Hii ni nini - koni? Ufafanuzi, mali, fomula na mfano wa kutatua tatizo

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Koni ni mojawapo ya takwimu za anga za mzunguko, sifa na sifa zake ambazo huchunguzwa na stereometry. Katika makala haya, tutafafanua takwimu hii na kuzingatia kanuni za msingi zinazounganisha vigezo vya mstari wa koni na eneo lake la uso na kiasi.

Koni ni nini?

Kwa mtazamo wa jiometri, tunazungumza juu ya takwimu ya anga, ambayo huundwa na seti ya sehemu za moja kwa moja zinazounganisha sehemu fulani katika nafasi na pointi zote za curve laini ya gorofa. Curve hii inaweza kuwa duara au duaradufu. Kielelezo hapa chini kinaonyesha koni.

Kielelezo kilichowasilishwa hakina ujazo, kwa kuwa kuta za uso wake zina unene usio na kikomo. Hata hivyo, ikiwa imejaa dutu na imefungwa kutoka juu si kwa curve, lakini kwa takwimu ya gorofa, kwa mfano, mduara, basi tutapata mwili imara wa volumetric, ambayo pia huitwa koni..

Umbo la koni mara nyingi linaweza kupatikana maishani. Kwa hivyo, ina koni ya aiskrimu au koni zenye mistari nyeusi na chungwa ambazo zimewekwa kwenye barabara ili kuvutia washiriki wa trafiki.

Vipengee vya koni na aina zake

Kwa kuwa koni si polihedroni, idadi ya vipengele vinavyoiunda si kubwa kama polihedra. Katika jiometri, koni ya jumla ina vipengele vifuatavyo:

• msingi, mkunjo wa mpaka ambao unaitwa directrix, au jenereta;
• ya uso wa kando, ambao ni mkusanyo wa sehemu zote za sehemu za mstari ulionyooka (jenereta) zinazounganisha kipeo na ncha za mkunjo elekezi;
• vertex, ambayo ni sehemu ya makutano ya jenereta.

Kumbuka kwamba kipeo haipaswi kulala kwenye ndege ya msingi, kwa kuwa katika kesi hii koni huharibika na kuwa sura bapa.

Tukichora sehemu ya pembeni kutoka juu hadi chini, tutapata urefu wa takwimu. Ikiwa msingi wa mwisho unaingilia katikati ya kijiometri, basi ni koni moja kwa moja. Ikiwa perpendicular hailingani na kituo cha kijiometri cha msingi, basi takwimu itaelekezwa.

Koni zilizonyooka na za oblique zinaonyeshwa kwenye mchoro. Hapa, urefu na radius ya msingi wa koni huonyeshwa na h na r, kwa mtiririko huo. Mstari unaounganisha juu ya takwimu na kituo cha kijiometri cha msingi ni mhimili wa koni. Inaweza kuonekana kutoka kwa takwimu kwamba kwa takwimu moja kwa moja, urefu upo kwenye mhimili huu, na kwa takwimu inayoelekea, urefu huunda angle na mhimili. Mhimili wa koni unaonyeshwa kwa herufi a.

Koni moja kwa moja yenye msingi wa pande zote

Labda, koni hii ndiyo inayojulikana zaidi kati ya aina zinazozingatiwa za takwimu. Inajumuisha mduara na upandenyuso. Si vigumu kuipata kwa njia za kijiometri. Ili kufanya hivyo, chukua pembetatu ya kulia na uizungushe karibu na mhimili unaofanana na moja ya miguu. Kwa wazi, mguu huu utakuwa urefu wa takwimu, na urefu wa mguu wa pili wa pembetatu huunda radius ya msingi wa koni. Mchoro hapa chini unaonyesha mpango uliofafanuliwa wa kupata takwimu ya mzunguko inayohusika.

Pembetatu inayoonyeshwa inaweza kuzungushwa kuzunguka mguu mwingine, jambo ambalo litasababisha koni yenye kipenyo kikubwa cha msingi na urefu wa chini kuliko ule wa kwanza.

Ili kubainisha bila utata vigezo vyote vya koni iliyonyooka ya duara, mtu anapaswa kujua sifa zake zozote mbili za mstari. Miongoni mwao, radius r, urefu h au urefu wa jenereta g hujulikana. Idadi hizi zote ni urefu wa pande za pembetatu inayozingatiwa ya kulia, kwa hivyo, nadharia ya Pythagorean ni halali kwa unganisho lao:

g²=r²+ h^2..

Eneo la uso

Wakati wa kusoma uso wa takwimu yoyote ya pande tatu, ni rahisi kutumia ukuzaji wake kwenye ndege. Koni sio ubaguzi. Kwa koni ya pande zote, ukuzaji unaonyeshwa hapa chini.

Tunaona kwamba kufunuliwa kwa takwimu kuna sehemu mbili:

1. Mduara unaounda msingi wa koni.
2. Sekta ya duara, ambayo ni uso wa mchoro wa sura.

Eneo la mduara ni rahisi kupata, na fomula inayolingana inajulikana kwa kila mwanafunzi. Akizungumza kuhusu sekta ya mviringo, tunaona kwambani sehemu ya duara yenye radius g (urefu wa jenereta ya koni). Urefu wa arc ya sekta hii ni sawa na mzunguko wa msingi. Vigezo hivi hufanya iwezekanavyo kuamua bila usawa eneo lake. Fomula inayolingana ni:

S=pir2+ pirg.

Neno la kwanza na la pili katika usemi ni koni ya besi na uso wa kando wa eneo, mtawalia.

Ikiwa urefu wa jenereta g haujulikani, lakini urefu wa h wa takwimu umetolewa, basi fomula inaweza kuandikwa upya kama:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Ujazo wa takwimu

Ikiwa tutachukua piramidi moja kwa moja na kuongeza idadi ya pande za msingi wake kwa ukomo, basi sura ya msingi itaelekea kwenye mduara, na uso wa upande wa piramidi utakaribia uso wa conical. Mazingatio haya yanaturuhusu kutumia fomula ya ujazo wa piramidi wakati wa kuhesabu thamani sawa ya koni. Kiasi cha koni kinaweza kupatikana kwa kutumia fomula:

V=1/3hS_o.

Mfumo huu ni kweli kila wakati, bila kujali msingi wa koni ni nini, ikiwa na eneo S_{o. Zaidi ya hayo, fomula pia inatumika kwa koni ya oblique.}

Kwa kuwa tunasoma sifa za mchoro ulionyooka na msingi wa duara, tunaweza kutumia usemi ufuatao kubainisha ujazo wake:

V=1/3hpir2.

Mfumo ni dhahiri.

Tatizo la kutafuta eneo la uso na ujazo

Wacha koni itolewe, ambayo kipenyo chake ni cm 10, na urefu wa jenereta ni 20.tazama Haja ya kubainisha kiasi na eneo la uso la umbo hili.

Ili kukokotoa eneo S, unaweza kutumia fomula iliyoandikwa hapo juu mara moja. Tuna:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

Ili kubainisha sauti, unahitaji kujua urefu h wa takwimu. Tunahesabu kwa kutumia uhusiano kati ya vigezo vya mstari wa koni. Tunapata:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Sasa unaweza kutumia fomula ya V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Kumbuka kwamba ujazo wa koni ya mviringo ni theluthi moja ya silinda iliyoandikwa.