Leonhard Euler (1707-1783) - mwanahisabati maarufu wa Uswizi na Kirusi, mwanachama wa Chuo cha Sayansi cha St. Petersburg, aliishi zaidi ya maisha yake nchini Urusi. Maarufu zaidi katika uchanganuzi wa hisabati, takwimu, sayansi ya kompyuta na mantiki ni mduara wa Euler (mchoro wa Euler-Venn), unaotumiwa kuashiria upeo wa dhana na seti za vipengele.
John Venn (1834-1923) - Mwanafalsafa na mantiki Mwingereza, mwandishi mwenza wa mchoro wa Euler-Venn.
Dhana zinazolingana na zisizopatana
Chini ya dhana katika mantiki maana yake ni namna ya kufikiri inayoakisi vipengele muhimu vya aina ya vitu vyenye uwiano sawa. Yanaashiriwa na neno moja au kikundi cha maneno: "ramani ya dunia", "chord tano hadi saba", "Jumatatu", nk.
Katika kesi ambapo vipengele vya upeo wa dhana moja kikamilifu au kiasi vinahusika na upeo wa nyingine, moja huzungumzia dhana zinazotangamana. Iwapo, hata hivyo, hakuna kipengele cha upeo wa dhana fulani ambacho ni cha upeo wa nyingine, tuna dhana zisizolingana.
Kwa upande mwingine, kila aina ya dhana ina seti yake ya mahusiano yanayowezekana. Kwa dhana zinazooana, hizi ni:
- utambulisho (usawa) wa juzuu;
- kuvuka (sehemu ya mechi)juzuu;
- subordination (subordination).
Kwa zisizoendana:
- utii (uratibu);
- kinyume (kinyume);
- contradiction (contradiction).
Kiratibu, mahusiano kati ya dhana katika mantiki kawaida huonyeshwa kwa kutumia miduara ya Euler-Venn.
Mahusiano sawa
Katika hali hii, dhana zinamaanisha somo sawa. Ipasavyo, wingi wa dhana hizi ni sawa kabisa. Kwa mfano:
A - Sigmund Freud;
B ndiye mwanzilishi wa uchanganuzi wa akili.
Au:
A ni mraba;
B ni mstatili wa usawa;
C ni rombu ya mshale.
Miduara ya Euler inayolingana kabisa hutumika kubainisha.
Makutano (sehemu ya mechi)
Aina hii inajumuisha dhana ambazo zina vipengele vya kawaida vinavyohusiana na kuvuka. Hiyo ni, ujazo wa moja ya dhana umejumuishwa katika ujazo wa nyingine:
A - mwalimu;
B ni mpenzi wa muziki.
Kama inavyoweza kuonekana kutoka kwa mfano huu, idadi ya dhana inaendana kwa kiasi: kikundi fulani cha walimu kinaweza kugeuka kuwa wapenzi wa muziki, na kinyume chake - kunaweza kuwa na wawakilishi wa taaluma ya ualimu kati ya wapenzi wa muziki. Mtazamo sawa utakuwa katika kesi wakati dhana A ni, kwa mfano, "raia", na B ni "dereva".
Kunyenyekea (kuwa chini)
Imebainishwa kwa utaratibu kama miduara ya Euler ya mizani tofauti. Mahusianokati ya dhana katika kesi hii ni sifa ya ukweli kwamba dhana ya chini (ndogo kwa kiasi) imejumuishwa kabisa katika chini (kubwa kwa kiasi). Wakati huo huo, dhana ya chini haimalizii kabisa ile iliyo chini.
Kwa mfano:
A - mti;
B - pine.
Dhana B itakuwa chini ya dhana A. Kwa kuwa msonobari ni mali ya miti, dhana A katika mfano huu inakuwa ndogo, "ikinyonya" upeo wa dhana B.
Uratibu (uratibu)
Uhusiano hubainisha dhana mbili au zaidi ambazo hazijumuishi zenyewe, lakini ni za mduara fulani wa kawaida. Kwa mfano:
A – clarinet;
B - gitaa;
C - violin;
D ni ala ya muziki.
Dhana A, B, C haziingiliani kuhusiana na zenyewe, hata hivyo, zote ni za kategoria ya ala za muziki (dhana D).
Kinyume (kinyume)
Mahusiano kinyume kati ya dhana yanaashiria kuwa dhana hizi ni za jenasi moja. Wakati huo huo, moja ya dhana ina mali fulani (vipengele), wakati nyingine inakataa, ikibadilisha na kinyume chake katika asili. Kwa hivyo, tunashughulikia antonyms. Kwa mfano:
A ni kibeti;
B ni jitu.
Mduara wa Euler wenye mahusiano kinyume kati ya dhanaimegawanywa katika sehemu tatu, ya kwanza ambayo inalingana na dhana A, ya pili kwa dhana B, na ya tatu kwa dhana nyingine zote zinazowezekana.
Ukinzani (contradiction)
Katika hali hii, dhana zote mbili ni spishi za jenasi moja. Kama katika mfano uliopita, moja ya dhana inaonyesha sifa fulani (sifa), wakati nyingine inazikataa. Walakini, tofauti na uhusiano wa kinyume, dhana ya pili, kinyume haibadilishi mali zilizokataliwa na zingine, mbadala. Kwa mfano:
A ni kazi ngumu;
B ni kazi rahisi (si-A).
Ikionyesha ujazo wa dhana za aina hii, mduara wa Euler umegawanywa katika sehemu mbili - kiungo cha tatu, cha kati katika kesi hii haipo. Kwa hivyo, dhana pia ni vinyume. Wakati huo huo, mmoja wao (A) anakuwa chanya (akithibitisha kipengele fulani), na ya pili (B au isiyo ya A) inakuwa hasi (kupuuza kipengele kinacholingana): "karatasi nyeupe" - "sio karatasi nyeupe", " historia ya taifa” – “historia ya kigeni”, n.k.
Kwa hivyo, uwiano wa ujazo wa dhana zinazohusiana na nyingine ni sifa kuu inayofafanua miduara ya Euler.
Mahusiano kati ya seti
Ni muhimu pia kutofautisha kati ya dhana za vipengele na seti, kiasi ambacho kinaonyeshwa na miduara ya Euler. Wazo la seti iliyokopwa kutoka kwa sayansi ya hisabati na ina maana pana kabisa. Mifano katika mantiki na hisabati huionyesha kama seti fulani ya vitu. Vitu vyenyewe ndivyovipengele vya seti hii. "Many is many thought as one" (Georg Kantor, mwanzilishi wa nadharia ya kuweka).
Seti zimeteuliwa kwa herufi kubwa: A, B, C, D… n.k., vipengee vya seti vimeteuliwa kwa herufi ndogo: a, b, c, d… n.k. Mifano ya seti inaweza kuwa wanafunzi ambao ziko katika darasa moja, vitabu kwenye rafu fulani (au, kwa mfano, vitabu vyote kwenye maktaba fulani), kurasa kwenye shajara, matunda kwenye msitu, n.k.
Kwa upande wake, ikiwa seti fulani haina kipengele kimoja, basi inaitwa tupu na kuashiria kwa ishara Ø. Kwa mfano, seti ya sehemu za makutano za mistari sambamba, seti ya suluhu za mlinganyo x2=-5.
Utatuzi wa matatizo
Miduara ya Euler hutumiwa kikamilifu kutatua idadi kubwa ya matatizo. Mifano katika mantiki inaonyesha wazi uhusiano kati ya shughuli za kimantiki na nadharia ya kuweka. Katika kesi hii, meza za ukweli za dhana hutumiwa. Kwa mfano, mduara ulioandikwa A unawakilisha eneo la ukweli. Kwa hivyo eneo la nje ya duara litawakilisha uwongo. Kuamua eneo la mchoro kwa operesheni ya kimantiki, unapaswa kuweka kivuli maeneo ambayo yanafafanua mduara wa Euler, ambayo maadili yake ya vipengele A na B yatakuwa ya kweli.
Matumizi ya miduara ya Euler yamepata matumizi mapana ya vitendo katika tasnia mbalimbali. Kwa mfano, katika hali na uchaguzi wa kitaaluma. Ikiwa mhusika anajali kuhusu uchaguzi wa taaluma ya baadaye, anaweza kuongozwa na vigezo vifuatavyo:
W - ninapenda kufanya nini?
D - ninafanya nini?
PNinawezaje kupata pesa nzuri?
Hebu tuchore hii kama mchoro: Miduara ya Euler (mifano katika mantiki - uhusiano wa makutano):
Matokeo yatakuwa fani zile ambazo zitakuwa kwenye makutano ya miduara yote mitatu.
Miduara ya
Euler-Venn huchukua nafasi tofauti katika hisabati (nadharia iliyowekwa) wakati wa kukokotoa mchanganyiko na sifa. Miduara ya Euler ya seti ya vipengele imefungwa katika picha ya mstatili unaoashiria seti ya ulimwengu wote (U). Badala ya miduara, takwimu zingine zilizofungwa pia zinaweza kutumika, lakini kiini cha hii haibadilika. Takwimu zinaingiliana kwa kila mmoja, kulingana na hali ya shida (katika hali ya jumla). Pia, takwimu hizi zinapaswa kuandikwa ipasavyo. Vipengele vya seti zinazozingatiwa zinaweza kuwa pointi ziko ndani ya makundi tofauti ya mchoro. Kulingana nayo, unaweza kuweka kivuli maeneo mahususi, na hivyo kuteua seti mpya zilizoundwa.
Kwa seti hizi inawezekana kufanya shughuli za msingi za hisabati: kujumlisha (jumla ya seti za vipengele), kutoa (tofauti), kuzidisha (bidhaa). Kwa kuongeza, kutokana na michoro ya Euler-Venn, inawezekana kulinganisha seti kwa idadi ya vipengele vilivyojumuishwa ndani yao, bila kuvihesabu.
