Vitendaji tofauti vya kikokotozi vya kigezo kimoja na kadhaa

2024 Mwandishi: Angel Austin | [email protected]. Mwisho uliobadilishwa: 2024-01-02 17:56

Kalkulasi ni tawi la kalkulasi ambalo huchunguza vinyago, tofauti na matumizi yake katika uchunguzi wa chaguo za kukokotoa.

Historia ya Mwonekano

Kalkulasi tofauti ziliibuka kama taaluma inayojitegemea katika nusu ya pili ya karne ya 17, kutokana na kazi ya Newton na Leibniz, ambao walitunga masharti ya msingi katika hesabu ya tofauti na kugundua uhusiano kati ya ujumuishaji na upambanuzi. Tangu wakati huo, nidhamu imekua pamoja na hesabu ya viunga, na hivyo kutengeneza msingi wa uchambuzi wa hisabati. Kuonekana kwa calculus hizi kulifungua kipindi kipya cha kisasa katika ulimwengu wa hisabati na kusababisha kuibuka kwa taaluma mpya katika sayansi. Pia ilipanua uwezekano wa kutumia sayansi ya hisabati katika sayansi asilia na teknolojia.

Dhana za kimsingi

Mahesabu tofauti yanatokana na dhana za kimsingi za hisabati. Nazo ni: nambari halisi, mwendelezo, kazi na kikomo. Baada ya muda, zilichukua sura ya kisasa, shukrani kwa hesabu muhimu na tofauti.

Mchakato wa uundaji

Kuundwa kwa kalkulasi tofauti katika umbo la kutumiwa, na kisha mbinu ya kisayansi ilitokea kabla ya kuibuka kwa nadharia ya kifalsafa, ambayo iliundwa na Nicholas wa Cusa. Kazi zake zinachukuliwa kuwa maendeleo ya mageuzi kutoka kwa hukumu za sayansi ya kale. Licha ya ukweli kwamba mwanafalsafa mwenyewe hakuwa mwanahisabati, mchango wake katika maendeleo ya sayansi ya hisabati hauwezi kupingwa. Kuzansky alikuwa mmoja wa wa kwanza walioacha kuzingatia hesabu kama uwanja sahihi zaidi wa sayansi, na kuweka hisabati ya wakati huo shakani.

Wataalamu wa kale wa hisabati walitumia kitengo kama kigezo cha wote, huku mwanafalsafa alipendekeza kutokuwa na kikomo kama kipimo kipya badala ya nambari kamili. Katika suala hili, uwakilishi wa usahihi katika sayansi ya hisabati ni inverted. Ujuzi wa kisayansi, kulingana na yeye, umegawanywa katika busara na kiakili. Ya pili ni sahihi zaidi, kulingana na mwanasayansi, kwani ya kwanza inatoa tu matokeo ya takriban.

kozi ya fichtengolts ya calculus tofauti na muhimu

Wazo

Wazo kuu na dhana katika calculus tofauti inahusiana na fomula katika vitongoji vidogo vya pointi fulani. Ili kufanya hivyo, ni muhimu kuunda vifaa vya hisabati kwa ajili ya kujifunza kazi ambayo tabia yake katika kitongoji kidogo cha pointi zilizoanzishwa ni karibu na tabia ya polynomial au kazi ya mstari. Hii inatokana na ufafanuzi wa kiingilio na tofauti.

Mwonekano wa dhana ya derivative ulisababishwa na idadi kubwa ya matatizo kutoka kwa sayansi asilia na hisabati,ambayo ilisababisha kupata thamani za mipaka ya aina sawa.

Tatizo moja kuu ambalo limetolewa kama mfano kuanzia shule ya upili ni kubainisha kasi ya sehemu inayosogea kwenye mstari ulionyooka na kuunda mstari wa tanjiti hadi kwenye kona hii. Tofauti inahusiana na hii, kwa kuwa inawezekana kukadiria chaguo za kukokotoa katika kitongoji kidogo cha sehemu inayozingatiwa ya chaguo la kukokotoa la mstari.

Ikilinganishwa na dhana ya kinyambulio cha kitendakazi cha kibadilishi halisi, ufafanuzi wa tofauti hupita kwa utendaji wa hali ya jumla, hasa, hadi taswira ya nafasi moja ya Euclidean kwenye nyingine.

Derivative

Acha kielelezo kielekee kwenye mhimili wa Oy, kwa muda tunaochukua x, ambao huhesabiwa kutoka mwanzo fulani wa wakati huo. Mwendo kama huo unaweza kuelezewa na chaguo la kukokotoa y=f(x), ambalo limepewa kila wakati x wa kuratibu kwa hatua inayosogezwa. Katika mechanics, kazi hii inaitwa sheria ya mwendo. Tabia kuu ya mwendo, haswa isiyo sawa, ni kasi ya papo hapo. Wakati hatua inasogea kwenye mhimili wa Oy kulingana na sheria ya mechanics, basi kwa wakati nasibu x, hupata kuratibu f (x). Kwa sasa x + Δx, ambapo Δx inaashiria ongezeko la muda, uratibu wake utakuwa f(x + Δx). Hii ndio jinsi formula Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) inavyoundwa, ambayo inaitwa ongezeko la kazi. Inawakilisha njia iliyosafirishwa na hatua kwa wakati kutoka x hadi x + Δx.

hesabu tofauti ya kitendakazi cha kigezo kimoja

Kutokana na kuibuka kwa hilikasi kwa wakati, derivative huletwa. Katika kazi ya kiholela, derivative katika hatua ya kudumu inaitwa kikomo (ikizingatiwa kuwa iko). Inaweza kuteuliwa kwa alama fulani:

f’(x), y’, ý, df/dx, dy/dx, Df(x).

Mchakato wa kukokotoa kiingilio unaitwa utofautishaji.

Kikokotoo tofauti cha kitendakazi cha vigeu kadhaa

Mbinu hii ya kalkulasi hutumika wakati wa kukagua chaguo za kukokotoa zenye viambajengo kadhaa. Katika uwepo wa viambajengo viwili x na y, sehemu ya derivati inayohusiana na x katika nukta A inaitwa derivative ya chaguo hili la kukokotoa kwa heshima na x yenye y isiyobadilika.

Inaweza kuwakilishwa na wahusika wafuatao:

f’(x)(x, y), u’(x), ∂u/∂x au ∂f(x, y)’/∂x.

Ujuzi Unaohitajika

Ujuzi katika ujumuishaji na upambanuzi unahitajika ili kusoma kwa mafanikio na kuweza kutatua migawanyiko. Ili kurahisisha kuelewa milinganyo tofauti, unapaswa kuwa na ufahamu mzuri wa mada ya derivative na kiunganishi kisichojulikana. Pia haidhuru kujifunza jinsi ya kupata derivative ya chaguo la kukokotoa ambalo limetolewa kwa njia isiyo wazi. Hii ni kutokana na ukweli kwamba katika mchakato wa kusoma viambatanisho na utofautishaji mara nyingi itabidi kutumika.

Aina za milinganyo tofauti

Takriban karatasi zote za majaribio zinazohusiana na milinganyo ya mpangilio wa kwanza, kuna aina 3 za milinganyo: yenye usawa, na viambajengo vinavyoweza kutenganishwa, mstari usio sawa.

Pia kuna aina nadra za milinganyo: yenye tofauti kamili, milinganyo ya Bernoulli na nyinginezo.

Misingi ya maamuzi

Kwanza, unapaswa kukumbuka milinganyo ya aljebra kutoka kwa kozi ya shule. Zina vyenye vigezo na nambari. Ili kutatua equation ya kawaida, unahitaji kupata seti ya nambari zinazokidhi hali fulani. Kama sheria, milinganyo kama hii ilikuwa na mzizi mmoja, na ili kuangalia usahihi, mtu ilibidi tu kubadilisha thamani hii kwa isiyojulikana.

Mlinganyo tofauti ni sawa na huu. Kwa ujumla, mlingano wa mpangilio wa kwanza kama huu ni pamoja na:

Kigezo huru.
Nyengo ya toleo la kukokotoa la kwanza.
Kitendakazi au kigezo tegemezi.

Katika baadhi ya matukio, moja ya haijulikani, x au y, inaweza kukosa, lakini hii sio muhimu sana, kwa kuwa uwepo wa derivative ya kwanza, bila derivatives ya juu, ni muhimu kwa ufumbuzi na tofauti. hesabu kuwa sahihi.

Kusuluhisha mlinganyo tofauti kunamaanisha kupata seti ya chaguo zote za kukokotoa zinazolingana na usemi uliotolewa. Seti kama hizi za utendakazi mara nyingi huitwa suluhisho la jumla la DE.

Hesabu Muhimu

Kalkulasi jumuishi ni mojawapo ya sehemu za uchanganuzi wa hisabati ambazo huchunguza dhana ya muunganisho, sifa na mbinu za ukokotoaji wake.

Mara nyingi, hesabu ya kiunganishi hutokea wakati wa kukokotoa eneo la takwimu ya curvilinear. Eneo hili linamaanisha kikomo ambacho eneo la poligoni iliyoandikwa katika takwimu fulani huwa na ongezeko la taratibu kwa upande wake, wakati pande hizi zinaweza kufanywa chini ya kiholela kilichotajwa hapo awali.thamani ndogo.

Wazo kuu katika kuhesabu eneo la takwimu ya kijiometri kiholela ni kukokotoa eneo la mstatili, yaani, kuthibitisha kuwa eneo lake ni sawa na bidhaa ya urefu na upana. Linapokuja suala la jiometri, ujenzi wote unafanywa kwa kutumia mtawala na dira, na kisha uwiano wa urefu hadi upana ni thamani ya busara. Wakati wa kuhesabu eneo la pembetatu ya kulia, unaweza kuamua kwamba ikiwa utaweka pembetatu sawa karibu nayo, basi mstatili huundwa. Katika parallelogram, eneo hilo linahesabiwa kwa njia sawa, lakini kidogo ngumu zaidi, kwa njia ya mstatili na pembetatu. Katika poligoni, eneo hukokotolewa kupitia pembetatu zilizojumuishwa ndani yake.

Wakati wa kubainisha uhifadhi wa mkunjo kiholela, njia hii haitafanya kazi. Ikiwa utaivunja katika mraba mmoja, basi kutakuwa na maeneo yasiyojazwa. Katika kesi hii, mtu anajaribu kutumia vifuniko viwili, na rectangles juu na chini, kwa matokeo, hizo ni pamoja na grafu ya kazi na sio. Njia ya kugawanya katika mistatili hii inabaki kuwa muhimu hapa. Pia, ikiwa tutachukua sehemu ndogo zaidi, basi eneo la juu na chini linapaswa kuunganishwa kwa thamani fulani.

Inapaswa kurudi kwenye mbinu ya kugawanya katika mistatili. Kuna mbinu mbili maarufu.

Riemann alirasimisha ufafanuzi wa kiungo kilichoundwa na Leibniz na Newton kama eneo la kijitabu. Katika kesi hii, takwimu zilizingatiwa, zinazojumuisha idadi fulani ya mistatili ya wima na kupatikana kwa kugawanya.sehemu. Wakati, kizigeu kinapopungua, kuna kikomo ambacho eneo la takwimu sawa hupunguza, kikomo hiki kinaitwa muunganisho wa Riemann wa chaguo za kukokotoa kwenye muda fulani.

Njia ya pili ni ujenzi wa kiunganishi cha Lebesgue, ambacho kina ukweli kwamba kwa mahali pa kugawa eneo lililoainishwa katika sehemu za kiunganishi na kisha kukusanya jumla muhimu kutoka kwa maadili yaliyopatikana katika sehemu hizi., safu yake ya thamani hugawanywa katika vipindi, na kisha kujumlishwa na hatua zinazolingana za picha za awali za viambatanisho hivi.

Faida za kisasa

Mojawapo ya miongozo kuu ya masomo ya tofauti na calculus muhimu iliandikwa na Fikhtengolts - "Kozi ya tofauti na calculus muhimu". Kitabu chake cha kiada ni mwongozo wa kimsingi wa uchunguzi wa uchanganuzi wa hisabati, ambao umepitia matoleo na tafsiri nyingi katika lugha zingine. Imeundwa kwa ajili ya wanafunzi wa vyuo vikuu na kwa muda mrefu imekuwa ikitumika katika taasisi nyingi za elimu kama mojawapo ya vielelezo vikuu vya masomo. Hutoa data ya kinadharia na ujuzi wa vitendo. Ilichapishwa kwa mara ya kwanza mnamo 1948.

Algorithm ya utafiti wa kazi

Ili kuchunguza chaguo za kukokotoa kwa kutumia mbinu za kukokotoa tofauti, lazima ufuate algoriti ambayo tayari imetolewa:

Tafuta upeo wa chaguo za kukokotoa.
Tafuta mizizi ya mlingano uliotolewa.
Kokotoa viwango vya kupita kiasi. Ili kufanya hivyo, hesabu derivative na pointi ambapo ni sawa na sifuri.
Badilisha thamani inayotokana na mlingano.

Aina za milinganyo tofauti

udhibiti wa agizo la kwanza (vinginevyo, tofauticalculus moja tofauti) na aina zao:

Mlingano unaoweza kutenganishwa: f(y)dy=g(x)dx.
Milinganyo rahisi zaidi, au kokotoo tofauti ya kitendakazi cha kigezo kimoja, chenye fomula: y'=f(x).
Linear inhomogeneous agizo la kwanza DE: y'+P(x)y=Q(x).
Mlinganyo tofauti wa Bernoulli: y'+P(x)y=Q(x)ya.
Mlinganyo wenye tofauti za jumla: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

Milinganyo tofauti ya mpangilio wa pili na aina zake:

Mlingano wa utofautishaji wa mpangilio wa pili unaofanana wenye thamani za mgawo zisizobadilika: y +py'+qy=0 p, q ni mali ya R.
Mlinganyo wa tofauti wa mpangilio wa pili usio sawa na vipatanishi visivyobadilika: y +py'+qy=f(x).
Mlingano wa kutofautisha wenye usawa: y +p(x)y'+q(x)y=0, na mlingano wa mpangilio wa pili usio sawa: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

Milingano ya tofauti ya mpangilio wa juu na aina zake:

Mlinganyo tofauti unaoweza kupunguzwa kwa mpangilio: F(x, y^(k), y^(k+1),.., y^(n)=0.

Mstari wenye mpangilio wa juu mlingano homogeneous: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, na inhomogeneous: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

Hatua za kutatua tatizo kwa mlinganyo tofauti

Kwa usaidizi wa udhibiti wa mbali, sio tu maswali ya hisabati au ya kimwili yanatatuliwa, lakini pia matatizo mbalimbali kutokabiolojia, uchumi, sosholojia n.k. Licha ya mada mbalimbali, mtu anapaswa kuzingatia mlolongo mmoja wa kimantiki wakati wa kutatua matatizo kama haya:

Mkusanyiko wa kidhibiti cha mbali. Moja ya hatua ngumu zaidi ambayo inahitaji usahihi wa juu, kwani kosa lolote litasababisha matokeo mabaya kabisa. Sababu zote zinazoathiri mchakato zinapaswa kuzingatiwa na hali ya awali inapaswa kuamua. Inapaswa pia kutegemea ukweli na hitimisho la kimantiki.
Suluhisho la mlingano ulioundwa. Utaratibu huu ni rahisi zaidi kuliko hatua ya kwanza, kwa kuwa unahitaji tu mahesabu madhubuti ya hisabati.
Uchambuzi na tathmini ya matokeo. Suluhisho linalotokana linapaswa kutathminiwa ili kubaini thamani ya kimatendo na ya kinadharia ya matokeo.

Mfano wa kutumia milinganyo tofauti katika dawa

Matumizi ya udhibiti wa kijijini katika uwanja wa dawa hutokea wakati wa kuunda modeli ya hisabati ya magonjwa. Wakati huo huo, mtu asipaswi kusahau kwamba equations hizi pia zinapatikana katika biolojia na kemia, ambazo ziko karibu na dawa, kwa sababu utafiti wa idadi ya watu mbalimbali wa kibiolojia na michakato ya kemikali katika mwili wa binadamu una jukumu muhimu ndani yake.

Katika mfano ulio hapo juu wa janga, tunaweza kuzingatia kuenea kwa maambukizi katika jamii iliyojitenga. Wakazi wamegawanywa katika aina tatu:

Aliyeambukizwa, nambari x(t), inayojumuisha watu binafsi, wabebaji wa maambukizi, ambayo kila moja inaambukiza (muda wa incubation ni mfupi).
Aina ya pili inajumuishawatu y(t) wanaoweza kuambukizwa kupitia kuwasiliana na watu walioambukizwa.
Aina ya tatu ni pamoja na watu binafsi wa kinga z(t) ambao wana kinga au wamekufa kutokana na ugonjwa.

Idadi ya watu haibadilika, hesabu za kuzaliwa, vifo vya asili na uhamaji hazizingatiwi. Kutakuwa na dhana mbili za msingi.

Asilimia ya matukio katika wakati fulani ni x(t)y(t) (kulingana na nadharia kwamba idadi ya kesi inalingana na idadi ya makutano kati ya wawakilishi wagonjwa na wanaohusika, ambayo katika kwanza ukadiriaji utakuwa sawia na x(t)y(t)), kuhusiana na hili, idadi ya kesi huongezeka, na idadi ya wanaoathiriwa hupungua kwa kasi inayokokotolewa na formula ax(t)y(t) (a > 0).

Kutokana na hilo, unaweza kutengeneza mfumo wa milinganyo kwa kuzingatia viashirio vyote vitatu na kufanya hitimisho kulingana nayo.

Mfano wa kiuchumi

Kokotoo tofauti hutumiwa mara nyingi katika uchanganuzi wa kiuchumi. Kazi kuu katika uchambuzi wa kiuchumi ni utafiti wa kiasi kutoka kwa uchumi, ambayo imeandikwa kwa namna ya kazi. Hii inatumika wakati wa kutatua shida kama vile mabadiliko ya mapato mara baada ya kuongezeka kwa ushuru, kuanzishwa kwa ushuru, mabadiliko ya mapato ya kampuni wakati gharama ya uzalishaji inabadilika, ni kwa kiwango gani wafanyikazi waliostaafu wanaweza kubadilishwa na vifaa vipya. Ili kutatua masuala hayo, ni muhimutengeneza kitendakazi cha muunganisho kutoka kwa vigeu vya ingizo, ambavyo husomwa kwa kutumia hesabu ya kutofautisha.

Katika nyanja ya kiuchumi, mara nyingi ni muhimu kupata viashirio vilivyo bora zaidi: tija ya juu zaidi ya wafanyikazi, mapato ya juu zaidi, gharama ya chini zaidi, na kadhalika. Kila kiashirio kama hiki ni kazi ya hoja moja au zaidi. Kwa mfano, uzalishaji unaweza kutazamwa kama kazi ya pembejeo za nguvu kazi na mtaji. Katika suala hili, kutafuta thamani inayofaa kunaweza kupunguzwa hadi kupata upeo au kiwango cha chini zaidi cha chaguo za kukokotoa kutoka kwa vigeu kimoja au zaidi.

Matatizo ya aina hii huunda darasa la matatizo makubwa katika nyanja ya kiuchumi, ambayo suluhu lake linahitaji hesabu tofauti. Wakati kiashirio cha kiuchumi kinahitaji kupunguzwa au kuongezwa kama kazi ya kiashirio kingine, basi katika kiwango cha juu zaidi, uwiano wa nyongeza ya chaguo za kukokotoa kwa hoja utaelekea sifuri ikiwa ongezeko la hoja linaelekea sifuri. Vinginevyo, wakati uwiano huo unaelekea kwa thamani fulani chanya au hasi, hatua maalum haifai, kwa sababu kwa kuongeza au kupunguza hoja, unaweza kubadilisha thamani tegemezi katika mwelekeo unaohitajika. Katika istilahi ya calculus tofauti, hii itamaanisha kuwa hali inayohitajika kwa upeo wa juu wa chaguo za kukokotoa ni thamani ya sufuri ya kiingilio chake.

Katika uchumi, mara nyingi kuna matatizo ya kupata upeo wa chaguo za kukokotoa wenye vigezo kadhaa, kwa sababu viashirio vya kiuchumi vinaundwa na mambo mengi. Maswali kama haya ni mazuri.alisoma katika nadharia ya kazi ya vigezo kadhaa, kutumia mbinu za hesabu tofauti. Matatizo hayo yanajumuisha sio tu kazi zilizoongezeka na zilizopunguzwa, lakini pia vikwazo. Maswali kama haya yanahusiana na upangaji programu wa hisabati, na yanatatuliwa kwa msaada wa mbinu maalum zilizotengenezwa, pia kulingana na tawi hili la sayansi.

Miongoni mwa mbinu za kalkulasi tofauti zinazotumiwa katika uchumi, sehemu muhimu ni uchanganuzi wa kando. Katika nyanja ya kiuchumi, neno hili linamaanisha seti ya njia za kusoma viashiria vya kutofautiana na matokeo wakati wa kubadilisha kiasi cha uumbaji, matumizi, kulingana na uchambuzi wa viashiria vyao vya kando. Kiashiria cha kuzuia ni derivativei au sehemu ya viingilio vilivyo na vigeu kadhaa.

Kokotoo tofauti ya vigeu kadhaa ni mada muhimu katika nyanja ya uchanganuzi wa hisabati. Kwa utafiti wa kina, unaweza kutumia vitabu mbalimbali vya kiada kwa elimu ya juu. Moja ya maarufu zaidi iliundwa na Fikhtengolts - "Kozi ya tofauti na calculus muhimu". Kama jina linamaanisha, ujuzi katika kufanya kazi na viambatanisho ni muhimu sana katika kutatua milinganyo tofauti. Wakati calculus tofauti ya kazi ya kutofautiana moja inafanyika, suluhisho inakuwa rahisi. Ingawa, ni lazima ieleweke, ni chini ya sheria sawa za msingi. Ili kusoma kazi katika mazoezi na calculus tofauti, inatosha kufuata algorithm iliyopo tayari, ambayo hutolewa katika shule ya upili na ngumu kidogo tu wakati mpya zinaletwa.vigezo.