Kutokuwepo kwa usawa kwa aljebra au mifumo yake yenye viambajengo vya kimantiki ambavyo suluhu zake hutafutwa kwa nambari kamili au kamili. Kama sheria, idadi ya haijulikani katika milinganyo ya Diophantine ni kubwa zaidi. Kwa hivyo, pia hujulikana kama usawa usio na kipimo. Katika hisabati ya kisasa, dhana iliyo hapo juu inatumika kwa milinganyo ya aljebra ambayo suluhu zake hutafutwa katika nambari kamili za aljebra za upanuzi fulani wa vigeu vya Q-rational, uga wa viambishi vya p-adic, n.k.
Chimbuko la ukosefu huu wa usawa
Utafiti wa milinganyo ya Diophantine upo kwenye mpaka kati ya nadharia ya nambari na jiometri ya aljebra. Kupata suluhu katika viambishi kamili ni mojawapo ya matatizo ya kihesabu ya zamani zaidi. Tayari mwanzoni mwa milenia ya pili KK. Wababiloni wa kale waliweza kutatua mifumo ya milinganyo na mambo mawili yasiyojulikana. Tawi hili la hisabati lilisitawi zaidi katika Ugiriki ya kale. Hesabu ya Diophantus (yapata karne ya 3 BK) ni chanzo muhimu na kikuu ambacho kina aina na mifumo mbalimbali ya milinganyo.
Katika kitabu hiki, Diophantus alitabiri njia kadhaa za kusoma ukosefu wa usawa wa pili na tatu.digrii ambazo zilikuzwa kikamilifu katika karne ya 19. Uundaji wa nadharia ya nambari za busara na mtafiti huyu wa Ugiriki ya kale ulisababisha uchambuzi wa suluhisho za kimantiki kwa mifumo isiyo na kikomo, ambayo inafuatwa kwa utaratibu katika kitabu chake. Ingawa kazi yake ina masuluhisho ya milinganyo mahususi ya Diophantine, kuna sababu ya kuamini kwamba pia alifahamu mbinu kadhaa za jumla.
Utafiti wa ukosefu huu wa usawa kwa kawaida huhusishwa na matatizo makubwa. Kwa sababu ya ukweli kwamba zina polimanomia zilizo na viambajengo kamili F (x, y1, …, y). Kulingana na hili, hitimisho lilitolewa kuwa hakuna algoriti moja ambayo inaweza kutumika kubainisha kwa x yoyote iliyotolewa kama mlinganyo F (x, y1, …., y ). Hali inaweza kutatuliwa kwa y1, …, y . Mifano ya polima kama hizo inaweza kuandikwa.
Ukosefu wa usawa rahisi
ax + by=1, ambapo a na b ni nambari kamili na kuu, ina idadi kubwa ya utekelezaji (kama x0, y0 matokeo huundwa, kisha jozi ya vigeu x=x0 + b na y=y0 -an, ambapo n ni ya kiholela, pia itazingatiwa kuwa ni ukosefu wa usawa). Mfano mwingine wa milinganyo ya Diophantine ni x2 + y2 =z2. Suluhisho chanya za kukosekana kwa usawa huu ni urefu wa pande ndogo x, y na pembetatu za kulia, pamoja na hypotenuse z yenye vipimo vya upande kamili. Nambari hizi zinajulikana kama nambari za Pythagorean. Mapacha yote matatu kwa heshima na mkuu yameonyeshwavigezo hapo juu vimetolewa na x=m2 – n2, y=2mn, z=m2+ n2, ambapo m na n ni nambari kamili na nambari kuu (m>n>0).
Diophantus katika Hesabu yake hutafuta suluhu za kimantiki (si lazima ziwe muhimu) za aina maalum za ukosefu wake wa usawa. Nadharia ya jumla ya kutatua milinganyo ya diophantine ya shahada ya kwanza ilitengenezwa na C. G. Baschet katika karne ya 17. Wanasayansi wengine mwanzoni mwa karne ya 19 walisoma hasa ukosefu wa usawa kama vile ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, ambapo a, b, c, d, e, na f ni za jumla, tofauti tofauti, na mbili zisizojulikana za shahada ya pili. Lagrange alitumia sehemu zilizoendelea katika utafiti wake. Gauss ya aina za quadratic ilitengeneza nadharia ya jumla inayozingatia baadhi ya aina za suluhu.
Katika utafiti wa ukosefu huu wa usawa wa daraja la pili, maendeleo makubwa yalipatikana katika karne ya 20 pekee. A. Thue aligundua kuwa mlingano wa Diophantine ni0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, ambapo n≧3, a0, …, a , c ni nambari kamili, na 0tn + …+ a haiwezi kuwa na idadi isiyo na kikomo ya masuluhisho kamili. Hata hivyo, mbinu ya Thue haikuendelezwa ipasavyo. A. Baker aliunda nadharia bora zinazotoa makadirio ya utendakazi wa baadhi ya milinganyo ya aina hii. BN Delaunay alipendekeza mbinu nyingine ya uchunguzi inayotumika kwa tabaka finyu zaidi la ukosefu huu wa usawa. Hasa, fomu ax3 + y3 =1 inaweza kutatuliwa kabisa kwa njia hii.
Milingano ya Diophantine: mbinu za suluhisho
Nadharia ya Diophantus ina mielekeo mingi. Kwa hivyo, shida inayojulikana sana katika mfumo huu ni dhana kwamba hakuna suluhisho lisilo la kawaida la milinganyo ya Diophantine xn + y =z. n kama n ≧ 3 (swali la Fermat). Utafiti wa utimilifu kamili wa usawa ni jumla ya asili ya shida ya mapacha watatu wa Pythagorean. Euler alipata suluhu chanya la tatizo la Fermat kwa n=4. Kwa mujibu wa matokeo haya, inarejelea uthibitisho wa tafiti kamili zisizo na sufuri za mlingano ikiwa n ni nambari kuu isiyo ya kawaida.
Utafiti kuhusu uamuzi haujakamilika. Ugumu na utekelezaji wake unahusiana na ukweli kwamba factorization rahisi katika pete ya integers algebraic si ya kipekee. Nadharia ya vigawanyiko katika mfumo huu kwa matabaka mengi ya vielezi wakuu n inafanya uwezekano wa kuthibitisha uhalali wa nadharia ya Fermat. Kwa hivyo, mlinganyo wa mstari wa Diophantine wenye vitu viwili visivyojulikana hutimizwa kwa mbinu na njia zilizopo.
Aina na aina za kazi zilizoelezwa
Hesabu ya pete za nambari kamili za aljebra pia hutumika katika matatizo na masuluhisho mengine mengi ya milinganyo ya Diophantine. Kwa mfano, mbinu kama hizo zilitumika wakati wa kutimiza ukosefu wa usawa wa fomu N(a1 x1 +…+ a x)=m, ambapo N(a) ni kawaida ya a, na x1, …, xn vigezo muhimu vya kimantiki vinapatikana. Darasa hili linajumuisha mlinganyo wa Pell x2–dy2=1.
Thamani a1, …, a zinazoonekana, milinganyo hii imegawanywa katika aina mbili. Aina ya kwanza - zinazojulikana kama fomu kamili - ni pamoja na milinganyo ambayo kati ya a kuna nambari huru za m mstari juu ya uwanja wa vigeu vya kimantiki Q, ambapo m=[Q(a1, …, a):Q], ambapo kuna viwango vya vipeo vya aljebra Q (a1, …, a ) juu ya Q. Aina zisizokamilika ni zile ambayo idadi ya juu zaidi yai chini ya m.
Fomu kamili ni rahisi zaidi, utafiti wao umekamilika, na masuluhisho yote yanaweza kuelezwa. Aina ya pili, aina zisizo kamili, ni ngumu zaidi, na maendeleo ya nadharia hiyo bado haijakamilika. Milinganyo kama hii huchunguzwa kwa kutumia makadirio ya Diophantine, ambayo ni pamoja na ukosefu wa usawa F(x, y)=C, ambapo F (x, y) ni ponomia isiyoweza kurekebishwa, yenye homogeneous ya shahada n≧3. Kwa hivyo, tunaweza kudhani kuwa yi→∞. Ipasavyo, ikiwa yi ni kubwa vya kutosha, basi ukosefu wa usawa utapingana na nadharia ya Thue, Siegel na Roth, ambayo inafuata kwamba F(x, y)=C, ambapo F ni. aina ya shahada ya tatu au zaidi, isiyoweza kupunguzwa haiwezi kuwa na idadi isiyo na kikomo ya suluhu.
Jinsi ya kutatua mlinganyo wa Diophantine?
Mfano huu ni darasa finyu kati ya zote. Kwa mfano, licha ya usahili wao, x3 + y3 + z3=N, na x2 +y 2 +z2 +u2 =N hazijajumuishwa katika darasa hili. Utafiti wa suluhu ni tawi lililosomwa kwa uangalifu la hesabu za Diophantine, ambapo msingi ni uwakilishi wa aina za nambari za quadratic. Lagrangeiliunda nadharia inayosema kwamba utimilifu upo kwa N. Nambari yoyote asilia inaweza kuwakilishwa kama jumla ya miraba mitatu (nadharia ya Gauss), lakini haipaswi kuwa ya umbo 4a (8K- 1), ambapo a na k ni vipeo kamili visivyo hasi.
Suluhu za kimantiki au muhimu kwa mfumo wa mlingano wa Diophantine wa aina F (x1, …, x)=a, ambapo F (x 1, …, x) ni fomu ya roboduara yenye viambajengo kamili. Kwa hivyo, kwa mujibu wa nadharia ya Minkowski-Hasse, ukosefu wa usawa ∑aijxixj=b ijna b ni mantiki, ina suluhu muhimu katika nambari halisi na p-adic kwa kila nambari kuu p ikiwa tu inaweza kutatuliwa katika muundo huu.
Kwa sababu ya ugumu wa asili, utafiti wa nambari zilizo na aina za kiholela za digrii ya tatu na zaidi umesomwa kwa kiwango kidogo. Njia kuu ya utekelezaji ni njia ya hesabu za trigonometric. Katika kesi hii, idadi ya masuluhisho ya equation imeandikwa kwa uwazi kulingana na muunganisho wa Fourier. Baada ya hayo, njia ya mazingira hutumiwa kuelezea idadi ya utimilifu wa usawa wa miunganisho inayolingana. Njia ya hesabu za trigonometric inategemea sifa za algebra za kutofautiana. Kuna idadi kubwa ya mbinu za kimsingi za kutatua milinganyo ya mstari wa Diophantine.
Uchambuzi wa Diophantine
Idara ya hisabati, mada ambayo ni utafiti wa suluhisho muhimu na za busara za mifumo ya equations ya algebra kwa njia za jiometri, kutoka kwa sawa.nyanja. Katika nusu ya pili ya karne ya 19, kuibuka kwa nadharia hii ya nambari ilisababisha uchunguzi wa equations ya Diophantine kutoka kwa uwanja wa kiholela na coefficients, na ufumbuzi ulizingatiwa ama ndani yake au katika pete zake. Mfumo wa kazi za aljebra uliendelezwa sambamba na nambari. Ulinganifu wa kimsingi kati ya hizo mbili, ambao ulisisitizwa na D. Hilbert na, haswa, L. Kronecker, ulisababisha ujenzi wa sare wa dhana mbalimbali za hesabu, ambazo kwa kawaida huitwa kimataifa.
Hii inaonekana hasa ikiwa utendakazi wa aljebra unaochunguzwa juu ya uga wenye kikomo wa viambatisho ni kigezo kimoja. Dhana kama vile nadharia ya uwanja wa darasa, kigawanyiko, na matawi na matokeo ni kielelezo kizuri cha yaliyo hapo juu. Mtazamo huu ulipitishwa katika mfumo wa kutofautiana kwa Diophantine baadaye tu, na utafiti wa utaratibu sio tu na coefficients ya nambari, lakini pia na coefficients ambayo ni kazi, ilianza tu katika miaka ya 1950. Moja ya mambo muhimu katika mbinu hii ilikuwa maendeleo ya jiometri ya aljebra. Utafiti wa wakati mmoja wa nyanja za nambari na utendakazi, ambao hujitokeza kama vipengele viwili muhimu sawa vya somo moja, haukutoa tu matokeo ya kifahari na ya kusadikisha, bali ulisababisha uboreshaji wa mada hizo mbili.
Katika jiometri ya aljebra, dhana ya aina mbalimbali hubadilishwa na seti isiyobadilika ya usawa juu ya sehemu fulani K, na masuluhisho yake hubadilishwa na pointi za kimantiki zenye thamani katika K au katika kiendelezi chake cha mwisho. Mtu anaweza kusema ipasavyo kwamba shida ya msingi ya jiometri ya Diophantine ni kusoma kwa vidokezo vya busaraya seti ya aljebraic X(K), ilhali X ni nambari fulani katika sehemu ya K. Utekelezaji wa nambari kamili una maana ya kijiometri katika milinganyo ya mstari wa Diophantine.
Masomo ya ukosefu wa usawa na chaguo za utekelezaji
Wakati wa kusoma pointi za busara (au muhimu) kwenye aina za aljebra, tatizo la kwanza hutokea, ambalo ni kuwepo kwao. Tatizo la kumi la Hilbert limeundwa kama tatizo la kutafuta njia ya jumla ya kutatua tatizo hili. Katika mchakato wa kuunda ufafanuzi halisi wa algorithm na baada ya kuthibitishwa kuwa hakuna utekelezaji kama huo kwa idadi kubwa ya shida, shida ilipata matokeo hasi dhahiri, na swali la kufurahisha zaidi ni ufafanuzi wa madarasa ya equations ya Diophantine. ambayo mfumo hapo juu upo. Mbinu ya asili zaidi, kutoka kwa mtazamo wa aljebra, ni ile inayoitwa kanuni ya Hasse: sehemu ya awali K inasomwa pamoja na ukamilishaji wake Kv juu ya makadirio yote yanayowezekana. Kwa kuwa X(K)=X(Kv) ni sharti muhimu kwa kuwepo, na nukta ya K inazingatia kwamba seti X(Kv) si tupu kwa v.
Umuhimu upo katika ukweli kwamba inaleta pamoja matatizo mawili. Ya pili ni rahisi zaidi, inaweza kutatuliwa na algorithm inayojulikana. Katika hali fulani ambapo aina ya X inakisiwa, lema ya Hansel na jumla yake hufanya upunguzaji zaidi iwezekanavyo: tatizo linaweza kupunguzwa kwa utafiti wa pointi za busara juu ya uwanja wa mwisho. Kisha anaamua kujenga dhana ama kupitia utafiti thabiti au mbinu bora zaidi.
Mwishojambo la kuzingatia ni kwamba seti X(Kv) sio tupu kwa wote ila nambari yenye kikomo ya v, kwa hivyo idadi ya masharti huwa na kikomo na zinaweza kujaribiwa vyema. Walakini, kanuni ya Hasse haitumiki kwa viwango vya digrii. Kwa mfano, 3x3 + 4y3=5 ina pointi katika sehemu zote za nambari za p-adic na katika mfumo wa nambari halisi, lakini haina alama za busara.
Njia hii ilitumika kama kianzio cha kuunda dhana inayoelezea aina za nafasi kuu zinazofanana za aina za Abelian kufanya "mkengeuko" kutoka kwa kanuni ya Hasse. Inaelezewa kwa suala la muundo maalum ambao unaweza kuhusishwa na kila aina (kikundi cha Tate-Shafarevich). Ugumu kuu wa nadharia iko katika ukweli kwamba njia za kuhesabu vikundi ni ngumu kupata. Dhana hii pia imepanuliwa kwa aina zingine za aina za aljebra.
Tafuta algoriti ya kutimiza ukosefu wa usawa
Wazo lingine la kiheuristic lililotumika katika utafiti wa milinganyo ya Diophantine ni kwamba ikiwa idadi ya vigeu vinavyohusika katika seti ya ukosefu wa usawa ni kubwa, basi mfumo huwa na suluhu. Walakini, hii ni ngumu sana kudhibitisha kwa kesi fulani. Mbinu ya jumla ya matatizo ya aina hii hutumia nadharia ya nambari ya uchanganuzi na inategemea makadirio ya hesabu za trigonometric. Njia hii ilitumika kwa aina maalum za milinganyo.
Hata hivyo, baadaye ilithibitishwa kwa msaada wake kwamba ikiwa umbo la shahada isiyo ya kawaida ni F, katika dna n vigeuzo na vipatanishi vya busara, basi n ni kubwa ya kutosha ikilinganishwa na d, hivyo hypersurface projective F=0 ina uhakika wa busara. Kulingana na dhana ya Artin, matokeo haya ni kweli hata kama n > d2. Hii imethibitishwa tu kwa fomu za quadratic. Shida zinazofanana zinaweza kuulizwa kwa nyanja zingine pia. Tatizo kuu la jiometri ya Diophantine ni muundo wa seti ya pointi kamili au za busara na utafiti wao, na swali la kwanza la kufafanuliwa ni ikiwa seti hii ni ya mwisho. Katika tatizo hili, hali kawaida huwa na idadi ya mwisho ya utekelezaji ikiwa kiwango cha mfumo ni kubwa zaidi kuliko idadi ya vigezo. Hili ndilo wazo la msingi.
Kutokuwa na usawa kwenye mistari na mikunjo
Kundi X(K) linaweza kuwakilishwa kama jumla ya moja kwa moja ya muundo huria wa cheo r na kikundi chenye kikomo cha mpangilio n. Tangu miaka ya 1930, swali la ikiwa nambari hizi zimefungwa kwenye seti ya mikondo yote ya duaradufu juu ya uwanja fulani K. Mipaka ya torsion n ilionyeshwa katika miaka ya sabini. Kuna mikondo ya kiwango cha juu kiholela katika kesi ya utendakazi. Katika kisa cha nambari, bado hakuna jibu kwa swali hili.
Mwishowe, dhana ya Mordell inasema kwamba idadi ya pointi muhimu ina kikomo kwa mkunjo wa jenasi g>1. Katika kesi ya kazi, wazo hili lilionyeshwa na Yu. I. Manin mnamo 1963. Chombo kikuu kinachotumiwa katika kuthibitisha nadharia za ukomo katika jiometri ya Diophantine ni urefu. Kati ya aina za algebra, vipimo juu ya moja ni abelianmanifolds, ambazo ni analogi zenye miraba mingi za mikunjo ya duaradufu, zimechunguzwa kwa kina zaidi.
A. Weil alijumlisha nadharia juu ya ukomo wa idadi ya jenereta za kikundi cha vidokezo vya busara kwa aina za Abelian za mwelekeo wowote (wazo la Mordell-Weil), akiipanua. Mnamo miaka ya 1960, dhana ya Birch na Swinnerton-Dyer ilionekana, ikiboresha hii na kikundi na kazi za zeta za anuwai. Ushahidi wa nambari unaunga mkono dhana hii.
Tatizo la utatuzi
Tatizo la kutafuta algoriti ambayo inaweza kutumika kubainisha iwapo mlinganyo wowote wa Diophantine una suluhu. Kipengele muhimu cha tatizo lililotolewa ni utafutaji wa njia ya ulimwengu wote ambayo ingefaa kwa usawa wowote. Njia kama hiyo pia ingeruhusu kutatua mifumo iliyo hapo juu, kwa kuwa ni sawa na P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 au p21+ ⋯ + P2K=0. n12+⋯+pK2=0. Shida ya kutafuta njia kama hiyo ya ulimwengu wote ya kupata suluhisho la usawa wa mstari katika nambari kamili ilitolewa na D. Gilbert.
Mapema miaka ya 1950, tafiti za kwanza zilionekana zenye lengo la kuthibitisha kutokuwepo kwa algoriti ya kutatua milinganyo ya Diophantine. Kwa wakati huu, dhana ya Davis ilionekana, ambayo ilisema kwamba seti yoyote inayoweza kuhesabiwa pia ni ya mwanasayansi wa Kigiriki. Kwa sababu mifano ya seti zisizoweza kuamuliwa kialgorithm inajulikana, lakini zinaweza kuhesabiwa kwa kujirudia. Inafuata kwamba dhana ya Davis ni kweli na tatizo la utatuzi wa milinganyo hiiina utekelezaji mbaya.
Baada ya hapo, kwa dhana ya Davis, inabakia kuthibitisha kwamba kuna mbinu ya kubadilisha ukosefu wa usawa ambayo pia (au haikuwa) wakati huo huo ina suluhu. Ilionyeshwa kuwa mabadiliko hayo ya equation ya Diophantine inawezekana ikiwa ina mali mbili hapo juu: 1) katika ufumbuzi wowote wa aina hii v ≦ uu; 2) kwa k yoyote, kuna utekelezaji wenye ukuaji mkubwa.
Mfano wa mlinganyo wa mstari wa Diophantine wa darasa hili ulikamilisha uthibitishaji. Tatizo la kuwepo kwa algoriti ya utatuzi na utambuzi wa usawa huu katika nambari za busara bado inachukuliwa kuwa swali muhimu na wazi ambalo halijasomwa vya kutosha.
