
Algoriti iliyofafanuliwa inaweza kuonekana mwanzoni kuwa ngumu, hata hivyo, kiutendaji ni rahisi kutekeleza kuliko mbinu ya uainishaji.
Mfano wa suluhu kwa kutumia kijalizo kamili cha mraba
Hebu tutoe mfano wa mlingano wa quadratic wa kufunza utatuzi wake kwa mbinu iliyoelezwa katika aya iliyotangulia. Acha mlingano wa roboduara -10 - 6x+5x2=0 itolewe. Tunaanza kuitatua kwa kufuata kanuni iliyoelezwa hapo juu.
Kipengee 1. Tunatumia mbinu ya kuhamisha wakati wa kutatua milinganyo ya mraba, tunapata: - 6x+5x2=10.
Pointi 2. Njia iliyopunguzwa ya mlingano huu hupatikana kwa kugawanya kwa nambari 5 ya kila mwanachama wake (ikiwa sehemu zote mbili zimegawanywa au kuzidishwa kwa nambari sawa, basi usawa utahifadhiwa). Kama matokeo ya mabadiliko hayo, tunapata: x2 - 6/5x=2.
Kipengee 3. Nusu ya mgawo - 6/5 ni -6/10=-3/5, tumia nambari hii kukamilisha mraba, tunapata: (-3/5+x) 2 . Tunaipanua na neno lisilolipishwa linalotokana linapaswa kupunguzwa kutoka upande wa kushoto wa usawa ili kukidhi fomu asili ya mlinganyo wa quadratic, ambayo ni sawa na kuiongeza kwa upande wa kulia. Kwa matokeo, tunapata: (-3/5+x)2=59/25.
Kipengee 4. Piga hesabu ya mzizi wa mraba kwa ishara chanya na hasi na upate mizizi: x=3/5±√59/5=(3±√59)/5. Mizizi miwili iliyopatikana ina thamani zifuatazo: x1=(√59+3)/5 na x1=(3-√59)/5.
Kwa kuwa hesabu zilizofanywa zinahusiana na mizizi, kuna uwezekano mkubwa wa kufanya makosa. Kwa hivyo, inashauriwa kuangalia usahihi wa mizizi x2 na x1. Tunapata kwa x1: 5((3+√59)/5)2-6(3+√59)/5 - 10=(9+59+6√59)/5 - 18/5 - 6√59/5-10=68/5-68/5=0. Badilisha sasax2: 5(3-√59)/5)2-6(3-√59)/5 - 10=(9+59-6√59)/5 - 18/5 + 6√59/5-10=68/5-68/5=0.
Kwa hivyo, tumeonyesha kwamba mizizi iliyopatikana ya mlingano ni kweli.
Njia 3. Utumiaji wa fomula inayojulikana
Njia hii ya kusuluhisha milinganyo ya quadratic labda ndiyo rahisi zaidi, kwa kuwa inajumuisha kubadilisha vigawo hadi kwa fomula inayojulikana. Ili kuitumia, hauitaji kufikiria juu ya kuandaa algorithms ya suluhisho, inatosha kukumbuka formula moja tu. Imeonyeshwa kwenye picha hapo juu.
Katika fomula hii, usemi mkali (b2-4ac) unaitwa kibaguzi (D). Kutoka kwa thamani yake inategemea mizizi gani inayopatikana. Kuna matukio 3:
- D>0, kisha mzizi wa mlingano wa pili huwa na halisi na tofauti.
- D=0, kisha mtu anapata mzizi, ambao unaweza kukokotwa kutoka kwa usemi x=-b/(a2).
- D<0, kisha unapata mizizi miwili tofauti ya kuwazia, ambayo inawakilishwa kama nambari changamano. Kwa mfano, nambari 3-5i ni changamano, ilhali kitengo cha kuwazia i kinakidhi sifa: i2=-1.
Mfano wa suluhu kwa kukokotoa kibaguzi
Hebu tutoe mfano wa mlinganyo wa quadratic ili kufanya mazoezi kwa kutumia fomula iliyo hapo juu. Pata mizizi ya -3x2-6+3x+4x=0. Kwanza, hesabu thamani ya kibaguzi, tunapata: D=b 2 -4ac=72-4(-3)(-6)=-23.
Kwa kuwa D<0 inapatikana, inamaanisha kwamba mizizi ya mlingano unaozingatiwa ni nambari changamano. Wacha tuzipate kwa kubadilisha thamani iliyopatikana D kwenye fomula iliyotolewa katika aya iliyotangulia (pia imeonyeshwa kwenye picha hapo juu). Tunapata: x=7/6±√(-23)/(-6)=(7±i√23)/6.
Njia 4. Kwa kutumia Grafu ya Utendaji
Pia inaitwa mbinu ya mchoro ya kutatua milinganyo ya mraba. Inapaswa kusemwa kwamba, kama sheria, haitumiwi kwa kiasi, lakini kwa uchanganuzi wa ubora wa mlinganyo unaozingatiwa.
Kiini cha mbinu ni kupanga kazi ya quadratic y=f(x), ambayo ni parabola. Kisha, ni muhimu kuamua ni katika pointi gani parabola inakatiza mhimili wa x (X), watakuwa mizizi ya mlingano unaolingana.
Ili kujua ikiwa parabola itakatiza mhimili wa X, inatosha kujua nafasi ya kiwango cha chini (kiwango cha juu) na mwelekeo wa matawi yake (yanaweza kuongezeka au kupungua). Kuna sifa mbili za curve hii za kukumbuka:
- Ikiwa a>0 - parabola za tawi zimeelekezwa juu, kinyume chake, ikiwa a<0, basi zinashuka.
- Kiwango cha chini kabisa (kiwango cha juu) cha kuratibu cha parabola kila mara ni x=-b/(2a).
Kwa mfano, unahitaji kubainisha kama equation -4x+5x2+10=0 ina mizizi. Parabola sambamba itaelekezwa juu, kwani a=5>0. Upeo wake wa mwisho una viwianishi: x=4/10=2/5, y=-42/5+5(2/5)2+10=9, 2. Tangu kiwango cha chini cha mkunjo kiko juu ya mhimili wa x (y=9, 2), basi haukatishi mwisho kwa yoyote.maadili ya x. Hiyo ni, mlinganyo uliotolewa hauna mizizi halisi.
Nadharia ya Vieta
Kama ilivyobainishwa hapo juu, nadharia hii ni tokeo la mbinu Na. 3, ambayo inategemea utumizi wa fomula yenye kibaguzi. Kiini cha theorem ya Vieta ni kwamba inakuwezesha kuunganisha coefficients ya equation na mizizi yake katika usawa. Wacha tupate usawa unaolingana.
Wacha tutumie fomula ya kukokotoa mizizi kupitia kibaguzi. Ongeza mizizi miwili, tunapata: x1+x2=-b/a. Sasa wacha tuzidishe mizizi kwa kila mmoja: x1x2, baada ya msururu wa kurahisisha tunapata nambari c/a.
Kwa hivyo, ili kutatua milinganyo ya quadratic kwa nadharia ya Vieta, unaweza kutumia usawa mbili zilizopatikana. Ikiwa coefficients zote tatu za equation zinajulikana, basi mizizi inaweza kupatikana kwa kutatua mfumo unaofaa wa milinganyo hii miwili.
Mfano wa kutumia nadharia ya Vieta
Unahitaji kuandika mlinganyo wa quadratic ikiwa unajua kuwa ina fomu ya x2+c=-bx na mizizi yake ni 3 na -4.
Kwa kuwa a=1 katika mlinganyo unaozingatiwa, fomula za Vieta zitaonekana kama: x2+x1=-b na x2x1=p. Kubadilisha maadili yanayojulikana ya mizizi, tunapata: b=1 na c=-12. Kwa hivyo, mlinganyo uliopunguzwa wa quadratic uliorejeshwa utaonekana kama: x2-12=-1x. Unaweza kubadilisha thamani ya mizizi ndani yake na uhakikishe kuwa usawa unashikilia.
Badili matumizi ya nadharia ya Vieta, yaani, hesabu ya mizizi kwaaina inayojulikana ya mlinganyo, huruhusu nambari kamili ndogo a, b na c kupata suluhu haraka (kwa angavu).
