Kitendawili cha Bertrand ni tatizo katika ufasiri wa kitamaduni wa nadharia ya uwezekano. Joseph aliitambulisha katika kazi yake Calcul des probabilités (1889) kama mfano kwamba uwezekano hauwezi kufafanuliwa vyema ikiwa utaratibu au mbinu itatoa kigezo cha nasibu.
Taarifa ya Tatizo
Kitendawili cha Bertrand ni kama ifuatavyo.
Kwanza, zingatia pembetatu iliyo sawa iliyoandikwa kwenye mduara. Katika kesi hii, kipenyo huchaguliwa kwa nasibu. Je, kuna uwezekano gani kuwa ni mrefu kuliko upande wa pembetatu?
Bertrand alitoa hoja tatu, ambazo zote zinaonekana kuwa sahihi, lakini akatoa matokeo tofauti.
Njia Nasibu ya Mwisho
Unahitaji kuchagua sehemu mbili kwenye mduara na kuchora safu inayoziunganisha. Kwa hesabu, kitendawili cha uwezekano wa Bertrand kinazingatiwa. Inahitajika kufikiria kuwa pembetatu inazungushwa ili vertex yake ifanane na moja ya ncha za chord. Inastahili kulipwakumbuka kuwa ikiwa sehemu nyingine iko kwenye safu kati ya sehemu mbili, mduara ni mrefu kuliko upande wa pembetatu. Urefu wa arc ni theluthi moja ya duara, kwa hivyo uwezekano kwamba chodi nasibu ni ndefu ni 1/3.
Mbinu ya uteuzi
Ni muhimu kuchagua kipenyo cha mduara na ncha juu yake. Baada ya hayo, unahitaji kujenga chord kupitia mahali hapa, perpendicular kwa kipenyo. Ili kuhesabu kitendawili kinachozingatiwa cha Bertrand cha nadharia ya uwezekano, mtu lazima afikirie kuwa pembetatu inazungushwa ili upande uwe wa kawaida kwa radius. Chord ni ndefu kuliko mguu ikiwa hatua iliyochaguliwa iko karibu na katikati ya duara. Na katika kesi hii, upande wa pembetatu hutenganisha radius. Kwa hivyo, uwezekano kwamba chodi ni ndefu kuliko upande wa takwimu iliyoandikwa ni 1/2.
Chords nasibu
Mbinu ya sehemu ya kati. Ni muhimu kuchagua mahali kwenye mduara na kuunda chord na katikati iliyotolewa. Mhimili ni mrefu kuliko ukingo wa pembetatu iliyoandikwa, ikiwa eneo lililochaguliwa liko ndani ya mduara wa kipenyo cha 1/2. Eneo la duara ndogo ni moja ya nne ya takwimu kubwa. Kwa hivyo, uwezekano wa chodi nasibu ni mrefu kuliko upande wa pembetatu iliyoandikwa na ni sawa na 1/4.
Kama ilivyoonyeshwa hapo juu, mbinu za uteuzi hutofautiana katika uzito wanazotoa kwa chodi fulani, ambazo ni kipenyo. Katika mbinu ya 1, kila chodi inaweza kuchaguliwa kwa njia moja haswa, iwe ni kipenyo au la.
Katika mbinu ya 2, kila mstari ulionyooka unaweza kuchaguliwa kwa njia mbili. Ambapo chord nyingine yoyote itachaguliwamoja tu ya uwezekano.
Katika mbinu ya 3, kila uteuzi wa kituo una kigezo kimoja. Isipokuwa katikati ya duara, ambayo ni katikati ya vipenyo vyote. Matatizo haya yanaweza kuepukwa kwa "kuagiza" maswali yote ili kuwatenga vigezo bila kuathiri uwezekano unaotokana.
Chagua mbinu pia inaweza kuonyeshwa kama ifuatavyo. Chord ambayo sio kipenyo inatambulishwa kipekee na katikati yake. Kila moja ya njia tatu za uteuzi zilizowasilishwa hapo juu hutoa usambazaji tofauti wa katikati. Na chaguo 1 na 2 hutoa sehemu mbili tofauti zisizo sare, wakati njia ya 3 inatoa mgawanyo sawa.
Kitendawili cha kawaida cha kusuluhisha tatizo la Bertrand kinategemea mbinu ambayo chord huchaguliwa "bila mpangilio". Inatokea kwamba ikiwa njia ya uteuzi wa random imeelezwa mapema, tatizo lina ufumbuzi ulioelezwa vizuri. Hii ni kwa sababu kila njia ya mtu binafsi ina usambazaji wake wa chords. Maamuzi matatu yaliyoonyeshwa na Bertrand yanalingana na njia tofauti za uteuzi na, kwa kukosekana kwa habari zaidi, hakuna sababu ya kupendelea moja juu ya nyingine. Ipasavyo, tatizo lililotajwa halina suluhu hata moja.
Mfano wa jinsi ya kufanya jibu la jumla liwe la kipekee ni kubainisha kwamba ncha za mwisho za chord zimepangwa kwa usawa kati ya 0 na c, ambapo c ni mduara wa duara. Usambazaji huu ni sawa na katika hoja ya kwanza ya Bertrand na uwezekano wa kipekee utakaotokana utakuwa 1/3.
Kitendawili hiki cha Bertrand Russell na upekee mwingine wa classic altafsiri za uwezekano zinahalalisha uundaji mkali zaidi. Ikijumuisha masafa ya uwezekano na nadharia ya Bayesian ya ubinafsi.
Nini msingi wa kitendawili cha Bertrand
Katika makala yake ya 1973 "The Well-posed Problem," Edwin Jaynes alitoa suluhisho lake la kipekee. Alibainisha kuwa kitendawili cha Bertrand kinatokana na msingi unaozingatia kanuni ya "ujinga wa hali ya juu". Hii ina maana kwamba hupaswi kutumia taarifa yoyote ambayo haijatolewa katika taarifa ya tatizo. Jaynes alisema kuwa tatizo la Bertrand haliamui nafasi au ukubwa wa duara. Na ikajadiliwa kwamba kwa hivyo uamuzi wowote dhahiri na wenye lengo lazima "usijali" ukubwa na nafasi.
Kwa madhumuni ya kielelezo
Ikizingatiwa kuwa chodi zote zimewekwa kwa nasibu kwenye mduara wa sentimita 2, sasa unahitaji kuirushia majani kutoka mbali.
Kisha unahitaji kuchukua mduara mwingine wenye kipenyo kidogo (kwa mfano, sentimita 1), ambacho kinalingana na takwimu kubwa. Kisha usambazaji wa chords kwenye mduara huu mdogo unapaswa kuwa sawa na kwenye upeo wa juu. Ikiwa takwimu ya pili pia inasonga ndani ya kwanza, uwezekano, kwa kanuni, haupaswi kubadilika. Ni rahisi sana kuona kwamba kwa njia ya 3 mabadiliko yafuatayo yatatokea: usambazaji wa chodi kwenye duara ndogo nyekundu itakuwa tofauti kimaelezo na usambazaji kwenye duara kubwa.
Vile vile hufanyika kwa mbinu ya 1. Ingawa ni vigumu kuonekana katika mwonekano wa mchoro.
Njia ya 2 ndiyo pekeeambayo inageuka kuwa mizani na kigeugeu cha tafsiri.
Njia ya 3 inaonekana kuwa rahisi kupanuka.
Njia ya 1 sio nyingine.
Hata hivyo, Janes hakutumia vibadala kwa urahisi kukubali au kukataa mbinu hizi. Hii ingeacha uwezekano kwamba kuna njia nyingine ambayo haijaelezewa ambayo ingelingana na vipengele vyake vya maana inayofaa. Jaynes alitumia milinganyo muhimu inayoelezea tofauti. Ili kuamua moja kwa moja usambazaji wa uwezekano. Katika tatizo lake, milinganyo muhimu kwa hakika ina suluhu la kipekee, na hii ndiyo hasa iliyoitwa mbinu ya pili ya radius nasibu hapo juu.
Katika karatasi ya 2015, Alon Drory anabisha kuwa kanuni ya Jaynes inaweza pia kutoa masuluhisho mengine mawili ya Bertrand. Mwandishi anahakikishia kwamba utekelezaji wa hisabati wa mali ya juu ya kutofautiana sio pekee, lakini inategemea utaratibu wa msingi wa uteuzi wa random ambao mtu anaamua kutumia. Anaonyesha kwamba kila moja ya suluhu tatu za Bertrand zinaweza kupatikana kwa kutumia mzunguko, kuongeza, na kutofautiana kwa tafsiri. Wakati huo huo, kuhitimisha kwamba kanuni ya Jaynes iko chini ya tafsiri sawa na hali ya kutojali yenyewe.
Majaribio ya kimwili
Njia ya 2 ndiyo suluhisho la pekee linalokidhi vibadilishio vya mageuzi ambavyo vipo katika dhana mahususi za kisaikolojia kama vile mechanics ya takwimu na muundo wa gesi. Pia katika mapendekezoJaribio la Janes la kurusha majani kutoka kwa duara ndogo.
Hata hivyo, majaribio mengine ya vitendo yanaweza kuundwa ambayo hutoa majibu kulingana na mbinu zingine. Kwa mfano, ili kufikia suluhisho la njia ya kwanza ya mwisho ya nasibu, unaweza kushikamana na kaunta katikati ya eneo hilo. Na acha matokeo ya mizunguko miwili ya kujitegemea yaangazie maeneo ya mwisho ya chord. Ili kufikia suluhisho la njia ya tatu, mtu anaweza kufunika duara na molasi, kwa mfano, na kuweka alama kwenye sehemu ya kwanza ambayo nzi huanguka kama gumzo la kati. Wadadisi kadhaa wameunda tafiti ili kufikia hitimisho tofauti na wamethibitisha matokeo kwa uthabiti.
Matukio ya hivi punde
Katika makala yake ya 2007 "The Bertrand Paradox and the Indifference Principle," Nicholas Shackel anabisha kuwa zaidi ya karne moja baadaye, tatizo bado halijatatuliwa. Anaendelea kukanusha kanuni ya kutojali. Zaidi ya hayo, katika karatasi yake ya 2013, "The Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions are not Practical," Darrell R. Robottom anaonyesha kwamba maamuzi yote yaliyopendekezwa hayana uhusiano wowote na swali lake mwenyewe. Kwa hivyo ikawa kwamba kitendawili hicho kingekuwa kigumu zaidi kusuluhisha kuliko ilivyofikiriwa hapo awali.
Shackel anasisitiza kuwa kufikia sasa wanasayansi wengi na watu walio mbali na sayansi wamejaribu kutatua kitendawili cha Bertrand. Bado inashindikana kwa usaidizi wa mbinu mbili tofauti.
Yale ambayo tofauti kati ya matatizo yasiyo ya usawa ilizingatiwa, na yale ambayo tatizo lilizingatiwa kuwa sahihi kila wakati. Shackel anamnukuu Louis katika vitabu vyakeMarinoff (kama kielelezo cha kawaida cha mkakati wa upambanuzi) na Edwin Jaynes (kama mwandishi wa nadharia iliyofikiriwa vyema).
Hata hivyo, katika kazi yao ya hivi majuzi ya Kutatua Tatizo Shida, Diederik Aerts na Massimiliano Sassoli de Bianchi wanaamini kuwa ili kutatua kitendawili cha Bertrand, ni lazima majengo yatafutwe kwa mbinu mchanganyiko. Kulingana na waandishi hawa, hatua ya kwanza ni kurekebisha tatizo kwa kueleza kwa uwazi asili ya chombo kuwa nasibu. Na tu baada ya hili kufanyika, tatizo lolote linaweza kuchukuliwa kuwa sahihi. Hivyo ndivyo Janes anavyofikiri.
Kwa hivyo kanuni ya ujinga wa hali ya juu inaweza kutumika kutatua. Ili kufikia mwisho huu, na kwa kuwa tatizo halielezi jinsi chord inapaswa kuchaguliwa, kanuni haitumiki kwa kiwango cha uwezekano mbalimbali, lakini kwa undani zaidi.
Uteuzi wa sehemu
Sehemu hii ya tatizo inahitaji kukokotoa meta-wastani juu ya njia zote zinazowezekana, ambazo waandishi huziita maana ya jumla. Ili kukabiliana na hili, wanatumia njia ya discretization. Imehamasishwa na kile kinachofanywa katika kufafanua sheria ya uwezekano katika michakato ya Wiener. Matokeo yao yanapatana na mfululizo wa nambari za Jaynes, ingawa tatizo lao lililowekwa vyema linatofautiana na lile la mwandishi asilia.
Katika uchumi na biashara, Kitendawili cha Bertrand, kilichopewa jina la muundaji wake Joseph Bertrand, kinafafanua hali ambapo wachezaji (makampuni) wawili wanafikia usawa wa Nash. Wakati makampuni yote mawili yanaweka bei sawa na gharama ya chini(MS).
Kitendawili cha Bertrand kinatokana na dhana. Iko katika ukweli kwamba katika mifano kama vile ushindani wa Cournot, ongezeko la idadi ya makampuni linahusishwa na muunganisho wa bei na gharama ndogo. Katika miundo hii mbadala, kitendawili cha Bertrand kiko kwenye oligopoly ya idadi ndogo ya makampuni ambayo hupata faida chanya kwa kutoza bei zaidi ya gharama.
Kwa kuanzia, inafaa kuchukulia kuwa kampuni mbili A na B zinauza bidhaa yenye mchanganyiko, ambayo kila moja ina gharama sawa ya uzalishaji na usambazaji. Inafuata kwamba wanunuzi huchagua bidhaa tu kwa misingi ya bei. Hii ina maana kwamba mahitaji ni infinitely bei elastic. Hakuna A wala B itakayoweka bei ya juu zaidi kuliko zingine, kwa sababu hiyo ingesababisha kitendawili kizima cha Bertrand kuporomoka. Mmoja wa washiriki wa soko atajitolea kwa mshindani wake. Wakiweka bei sawa, kampuni zitagawana faida.
Kwa upande mwingine, ikiwa kampuni yoyote itapunguza bei yake hata kidogo, itapata soko zima na faida kubwa zaidi. Kwa kuwa A na B wanajua hili, kila mmoja atajaribu kupunguza mshindani wake hadi bidhaa iuzwe kwa faida sifuri ya kiuchumi.
Kazi ya hivi majuzi imeonyesha kuwa kunaweza kuwa na usawazisho wa kitendawili cha mkakati mseto wa Bertrand, pamoja na faida chanya za kiuchumi, mradi jumla ya ukiritimba haina kikomo. Kwa upande wa faida ya mwisho, ilionyeshwa kuwa ongezeko chanya chini ya ushindani wa bei haiwezekani katika usawa mchanganyiko na hata katika kesi ya jumla zaidi.mifumo inayohusiana.
Kwa hakika, kitendawili cha Bertrand katika uchumi ni nadra kuonekana kimatendo, kwa sababu bidhaa halisi karibu kila mara hutofautishwa kwa njia fulani isipokuwa bei (kwa mfano, kulipia zaidi kwa lebo). Makampuni yana mipaka juu ya uwezo wao wa kuzalisha na kusambaza. Hii ndiyo sababu biashara mbili mara chache huwa na gharama zinazofanana.
Matokeo ya Bertrand ni ya kutatanisha kwa sababu idadi ya makampuni ikiongezeka kutoka moja hadi mbili, bei hushuka kutoka ukiritimba hadi ya ushindani na kubaki katika kiwango sawa na idadi ya makampuni ambayo huongezeka baada ya hapo. Hili si jambo la kweli, kwa sababu kwa kweli, masoko yenye makampuni machache yenye nguvu ya soko huwa yanatoza bei zaidi ya gharama ya chini. Uchambuzi wa kitaalamu unaonyesha kuwa viwanda vingi vilivyo na washindani wawili vinazalisha faida chanya.
Katika ulimwengu wa kisasa, wanasayansi wanajaribu kutafuta suluhu za kitendawili ambacho kinalingana zaidi na mtindo wa ushindani wa Cournot. Ambapo makampuni mawili katika soko yanapata faida chanya ambayo ni mahali fulani kati ya viwango vya ushindani kikamilifu na vya ukiritimba.
Baadhi ya sababu kwa nini kitendawili cha Bertrand hakihusiani moja kwa moja na uchumi:
- Vikomo vya uwezo. Wakati mwingine makampuni hayana uwezo wa kutosha kukidhi mahitaji yote. Hoja hii ilitolewa kwa mara ya kwanza na Francis Edgeworth na kuibua mtindo wa Bertrand-Edgeworth.
- Bei kamili. Bei zilizo juu ya MC hazijumuishwi kwa sababu kampuni moja inaweza kupunguza nyingine bila mpangilio.kiasi kidogo. Ikiwa bei ni tofauti (kwa mfano, lazima zichukue maadili kamili), basi kampuni moja lazima ipunguze nyingine kwa angalau ruble moja. Hii ina maana kwamba thamani ya sarafu ndogo iko juu ya MC. Ikiwa kampuni nyingine itaweka bei ya juu zaidi, kampuni nyingine inaweza kuipunguza na kukamata soko zima, kitendawili cha Bertrand kinajumuisha hii haswa. Haitamletea faida yoyote. Biashara hii itapendelea kushiriki mauzo 50/50 na kampuni nyingine na kupokea mapato chanya.
- Utofautishaji wa bidhaa. Ikiwa bidhaa za makampuni tofauti zinatofautiana kutoka kwa nyingine, basi watumiaji hawawezi kubadili kabisa kwa bidhaa za bei ya chini.
- Shindano kali. Mwingiliano unaorudiwa au ushindani wa bei unaorudiwa unaweza kusababisha usawa wa thamani.
- Vipengee zaidi kwa kiwango cha juu zaidi. Hii inafuatia kutokana na mwingiliano unaorudiwa. Kampuni moja ikiweka bei yake juu kidogo, bado itapata takribani idadi sawa ya ununuzi, lakini faida zaidi kwa kila bidhaa. Kwa hivyo, kampuni nyingine itaongeza alama zake, n.k. (Katika mechi za marudio pekee, vinginevyo mienendo inakwenda upande mwingine).
Oligopoly
Kampuni mbili zinaweza kukubaliana juu ya bei, ni kwa manufaa yao ya muda mrefu kuweka makubaliano: mapato ya kupunguza thamani ni chini ya mara mbili ya mapato kutokana na kutii makubaliano na hudumu hadi kampuni nyingine ikapunguza bei zako.
Nadhariauwezekano (kama hisabati nyingine) kwa kweli ni uvumbuzi wa hivi majuzi. Na maendeleo hayajakuwa laini. Majaribio ya kwanza ya kurasimisha hesabu ya uwezekano yalifanywa na Marquis de Laplace, ambaye alipendekeza kufafanua dhana kama uwiano wa idadi ya matukio yanayoongoza kwenye matokeo.
Hii, bila shaka, inaleta maana ikiwa tu idadi ya matukio yote yanayowezekana ina kikomo. Na zaidi ya hayo, matukio yote yana uwezekano sawa.
Kwa hivyo, wakati huo, dhana hizi zilionekana kutokuwa na msingi thabiti. Majaribio ya kupanua ufafanuzi kwa kesi ya idadi isiyo na kikomo ya matukio imesababisha shida kubwa zaidi. Kitendawili cha Bertrand ni ugunduzi mmoja kama huo ambao umewafanya wanahisabati kuhofia dhana nzima ya uwezekano.
