Nadharia ya uwezekano ni tawi maalum la hisabati, ambalo husomwa na wanafunzi wa taasisi za elimu ya juu pekee. Unapenda mahesabu na fomula? Huogopi matarajio ya kufahamiana na usambazaji wa kawaida, entropy ya kusanyiko, matarajio ya hisabati na tofauti za tofauti tofauti za nasibu? Kisha somo hili litakuwa la kuvutia sana kwako. Hebu tufahamiane na baadhi ya dhana muhimu za msingi za sehemu hii ya sayansi.
Kumbuka mambo ya msingi
Hata kama unakumbuka dhana rahisi zaidi za nadharia ya uwezekano, usipuuze aya za kwanza za makala. Ukweli ni kwamba bila ufahamu wazi wa mambo ya msingi, hutaweza kufanya kazi na fomula zilizojadiliwa hapa chini.
Kwa hivyo, kuna tukio la nasibu, jaribio fulani. Kwa matokeo ya vitendo vilivyofanywa, tunaweza kupata matokeo kadhaa - baadhi yao ni ya kawaida zaidi, wengine chini ya kawaida. Uwezekano wa tukio ni uwiano wa idadi ya matokeo halisi yaliyopokelewa ya aina moja hadi jumla ya yale yanayowezekana. Kujua tu ufafanuzi wa kitamaduni wa wazo hili, unaweza kuanza kusoma matarajio ya kihesabu na tofauti za kuendelea.vigezo nasibu.
Wastani wa hesabu
Hata shuleni, katika masomo ya hisabati, ulianza kufanya kazi kwa maana ya hesabu. Dhana hii inatumika sana katika nadharia ya uwezekano, na kwa hiyo haiwezi kupuuzwa. Jambo kuu kwetu kwa sasa ni kwamba tutakumbana nayo katika fomula za matarajio ya hisabati na utofauti wa kigeuzi nasibu.
Tuna mlolongo wa nambari na tunataka kupata maana ya hesabu. Kinachohitajika kwetu ni kujumlisha kila kitu kinachopatikana na kugawanya kwa idadi ya vitu kwenye mlolongo. Hebu tuwe na nambari kutoka 1 hadi 9. Jumla ya vipengele itakuwa 45, na tutagawanya thamani hii kwa 9. Jibu: - 5.
Mtawanyiko
Kisayansi, tofauti ni wastani wa mraba wa mikengeuko ya thamani za vipengele vilivyopatikana kutoka kwa wastani wa hesabu. Moja inaonyeshwa kwa herufi kubwa ya Kilatini D. Ni nini kinachohitajika ili kuihesabu? Kwa kila kipengele cha mlolongo, tunahesabu tofauti kati ya nambari inayopatikana na maana ya hesabu na mraba. Kutakuwa na maadili mengi kama vile kunaweza kuwa na matokeo ya tukio tunalozingatia. Ifuatayo, tunafupisha kila kitu kilichopokelewa na kugawanya kwa idadi ya vitu katika mlolongo. Ikiwa tuna matokeo matano yanayowezekana, basi gawanya kwa matano.
Mtawanyiko pia una sifa ambazo unahitaji kukumbuka ili kuzitumia wakati wa kutatua matatizo. Kwa mfano, ikiwa tofauti ya nasibu imeongezeka kwa mara X, tofauti huongezeka kwa mara X ya mraba (yaani, XX). Kamwe sio chini ya sifuri na haitegemeikubadilisha thamani kwa thamani sawa juu au chini. Pia, kwa majaribio huru, tofauti ya jumla ni sawa na jumla ya tofauti.
Sasa kwa hakika tunahitaji kuzingatia mifano ya utofauti wa kigezo tofauti cha nasibu na matarajio ya hisabati.
Tuseme tulifanya majaribio 21 na tukapata matokeo 7 tofauti. Tulizingatia kila mmoja wao, kwa mtiririko huo, 1, 2, 2, 3, 4, 4 na 5 mara. Tofauti itakuwa nini?
Kwanza, hebu tuhesabu maana ya hesabu: jumla ya vipengele, bila shaka, ni 21. Igawe na 7, ukipata 3. Sasa toa 3 kutoka kwa kila nambari katika mlolongo asili, mraba kila thamani, na uongeze. matokeo pamoja. Inageuka 12. Sasa inabakia kwetu kugawanya nambari kwa idadi ya vipengele, na, inaonekana, ndiyo yote. Lakini kuna kukamata! Tujadili.
Kutegemea idadi ya majaribio
Inabadilika kuwa wakati wa kuhesabu tofauti, kiashiria kinaweza kuwa mojawapo ya nambari mbili: ama N au N-1. Hapa N ni idadi ya majaribio yaliyofanywa au idadi ya vipengele katika mlolongo (ambayo, kwa kweli, ni sawa). Inategemea nini?
Ikiwa idadi ya majaribio inapimwa kwa mamia, basi ni lazima tuweke N katika kipunguzo. Ikiwa katika vitengo, basi N-1. Wanasayansi waliamua kuchora mpaka kwa mfano kabisa: leo inaendesha kando ya nambari 30. Ikiwa tulifanya majaribio chini ya 30, basi tutagawanya kiasi kwa N-1, na ikiwa zaidi, basi kwa N.
Kazi
Hebu turejee kwenye mfano wetu wa kutatua tofauti na tatizo la matarajio. Sisiilipokea nambari ya kati ya 12, ambayo ilipaswa kugawanywa na N au N-1. Kwa kuwa tulifanya majaribio 21, ambayo ni chini ya 30, tutachagua chaguo la pili. Kwa hivyo jibu ni: tofauti ni 12 / 2=2.
Matarajio
Hebu tuendelee kwenye dhana ya pili, ambayo lazima tuzingatie katika makala haya. Matarajio ya hisabati ni matokeo ya kuongeza matokeo yote yanayowezekana yakizidishwa na uwezekano unaolingana. Ni muhimu kuelewa kwamba thamani inayotokana, pamoja na matokeo ya kuhesabu tofauti, hupatikana mara moja tu kwa kazi nzima, bila kujali ni matokeo ngapi yanazingatia.
Mchanganyiko wa matarajio ni rahisi sana: tunachukua tokeo, tunalizidisha kwa uwezekano wake, kuongeza sawa kwa matokeo ya pili, ya tatu, n.k. Kila kitu kinachohusiana na dhana hii ni rahisi kukokotoa. Kwa mfano, jumla ya matarajio ya hisabati ni sawa na matarajio ya hisabati ya jumla. Vile vile ni kweli kwa kazi. Sio kila idadi katika nadharia ya uwezekano inaruhusu shughuli rahisi kama hizo kufanywa. Wacha tuchukue kazi na tuhesabu thamani ya dhana mbili ambazo tumesoma mara moja. Kwa kuongezea, tulikengeushwa na nadharia - ni wakati wa kufanya mazoezi.
Mfano mwingine
Tuliendesha majaribio 50 na kupata aina 10 za matokeo - nambari kutoka 0 hadi 9 - zikionekana kwa asilimia tofauti. Hizi ni, kwa mtiririko huo: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Kumbuka kwamba ili kupata uwezekano, unahitaji kugawanya maadili ya asilimia na 100. Kwa hivyo, tunapata 0.02; 0, 1, nk. Wacha tuwakilishe kwa utofauti wa nasibuthamani na matarajio ya hisabati mfano wa kutatua tatizo.
Kokotoa maana ya hesabu kwa kutumia fomula tunayokumbuka kutoka shule ya msingi: 50/10=5.
Sasa hebu tutafsiri uwezekano katika idadi ya matokeo "katika vipande" ili kurahisisha kuhesabu. Tunapata 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 na 9. Ondoa maana ya hesabu kutoka kwa kila thamani iliyopatikana, baada ya hapo tunaweka kila moja ya matokeo yaliyopatikana. Tazama jinsi ya kufanya hivyo kwa kutumia kipengele cha kwanza kama mfano: 1 - 5=(-4). Zaidi: (-4)(-4)=16. Kwa maadili mengine, fanya shughuli hizi mwenyewe. Ikiwa ulifanya kila kitu sawa, basi baada ya kuongeza matokeo yote ya kati utapata 90.
Endelea kukokotoa tofauti na wastani kwa kugawanya 90 na N. Kwa nini tunachagua N na si N-1? Hiyo ni kweli, kwa sababu idadi ya majaribio yaliyofanywa inazidi 30. Kwa hiyo: 90/10=9. Tulipata utawanyiko. Ukipata nambari tofauti, usikate tamaa. Uwezekano mkubwa zaidi, ulifanya kosa la banal katika mahesabu. Angalia mara mbili ulichoandika, na kila kitu kitakuwa sawa.
Mwishowe, tukumbuke fomula ya matarajio. Hatutatoa mahesabu yote, tutaandika tu jibu ambalo unaweza kuangalia baada ya kukamilisha taratibu zote zinazohitajika. Matarajio yatakuwa sawa na 5, 48. Tunakumbuka tu jinsi ya kufanya shughuli, kwa kutumia mfano wa vipengele vya kwanza: 00, 02 + 10, 1 … na kadhalika. Kama unavyoona, tunazidisha tu thamani ya matokeo kwa uwezekano wake.
Mkengeuko
Dhana nyingine inayohusiana kwa karibu na tofauti na thamani inayotarajiwa nikupotoka kwa kawaida. Inaonyeshwa ama kwa herufi za Kilatini sd, au kwa herufi ndogo ya Kigiriki "sigma". Wazo hili linaonyesha jinsi, kwa wastani, maadili yanapotoka kutoka kwa kipengele kikuu. Ili kupata thamani yake, unahitaji kukokotoa mzizi wa mraba wa tofauti.
Ukiunda grafu ya usambazaji wa kawaida na ungependa kuona thamani ya mkengeuko wa kawaida moja kwa moja juu yake, hili linaweza kufanywa katika hatua kadhaa. Chukua nusu ya picha upande wa kushoto au wa kulia wa modi (thamani ya kati), chora perpendicular kwa mhimili wa usawa ili maeneo ya takwimu zinazosababisha ziwe sawa. Thamani ya sehemu kati ya katikati ya usambazaji na makadirio yanayotokana na mhimili mlalo yatakuwa mkengeuko wa kawaida.
Programu
Kama unavyoweza kuona kutoka kwa maelezo ya fomula na mifano iliyotolewa, kukokotoa tofauti na matarajio ya hisabati sio utaratibu rahisi zaidi kutoka kwa mtazamo wa hesabu. Ili si kupoteza muda, ni mantiki kutumia programu inayotumiwa katika elimu ya juu - inaitwa "R". Ina vitendaji vinavyokuruhusu kukokotoa thamani za dhana nyingi kutoka kwa takwimu na nadharia ya uwezekano.
Kwa mfano, unafafanua vekta ya thamani. Hii inafanywa kama ifuatavyo: vekta <-c(1, 5, 2…). Sasa, wakati unahitaji kuhesabu maadili kadhaa kwa vekta hii, unaandika kazi na uipe kama hoja. Ili kupata tofauti, utahitaji kutumia var. Mfano wakematumizi: var (vekta). Kisha bonyeza tu "ingiza" na upate matokeo.
Kwa kumalizia
Tofauti na matarajio ya hisabati ni dhana za msingi za nadharia ya uwezekano, ambayo bila ambayo ni vigumu kukokotoa chochote katika siku zijazo. Katika kozi kuu ya mihadhara katika vyuo vikuu, huzingatiwa tayari katika miezi ya kwanza ya kusoma somo. Ni kwa sababu ya kutoeleweka kwa dhana hizi rahisi na kutoweza kuzihesabu kwamba wanafunzi wengi huanza kurudi nyuma mara moja katika programu na baadaye kupokea alama duni mwishoni mwa kipindi, jambo ambalo linawanyima ufadhili wa masomo.
Fanya mazoezi angalau wiki moja kwa nusu saa kwa siku, kutatua matatizo kama yale yaliyotolewa katika makala haya. Kisha kwenye jaribio lolote la nadharia ya uwezekano utakabiliana na mifano bila vidokezo vya ziada na karatasi za kudanganya.
