Mzizi wa mraba wa Hesabu na sifa zake

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Sote tulisoma hesabu za mraba wa hesabu katika darasa la aljebra shuleni. Inatokea kwamba ikiwa ujuzi haujaburudishwa, basi husahaulika haraka, sawa na mizizi. Makala haya yatawafaa wanafunzi wa darasa la nane ambao wanataka kuonyesha upya ujuzi wao katika eneo hili, na watoto wengine wa shule, kwa sababu tunafanya kazi na mizizi katika darasa la 9, 10, na 11.

Historia ya mzizi na shahada

Hata katika nyakati za kale, na hasa katika Misri ya kale, watu walihitaji digrii ili kutekeleza shughuli za nambari. Wakati hapakuwa na dhana kama hiyo, Wamisri waliandika bidhaa ya nambari sawa mara ishirini. Lakini hivi karibuni suluhisho la tatizo liligunduliwa - idadi ya mara ambazo nambari lazima iongezwe yenyewe ilianza kuandikwa kwenye kona ya juu kulia juu yake, na aina hii ya kurekodi imesalia hadi leo.

Na historia ya mzizi wa mraba ilianza takriban miaka 500 iliyopita. Iliteuliwa kwa njia tofauti, na katika karne ya kumi na saba tu Rene Descartes alianzisha ishara kama hiyo, ambayo tunaitumia hadi leo.

Mzizi wa mraba ni nini

Hebu tuanze kwa kueleza mzizi wa mraba ni nini. Mzizi wa mraba wa baadhi ya nambari c ni nambari isiyo hasi ambayo, ikiwa mraba, itakuwa sawa na c. Katika hali hii, c ni kubwa kuliko au sawa na sifuri.

Ili kuleta nambari chini ya mzizi, tunaiweka mraba na kuweka alama ya mzizi juu yake:

32=9, 3=√9

Pia, hatuwezi kupata thamani ya mzizi wa mraba wa nambari hasi, kwa kuwa nambari yoyote katika mraba ni chanya, ambayo ni:

c² ≧ 0, ikiwa √c ni nambari hasi, basi c^{2 < 0 - kinyume na kanuni.}

Ili kuhesabu kwa haraka mizizi ya mraba, unahitaji kujua jedwali la miraba ya nambari.

Mali

Hebu tuzingatie sifa za aljebra za mzizi wa mraba.

1) Ili kutoa mzizi wa mraba wa bidhaa, unahitaji kuchukua mzizi wa kila kipengele. Hiyo ni, inaweza kuandikwa kama bidhaa ya mizizi ya mambo:

√ac=√a × √c, kwa mfano:

√36=√4 × √9

2) Wakati wa kutoa mzizi kutoka kwa sehemu, ni muhimu kung'oa mzizi kando na nambari na denominata, yaani, iandike kama sehemu ya mizizi yao.

3) Thamani iliyopatikana kwa kuchukua mzizi wa mraba wa nambari daima ni sawa na moduli ya nambari hii, kwa kuwa moduli inaweza tu kuwa chanya:

√с2=∣с∣, ∣с∣ > 0.

4) Ili kuinua mzizi kwa mamlaka yoyote, tunaiinuausemi mkali:

(√с)⁴=√с^{4, kwa mfano:}

(√2)⁶ =√2^6=√64=8

5) Mraba wa mzizi wa hesabu wa c ni sawa na nambari hii yenyewe:

(√s)2=s.

Mizizi ya nambari zisizo na mantiki

Wacha tuseme mzizi wa kumi na sita ni rahisi, lakini jinsi ya kuchukua mzizi wa nambari kama 7, 10, 11?

Nambari ambayo mzizi wake ni sehemu isiyo na kikomo isiyo ya muda inaitwa isiyo na mantiki. Hatuwezi kutoa mzizi kutoka kwake peke yetu. Tunaweza tu kulinganisha na nambari zingine. Kwa mfano, chukua mzizi wa 5 na ulinganishe na √4 na √9. Ni wazi kwamba √4 < √5 < √9, kisha 2 < √5 < 3. Hii ina maana kwamba thamani ya mzizi wa tano ni mahali fulani kati ya mbili na tatu, lakini kuna sehemu nyingi za desimali kati yao, na. kuchuna kila ni njia ya kutilia shaka kupata mzizi.

Unaweza kufanya operesheni hii kwenye kikokotoo - hii ndiyo njia rahisi na ya haraka zaidi, lakini katika daraja la 8 hutahitajika kamwe kutoa nambari zisizo na mantiki kutoka kwa mzizi wa mraba wa hesabu. Unahitaji tu kukumbuka maadili ya takriban ya mzizi wa mbili na mzizi wa tatu:

√2 ≈ 1, 4, √3 ≈ 1, 7.

Mifano

Sasa, kulingana na sifa za mzizi wa mraba, tutatatua mifano kadhaa:

1) √17² - 8²

Kumbuka fomula ya tofauti ya miraba:

√(17-8) (17+8)=√9 ×25

Tunajua sifa ya mzizi wa hesabu wa mraba - ili kutoa mzizi kutoka kwa bidhaa, unahitaji kuutoa kutoka kwa kila kipengele:

√9 × √25=3 × 5=15

2) √3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

Tumia sifa nyingine ya mzizi - mraba wa mzizi wa hesabu wa nambari ni sawa na nambari hii yenyewe:

2 × 3 + 6=12

Muhimu! Mara nyingi, wakati wa kuanza kufanya kazi na kutatua mifano na mizizi ya mraba ya hesabu, wanafunzi hufanya makosa yafuatayo:

√12 + 3=√12 + √3 - huwezi kufanya hivyo!

Hatuwezi kuchukua mzizi wa kila neno. Hakuna sheria kama hiyo, lakini inachanganyikiwa na kuchukua mzizi wa kila sababu. Ikiwa tungekuwa na ingizo hili:

√12 × 3, basi itakuwa sawa kuandika √12 × 3=√12 × √3.

Na kwa hivyo tunaweza tu kuandika:

√12 + 3=√15