Nadharia ya Pythagorean: mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu yenye mraba

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2023-12-17 05:42

Kila mwanafunzi anajua kwamba mraba wa hypotenuse daima ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila moja ni ya mraba. Kauli hii inaitwa nadharia ya Pythagorean. Ni mojawapo ya nadharia maarufu zaidi katika trigonometry na hisabati kwa ujumla. Itafakari kwa undani zaidi.

Dhana ya pembetatu ya kulia

Kabla ya kuendelea kuzingatia nadharia ya Pythagorean, ambayo mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu iliyo na mraba, tunapaswa kuzingatia dhana na mali ya pembetatu yenye pembe ya kulia, ambayo theorem yake. ni halali.

Pembetatu ni umbo bapa lenye pembe tatu na pande tatu. Pembetatu ya kulia, kama jina linavyodokeza, ina pembe moja ya kulia, yaani, pembe hii ni 90o.

Kutokana na sifa za jumla za pembetatu zote, inajulikana kuwa jumla ya pembe zote tatu za takwimu hii ni 180^o, ambayo ina maana kwamba kwa pembetatu ya kulia jumla ya pembe mbili ambazo si sahihi, ni 180^o -90^o=90^o. Ukweli wa mwisho unamaanisha kuwa pembe yoyote katika pembetatu ya kulia ambayo si pembe ya kulia daima itakuwa chini ya 90^o.

Upande ulio kinyume na pembe ya kulia unaitwa hypotenuse. Pande zingine mbili ni miguu ya pembetatu, zinaweza kuwa sawa kwa kila mmoja, au zinaweza kutofautiana. Inajulikana kutoka kwa trigonometry kwamba pembe kubwa ambayo upande iko katika pembetatu, urefu wa upande huu ni mkubwa zaidi. Hii inamaanisha kuwa katika pembetatu ya kulia hypotenuse (ilalia kinyume na pembe 90^o) itakuwa kubwa kila wakati kuliko mguu wowote (ilalia kinyume na pembe < 90^o).

nukuu za hisabati za nadharia ya Pythagorean

Nadharia hii inasema kwamba mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila moja ina mraba hapo awali. Ili kuandika uundaji huu kihisabati, fikiria pembetatu ya kulia ambayo pande a, b, na c ni miguu miwili na hypotenuse, mtawalia. Katika kesi hii, nadharia, ambayo imetajwa kama mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu, inaweza kuwakilishwa na fomula ifuatayo: c²=a 2 ^{+ b} 2^{. Kuanzia hapa, fomula nyingine muhimu kwa mazoezi zinaweza kupatikana: a=√(c}2 ^{- b}2^{), b=√(c}) 2 ^{- a}2^{) na c=√(a}2 ^{+ b}2^).

Kumbuka kwamba katika kesi ya pembetatu sawia yenye pembe ya kulia, yaani, a=b, uundaji: mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila mojamraba, imeandikwa kimahesabu kama: c²=a² + b²=2a ^{2, ambayo inamaanisha usawa: c=a√2.}

Usuli wa kihistoria

Nadharia ya Pythagorean, ambayo inasema kwamba mraba wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miguu, ambayo kila moja ina mraba, ilijulikana muda mrefu kabla ya mwanafalsafa maarufu wa Kigiriki hajaizingatia. Mafunjo mengi ya Misri ya kale, pamoja na mabamba ya udongo ya Wababiloni, yanathibitisha kwamba watu hao walitumia mali iliyojulikana ya pande za pembetatu ya kulia. Kwa mfano, moja ya piramidi za kwanza za Misri, Piramidi ya Khafre, ambayo ujenzi wake ulianza karne ya 26 KK (miaka 2000 kabla ya maisha ya Pythagoras), ilijengwa kwa kuzingatia ujuzi wa uwiano wa kipengele katika pembetatu ya haki ya 3x4x5.

Kwa nini basi nadharia inaitwa jina la Mgiriki? Jibu ni rahisi: Pythagoras ndiye wa kwanza kudhibitisha nadharia hii kihisabati. Maandishi yaliyosalia ya Babeli na Misri yanataja tu matumizi yake, lakini hayatoi uthibitisho wowote wa kihisabati.

Inaaminika kuwa Pythagoras alithibitisha nadharia inayozingatiwa kwa kutumia sifa za pembetatu zinazofanana, ambazo alizipata kwa kuchora urefu katika pembetatu ya kulia kutoka pembe 90o hadi hypotenuse.

Mfano wa kutumia nadharia ya Pythagorean

Zingatia tatizo rahisi: ni muhimu kuamua urefu wa ngazi iliyoelekezwa L, ikiwa inajulikana kuwa ina urefu H=3.mita, na umbali kutoka kwa ukuta ambao ngazi inaegemea kwa mguu wake ni P=mita 2.5.

Katika hali hii, H na P ni miguu, na L ni hypotenuse. Kwa kuwa urefu wa hypotenuse ni sawa na jumla ya miraba ya miguu, tunapata: L²=H² + P 2^{, inatoka wapi L=√(H}2 ^{+ P}2^)=√(3) 2 ^{+ 2, 5} 2^{)=mita 3.905 au mita 3 na cm 90.5.}