Baadhi ya matatizo ya hesabu yanahitaji uwezo wa kukokotoa mzizi wa mraba. Matatizo haya ni pamoja na kutatua milinganyo ya mpangilio wa pili. Katika makala haya, tunawasilisha njia bora ya kuhesabu mizizi ya mraba na kuitumia wakati wa kufanya kazi na fomula za mizizi ya mlingano wa quadratic.
Mzizi wa mraba ni nini?
Katika hisabati, dhana hii inalingana na ishara √. Data ya kihistoria inasema kwamba ilianza kutumika kwa mara ya kwanza karibu nusu ya kwanza ya karne ya 16 huko Ujerumani (kazi ya kwanza ya Kijerumani kuhusu algebra na Christoph Rudolf). Wanasayansi wanaamini kwamba ishara hii ni herufi ya Kilatini r (radix ina maana "mzizi" katika Kilatini).
Mzizi wa nambari yoyote ni sawa na thamani kama hiyo, mraba ambao unalingana na usemi wa mzizi. Katika lugha ya hisabati, ufafanuzi huu utaonekana kama hii: √x=y ikiwa y2=x.
Mzizi wa nambari chanya (x > 0) pianambari chanya (y > 0), lakini ikiwa mzizi umechukuliwa kutoka kwa nambari hasi (x < 0), basi matokeo yake yatakuwa tayari nambari changamano, ikijumuisha kitengo cha kufikiria i.
Ifuatayo ni mifano miwili rahisi:
√9=3 kwa sababu 32 =9; √(-9)=3i kwa sababu mimi2=-1.
Mfumo wa kurudia wa Heron wa kutafuta mizizi ya mraba
Mifano iliyo hapo juu ni rahisi sana, na kuhesabu mizizi ndani yake si vigumu. Ugumu huanza kuonekana tayari wakati wa kupata maadili ya mizizi kwa thamani yoyote ambayo haiwezi kuwakilishwa kama mraba wa nambari asilia, kwa mfano √10, √11, √12, √13, bila kutaja ukweli kwamba katika mazoezi inahitajika kupata mizizi kwa nambari zisizo kamili: kwa mfano √(12, 15), √(8, 5) na kadhalika.
Katika hali zote zilizo hapo juu, mbinu maalum ya kukokotoa mizizi ya mraba inapaswa kutumika. Hivi sasa, njia kadhaa kama hizo zinajulikana: kwa mfano, upanuzi katika safu ya Taylor, mgawanyiko kwa safu, na wengine wengine. Kati ya mbinu zote zinazojulikana, pengine iliyo rahisi na yenye ufanisi zaidi ni matumizi ya fomula ya kurudia ya Heron, ambayo pia inajulikana kama mbinu ya Kibabeli ya kubainisha mizizi ya mraba (kuna ushahidi kwamba Wababiloni wa kale waliitumia katika hesabu zao za vitendo).
Hebu iwe muhimu kubainisha thamani ya √x. Njia ya kutafuta mzizi wa mraba ni kama ifuatavyo:
an+1=1/2(a+x/a), ambapo limn->∞(a)=> x.
Bainisha nukuu hii ya hisabati. Ili kuhesabu √x, unapaswa kuchukua nambari fulani a0 (inaweza kuwa ya kiholela, lakini kwa matokeo ya haraka, unapaswa kuichagua hivi (a0) 2 ilikuwa karibu iwezekanavyo na x, kisha ibadilishe katika fomula ya msingi iliyobainishwa na upate nambari mpya a1, ambayo tayari kuwa karibu na thamani inayotakiwa. ni muhimu kubadilisha 1 kwenye usemi na kupata2 Utaratibu huu unapaswa kurudiwa hadi usahihi unaohitajika upatikane..
Mfano wa kutumia fomula ya kurudia ya Heron
Algorithm iliyoelezewa hapo juu ya kupata mzizi wa mraba wa nambari fulani inaweza kuonekana kuwa ngumu na ya kutatanisha kwa wengi, lakini kwa kweli kila kitu kinageuka kuwa rahisi zaidi, kwani fomula hii hubadilika haraka sana (haswa ikiwa nambari ya bahati imechaguliwa 0).
Hebu tuchukue mfano rahisi: tunahitaji kukokotoa √11. Tunachagua0=3, tangu 32=9, ambayo ni karibu na 11 kuliko 42=16. Kubadilisha katika fomula, tunapata:
a1=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;
a2 =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;
a3=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662.
Hakuna haja ya kuendelea na mahesabu, kwani tumepata kwamba 2 na3 huanza kutofautiana katika desimali ya 5 pekee. mahali. Kwa hivyo, ilikuwa ya kutosha kuomba mara 2 tu ya formulahesabu √11 hadi ndani ya 0.0001.
Kwa sasa, vikokotoo na kompyuta hutumika sana kukokotoa mizizi, hata hivyo, ni muhimu kukumbuka fomula iliyowekwa alama ili kuweza kukokotoa thamani yake halisi.
Milingano ya mpangilio wa pili
Kuelewa mzizi wa mraba ni nini na uwezo wa kuukokotoa hutumika wakati wa kutatua milinganyo ya quadratic. Milinganyo hii ni usawa na moja isiyojulikana, umbo la jumla ambalo limeonyeshwa kwenye mchoro ulio hapa chini.
Hapa c, b na a ni baadhi ya nambari, na lazima isiwe sawa na sifuri, na thamani za c na b zinaweza kuwa za kiholela kabisa, ikijumuisha sifuri.
Thamani zozote za x zinazokidhi usawa ulioonyeshwa kwenye mchoro huitwa mizizi yake (dhana hii haipaswi kuchanganyikiwa na mzizi wa mraba √). Kwa kuwa equation inayozingatiwa ina mpangilio wa 2 (x2), basi hakuwezi kuwa na zaidi ya nambari mbili kwa mizizi yake. Hebu tuangalie jinsi ya kupata mizizi hii baadaye katika makala.
Kutafuta mizizi ya mlinganyo wa quadratic (formula)
Njia hii ya kusuluhisha aina inayozingatiwa ya usawa pia inaitwa zima, au njia kupitia kibaguzi. Inaweza kutumika kwa milinganyo yoyote ya quadratic. Fomula ya kibaguzi na mizizi ya mlinganyo wa quadratic ni kama ifuatavyo:
Inaonyesha kuwa mizizi inategemea thamani ya kila moja ya vigawo vitatu vya mlingano. Aidha, hesabux1 hutofautiana na hesabu x2 pekee kwa ishara iliyo mbele ya mzizi wa mraba. Usemi mkali, ambao ni sawa na b2 - 4ac, si chochote zaidi ya kibaguzi cha usawa unaozingatiwa. Kibaguzi katika fomula ya mizizi ya equation ya quadratic ina jukumu muhimu kwa sababu huamua idadi na aina ya suluhu. Kwa hiyo, ikiwa ni sifuri, basi kutakuwa na suluhisho moja tu, ikiwa ni chanya, basi equation ina mizizi miwili halisi, hatimaye, ubaguzi mbaya husababisha mizizi miwili ngumu x1 na x 2.
Nadharia ya Vieta au sifa fulani za mizizi ya milinganyo ya mpangilio wa pili
Mwishoni mwa karne ya 16, mmoja wa waanzilishi wa algebra ya kisasa, Mfaransa Francois Viet, akisoma milinganyo ya mpangilio wa pili, aliweza kupata sifa za mizizi yake. Kihesabu, zinaweza kuandikwa kama hii:
x1 + x2=-b / a na x1 x 2=c / a.
Sawa zote mbili zinaweza kupatikana kwa urahisi na mtu yeyote, kwa hili ni muhimu tu kufanya shughuli zinazofaa za hisabati kwa kutumia mizizi iliyopatikana kupitia fomula na kibaguzi.
Mchanganyiko wa vielezi hivi viwili unaweza kuitwa kwa usahihi fomula ya pili ya mizizi ya mlingano wa quadratic, ambayo inafanya uwezekano wa kukisia masuluhisho yake bila kutumia kibaguzi. Ikumbukwe hapa kwamba ingawa misemo zote mbili ni halali kila wakati, ni rahisi kuzitumia kutatua mlingano ikiwa tu zinaweza kuhesabiwa.
Kazi ya kuunganisha maarifa yaliyopatikana
Wacha tusuluhishe tatizo la hisabati ambalo tutaonyesha mbinu zote zinazojadiliwa katika makala. Masharti ya shida ni kama ifuatavyo: unahitaji kupata nambari mbili ambazo bidhaa ni -13, na jumla ni 4.
Hali hii inakumbusha mara moja nadharia ya Vieta, kwa kutumia kanuni za jumla ya mizizi ya mraba na bidhaa zao, tunaandika:
x1 + x2=-b / a=4;
x1 x2=c / a=-13.
Kwa kuchukulia=1, kisha b=-4 na c=-13. Vigawo hivi huturuhusu kuandika mlingano wa mpangilio wa pili:
x2 - 4x - 13=0.
Tumia fomula na kibaguzi, tunapata mizizi ifuatayo:
x1, 2=(4 ± √D)/2, D=16 - 41(-13)=68.
Yaani, jukumu lilipunguzwa hadi kupata nambari √68. Kumbuka kuwa 68=417, kisha kwa kutumia sifa ya mzizi wa mraba, tunapata: √68=2√17.
Sasa hebu tutumie fomula inayozingatiwa ya mzizi wa mraba: a0=4, kisha:
a1=1/2(4 + 17/4)=4, 125;
a2=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.
Hakuna haja ya kukokotoa3 kwa sababu thamani zilizopatikana hutofautiana kwa 0.02 pekee. Hivyo, √68=8.246. Kuibadilisha katika fomula ya x 1, 2, tunapata:
x1=(4 + 8, 246)/2=6, 123 na x2=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.
Kama unavyoona, jumla ya nambari zilizopatikana ni 4, lakini ukipata bidhaa zao, itakuwa sawa na -12,999, ambayo inakidhi hali ya tatizo kwa usahihi wa 0.001.
