Katika ulimwengu wa leo, tunazidi kutumia aina mbalimbali za magari na vifaa. Na si tu wakati ni muhimu kuomba nguvu halisi ya kinyama: songa mzigo, uinue kwa urefu, chimba mfereji mrefu na wa kina, nk Magari leo yanakusanywa na robots, chakula kinatayarishwa na multicookers, na mahesabu ya msingi ya hesabu ni. inafanywa na vikokotoo. Mara nyingi zaidi na zaidi tunasikia usemi "algebra ya Boolean". Labda ni wakati wa kuelewa jukumu la mwanadamu katika kuunda roboti na uwezo wa mashine kutatua sio tu shida za kihesabu, lakini pia za kimantiki.
Logic
Imetafsiriwa kutoka kwa Kigiriki, mantiki ni mfumo wa kufikiri ulioamriwa ambao huunda uhusiano kati ya hali fulani na hukuruhusu kufikia hitimisho kulingana na majengo na mawazo. Mara nyingi tunauliza kila mmoja: "Je, ni mantiki?" Jibu lililopokelewa linathibitisha mawazo yetu au kukosoa msururu wa mawazo. Lakini mchakato haukomi: tunaendelea kusababu.
Wakati mwingine idadi ya masharti (utangulizi) ni kubwa sana, na mahusiano kati yao ni tata sana na changamano kiasi kwamba ubongo wa mwanadamu hauwezi "kusaga" kila kitu mara moja. Inaweza kuchukua zaidi ya mwezi mmoja (wiki, mwaka) kuelewa kinachoendelea. Lakinimaisha ya kisasa hayatupi vipindi vya muda vya kufanya maamuzi. Na tunaamua kwa msaada wa kompyuta. Na hapa ndipo algebra ya mantiki inaonekana, na sheria zake na mali. Kwa kupakua data yote ya awali, tunaruhusu kompyuta kutambua mahusiano yote, kuondoa kinzani na kutafuta suluhisho la kuridhisha.
Hisabati na Mantiki
Gottfried Wilhelm Leibniz maarufu alitunga dhana ya "mantiki ya hisabati", matatizo ambayo yalieleweka kwa duara finyu tu ya wanasayansi. Mwelekeo huu haukuamsha shauku fulani, na hadi katikati ya karne ya 19, watu wachache walijua kuhusu mantiki ya hisabati.
Nia kubwa katika jumuiya ya wanasayansi ilisababisha mzozo ambapo Mwingereza George Boole alitangaza nia yake ya kuunda tawi la hisabati ambalo halina matumizi ya vitendo kabisa. Kama tunavyokumbuka kutoka kwa historia, uzalishaji wa viwandani ulikuwa ukiendelezwa kikamilifu wakati huo, kila aina ya mashine za usaidizi na zana za mashine zilikuwa zikitengenezwa, yaani, uvumbuzi wote wa kisayansi ulikuwa na lengo la vitendo.
Tukiangalia mbele, tuseme kwamba algebra ya Boolean ndiyo sehemu inayotumika zaidi ya hisabati katika ulimwengu wa kisasa. Kwa hivyo Bull alipoteza hoja yake.
George Buhl
Hali ya mtunzi inastahili kuzingatiwa sana. Hata kwa kuzingatia kwamba siku za nyuma watu walikua mbele yetu, bado haiwezekani kutambua kwamba akiwa na umri wa miaka 16, J. Buhl alifundisha katika shule ya kijiji, na akiwa na umri wa miaka 20 alifungua shule yake mwenyewe huko Lincoln. Mtaalamu wa hisabati alikuwa akijua lugha tano za kigeni kwa ufasaha, na kwa wakati wake wa ziada alisoma kaziNewton na Lagrange. Na haya yote ni kuhusu mtoto wa mfanyakazi wa kawaida!
Mnamo 1839 Boole aliwasilisha karatasi zake za kisayansi kwa Jarida la Hisabati la Cambridge. Mwanasayansi ana umri wa miaka 24. Kazi ya Boole ilipendezwa na washiriki wa Royal Society kwamba mnamo 1844 alipokea medali kwa mchango wake katika maendeleo ya uchambuzi wa hisabati. Kazi nyingi zaidi zilizochapishwa, ambazo zilielezea vipengele vya mantiki ya hisabati, ziliruhusu mwanahisabati mchanga kuchukua wadhifa wa profesa katika Chuo cha Cork County. Kumbuka kwamba Buhl mwenyewe hakuwa na elimu.
Wazo
Kimsingi, aljebra ya Boolean ni rahisi sana. Kuna taarifa (maneno ya kimantiki) ambayo, kutoka kwa mtazamo wa hisabati, inaweza kufafanuliwa tu kwa maneno mawili: "kweli" au "uongo". Kwa mfano, katika chemchemi miti huchanua - kweli, katika msimu wa joto ni theluji - uwongo. Uzuri wa hesabu hii ni kwamba hakuna hitaji kali la kutumia nambari tu. Kauli zozote zenye maana isiyo na utata zinafaa kabisa kwa aljebra ya hukumu.
Kwa hivyo, aljebra ya mantiki inaweza kutumika kihalisi kila mahali: katika kuratibu na kuandika maagizo, kuchanganua taarifa zinazokinzana kuhusu matukio, na kubainisha mfuatano wa vitendo. Jambo muhimu zaidi ni kuelewa kwamba sio muhimu kabisa jinsi tunavyotambua ukweli au uwongo wa taarifa. Hizi "jinsi" na "kwanini" zinahitaji kufupishwa. Taarifa ya ukweli pekee ndiyo inayohusika: kweli-uongo.
Kwa kweli, kwa programu, kazi za algebra ya mantiki ni muhimu, ambazo zimeandikwa na sambamba.ishara na alama. Na kujifunza kwao kunamaanisha kujua lugha mpya ya kigeni. Hakuna lisilowezekana.
Dhana za kimsingi na ufafanuzi
Bila kuingia kwa kina, wacha tushughulike na istilahi. Kwa hivyo algebra ya Boolean inadhani:
- kauli;
- operesheni za kimantiki;
- kazi na sheria.
Tamko ni maneno yoyote ya uthibitisho ambayo hayawezi kufasiriwa kwa utata. Zimeandikwa kama nambari (5 > 3) au zimeundwa kwa maneno yanayojulikana (tembo ndiye mamalia mkubwa zaidi). Wakati huo huo, maneno "twiga hana shingo" pia yana haki ya kuwepo, algebra ya Boolean pekee ndiyo itafafanua kama "uongo."
Maelezo yote lazima yasiwe na utata, lakini yanaweza kuwa ya kimsingi na changamano. Mwisho hutumia viunganishi vya kimantiki. Hiyo ni, katika aljebra ya hukumu, kauli shirikishi huundwa kwa kuongeza taarifa za msingi kwa njia ya uendeshaji wenye mantiki.
Shughuli za aljebra za Boolean
Tayari tunakumbuka kuwa utendakazi katika aljebra ya hukumu ni wa kimantiki. Kama vile nambari aljebra inavyotumia hesabu kuongeza, kutoa au kulinganisha nambari, vipengele vya mantiki ya hisabati hukuruhusu kutoa taarifa changamano, kukanusha, au kukokotoa matokeo ya mwisho.
Shughuli za kimantiki za urasimishaji na usahili huandikwa na kanuni tunazozifahamu katika hesabu. Sifa za algebra ya Boolean hufanya iwezekane kuandika milinganyo na kukokotoa haijulikani. Shughuli za kimantiki kawaida huandikwa kwa kutumia jedwali la ukweli. Nguzo zakefafanua vipengele vya hesabu na uendeshaji unaofanywa juu yao, na mistari inaonyesha matokeo ya hesabu.
Vitendo vya msingi vya kimantiki
Shughuli zinazojulikana zaidi katika aljebra ya Boolean ni kukanusha (SIO) na za kimantiki NA na AU. Takriban vitendo vyote katika aljebra ya hukumu vinaweza kuelezewa kwa njia hii. Hebu tusome kila moja ya oparesheni hizo tatu kwa undani zaidi.
Kanusho (si) hutumika kwa kipengele kimoja pekee (operand). Kwa hiyo, operesheni ya kukataa inaitwa unary. Kuandika dhana ya "si A" tumia alama zifuatazo: ¬A, A¯¯¯ au !A. Katika muundo wa jedwali inaonekana kama hii:
Kitendakazi cha kukanusha kina sifa ya kauli ifuatayo: ikiwa A ni kweli, basi B ni uongo. Kwa mfano, Mwezi unazunguka Dunia - kweli; Dunia inazunguka mwezi - uongo.
Kuzidisha na kuongeza kimantiki
Ntiki NA inaitwa operesheni ya kiunganishi. Ina maana gani? Kwanza, kwamba inaweza kutumika kwa operesheni mbili, i.e. Na ni operesheni ya binary. Pili, kwamba tu katika kesi ya ukweli wa operesheni zote mbili (zote A na B) ndio usemi wenyewe ni kweli. Methali "Uvumilivu na kazi zitasaga kila kitu" unapendekeza kwamba mambo yote mawili tu ndio yatasaidia mtu kukabiliana na shida.
Alama zinazotumika kuandika: A∧B, A⋅B au A&B.
Kiunganishi ni sawa na kuzidisha katika hesabu. Wakati mwingine wanasema hivyo - kuzidisha mantiki. Ikiwa tutazidisha vipengele vya safu mlalo ya jedwali kwa safu mlalo, tunapata matokeo sawa na hoja zenye mantiki.
Mtengano ni operesheni ya kimantiki AU. Inachukua thamani ya ukweliwakati angalau moja ya taarifa ni kweli (ama A au B). Imeandikwa hivi: A∨B, A+B au A||B. Majedwali ya ukweli kwa shughuli hizi ni:
Mtengano ni kama nyongeza ya hesabu. Operesheni ya kuongeza kimantiki ina kizuizi kimoja tu: 1+1=1. Lakini tunakumbuka kuwa katika muundo wa dijiti, mantiki ya hisabati ni mdogo kwa 0 na 1 (ambapo 1 ni kweli, 0 ni ya uwongo). Kwa mfano, taarifa "katika makumbusho unaweza kuona kito au kukutana na interlocutor ya kuvutia" ina maana kwamba unaweza kuona kazi za sanaa, au unaweza kukutana na mtu wa kuvutia. Wakati huo huo, uwezekano wa matukio yote mawili kutokea kwa wakati mmoja haujaondolewa.
Kazi na sheria
Kwa hivyo, tayari tunajua ni utendakazi gani wa kimantiki wa Boolean algebra hutumia. Kazi zinaelezea mali yote ya vipengele vya mantiki ya hisabati na kuruhusu kurahisisha hali ngumu za matatizo. Mali inayoeleweka zaidi na rahisi inaonekana kuwa ni kukataliwa kwa shughuli zinazotokana. Miigo ni ya kipekee AU, maana na usawa. Kwa kuwa tumesoma utendakazi wa kimsingi pekee, pia tutazingatia sifa hizo pekee.
Ushirikiano unamaanisha kuwa katika kauli kama "na A, na B, na C," mpangilio wa oparesheni haijalishi. Fomula imeandikwa hivi:
(A∧B)∧V=A∧(B∧V)=A∧B∧V, (A∨B)∨C=A∨(B∨C)=A∨B∨C.
Kama unavyoona, hii ni sifa si tu ya kiunganishi, bali pia ya mtengano.
Commutativity inasema kuwa matokeokiunganishi au mtengano hautegemei kipengele gani kilizingatiwa kwanza:
A∧B=B∧A; A∨B=B∨A.
Usambazaji huruhusu kupanua mabano katika usemi changamano wa kimantiki. Sheria ni sawa na kufungua mabano katika kuzidisha na kuongeza katika aljebra:
A∧(B∨C)=A∧B∨A∧B; A∨B∧B=(A∨B)∧(A∨B).
Sifa za one na sufuri, ambazo zinaweza kuwa mojawapo ya operesheni, pia ni sawa na kuzidisha aljebra kwa sufuri au moja na kujumlisha na moja:
A∧0=0, A∧1=A; A∨0=A, A∨1=1.
Idempotency hutuambia kwamba ikiwa, kuhusiana na utendaji kazi mbili sawa, matokeo ya operesheni yanafanana, basi tunaweza "kutupa" utendaji wa ziada unaotatiza mwendo wa kufikiri. Viunganishi na mtengano ni shughuli zisizo na nguvu.
B∧B=B; B∨B=B.
Ufyonzaji pia huturuhusu kurahisisha milinganyo. Unyonyaji unasema kwamba wakati operesheni nyingine iliyo na kipengele sawa inatumiwa kwa usemi wenye operesheni moja, matokeo yake ni operesheni kutoka kwa operesheni ya kunyonya.
A∧B∨B=B; (A∨B)∧B=B.
Msururu wa utendakazi
Msururu wa utendakazi sio muhimu sana. Kwa kweli, kuhusu aljebra, kuna kipaumbele cha kazi ambazo algebra ya Boolean hutumia. Fomula zinaweza kurahisishwa tu ikiwa umuhimu wa shughuli unazingatiwa. Kuorodhesha kutoka muhimu zaidi hadi ndogo zaidi, tunapata mlolongo ufuatao:
1. Kukataa.
2. Kiunganishi.
3. Utengano, wa kipekeeAU.
4. Kidokezo, usawa.
Kama unavyoona, kukanusha tu na viunganishi havina umuhimu sawa. Na kipaumbele cha kutenganisha na XOR ni sawa, na vile vile vipaumbele vya maana na usawa.
Amilisho na kazi za usawa
Kama tulivyokwisha sema, pamoja na utendakazi wa kimsingi wa kimantiki, mantiki ya hisabati na nadharia ya algoriti hutumia viasili. Zinazotumika sana ni maana na usawa.
Matokeo, au matokeo ya kimantiki, ni kauli ambayo kitendo kimoja ni sharti, na kingine ni tokeo la utekelezaji wake. Kwa maneno mengine, hii ni sentensi yenye viambishi "ikiwa … basi." "Ikiwa unapenda kupanda, penda kubeba sleds." Hiyo ni, kwa skiing, unahitaji kaza sled juu ya kilima. Ikiwa hakuna tamaa ya kusonga chini ya mlima, basi si lazima kubeba sled. Imeandikwa hivi: A→B au A ⇒B.
Usawa huchukulia kuwa kitendo kinachotokea hutokea tu wakati operesheni zote mbili ni za kweli. Kwa mfano, usiku hugeuka kuwa mchana wakati (na wakati tu) jua linachomoza juu ya upeo wa macho. Katika lugha ya mantiki ya hisabati, taarifa hii imeandikwa kama ifuatavyo: A≡B, A⇔B, A==B.
Sheria zingine za algebra ya Boolean
Aljebra ya hukumu inatengenezwa, na wanasayansi wengi wanaovutiwa wametunga sheria mpya. Nakala za mwanahisabati wa Uskoti O. de Morgan zinachukuliwa kuwa maarufu zaidi. Aligundua na kufafanua sifa kama hizo kama ukanushaji wa karibu, kamilishana na ukanushaji maradufu.
Funga ukanushaji inamaanisha kuwa hakuna ukanushaji kabla ya mabano:si (A au B)=si A au SI B.
Operesheni inapopuuzwa, bila kujali thamani yake, mtu huzungumza kuhusu kijalizo:
B∧¬B=0; B∨¬B=1.
Na hatimaye, kukanusha mara mbili kunajifidia. Wale. ama kukanusha kutoweka kabla ya oparesheni, au kubaki moja tu.
Jinsi ya kutatua majaribio
Mantiki ya hisabati inamaanisha kurahisisha milinganyo iliyotolewa. Kama ilivyo katika aljebra, lazima kwanza ufanye hali iwe rahisi iwezekanavyo (ondoa ingizo changamano na utendakazi nazo), kisha uanze kutafuta jibu sahihi.
Ni nini kifanyike kurahisisha? Badilisha shughuli zote zinazotokana na rahisi. Kisha ufungue mabano yote (au kinyume chake, iondoe kwenye mabano ili kufupisha kipengele hiki). Hatua inayofuata inapaswa kuwa kutumia sifa za aljebra ya Boolean katika mazoezi (kunyonya, sifa za sifuri na moja, n.k.).
Mwishowe, mlinganyo unapaswa kujumuisha idadi ya chini zaidi ya zisizojulikana zikiunganishwa na utendakazi rahisi. Njia rahisi zaidi ya kupata suluhisho ni kufikia idadi kubwa ya hasi karibu. Kisha jibu litajitokeza kana kwamba peke yake.
