Volume ni sifa ya takwimu yoyote ambayo haina vipimo visivyo sifuri katika vipimo vyote vitatu vya nafasi. Katika makala hii, kutoka kwa mtazamo wa stereometry (jiometri ya takwimu za anga), tutazingatia prism na kuonyesha jinsi ya kupata kiasi cha prisms za aina mbalimbali.
Mche ni nini?
Stereometry ina jibu kamili la swali hili. Prism ndani yake inaeleweka kama takwimu inayoundwa na nyuso mbili za polygonal zinazofanana na parallelograms kadhaa. Picha hapa chini inaonyesha prisms nne tofauti.
Kila moja yao inaweza kupatikana kama ifuatavyo: unahitaji kuchukua poligoni (pembetatu, quadrilateral, na kadhalika) na sehemu ya urefu fulani. Kisha kila kipeo cha poligoni kinapaswa kuhamishwa kwa kutumia sehemu zinazofanana hadi kwenye ndege nyingine. Katika ndege mpya, ambayo itakuwa sambamba na ile ya awali, poligoni mpya itapatikana, sawa na ile iliyochaguliwa mwanzoni.
Prisms zinaweza kuwa za aina tofauti. Kwa hiyo, wanaweza kuwa sawa, oblique na sahihi. Ikiwa makali ya nyuma ya prism (sehemu,kuunganisha vertices ya besi) perpendicular kwa misingi ya takwimu, basi mwisho ni mstari wa moja kwa moja. Ipasavyo, ikiwa hali hii haijafikiwa, basi tunazungumza juu ya prism iliyoelekezwa. Umbo la kawaida ni prism ya kulia yenye msingi wa usawa na usawa.
Baadaye katika makala tutaonyesha jinsi ya kukokotoa ujazo wa kila moja ya aina hizi za prism.
Kiasi cha prisms za kawaida
Hebu tuanze na kesi rahisi zaidi. Tunatoa formula kwa kiasi cha prism ya kawaida na msingi wa n-gonal. Fomula ya ujazo V kwa kielelezo chochote cha darasa linalozingatiwa ni kama ifuatavyo:
V=Soh.
Hiyo ni, kuamua kiasi, inatosha kuhesabu eneo la moja ya besi So na kuizidisha kwa urefu wa h wa takwimu.
Katika kesi ya prism ya kawaida, hebu tuonyeshe urefu wa upande wa msingi wake na herufi a, na urefu, ambao ni sawa na urefu wa ukingo wa upande, na herufi H. Ikiwa msingi wa n-gon ni sahihi, basi njia rahisi zaidi ya kuhesabu eneo lake ni kutumia fomula ifuatayo ya ulimwengu wote:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Ikibadilisha thamani ya nambari ya pande n na urefu wa upande mmoja a hadi usawa, unaweza kukokotoa eneo la msingi wa n-gonal. Kumbuka kuwa kitendakazi cha kotangenti hapa kinakokotolewa kwa pembe ya pi/n, ambayo inaonyeshwa kwa radiani.
Kwa kuzingatia usawa ulioandikwa kwa S, tunapata fomula ya mwisho ya ujazo wa prism ya kawaida:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Kwa kila kipochi mahususi, unaweza kuandika fomula zinazolingana za V, lakini zotekufuata kipekee kutoka kwa usemi wa jumla ulioandikwa. Kwa mfano, kwa prism ya kawaida ya quadrangular, ambayo kwa ujumla ni parallelepiped ya mstatili, tunapata:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Tukichukua h=a katika usemi huu, basi tunapata fomula ya ujazo wa mchemraba.
Kiasi cha prisms za moja kwa moja
Tunatambua mara moja kwamba kwa takwimu zilizonyooka hakuna fomula ya jumla ya kukokotoa sauti, ambayo ilitolewa hapo juu kwa prism za kawaida. Unapopata thamani inayozungumziwa, usemi asilia unapaswa kutumika:
V=Soh.
Hapa h ndio urefu wa ukingo wa upande, kama ilivyokuwa katika kisa kilichotangulia. Kuhusu eneo la msingi So, linaweza kuchukua thamani mbalimbali. Kazi ya kuhesabu prism iliyonyooka ya ujazo inapunguzwa hadi kupata eneo la msingi wake.
Hesabu ya thamani ya Soinapaswa kutekelezwa kulingana na sifa za besi yenyewe. Kwa mfano, ikiwa ni pembetatu, basi eneo linaweza kuhesabiwa kama hii:
So3=1/2aha.
Hapa ha ni neno la neno la pembetatu, yaani, urefu wake umeshushwa hadi chini a.
Ikiwa besi ni pembe nne, basi inaweza kuwa trapezoidi, parallelogram, mstatili, au aina ya kiholela kabisa. Kwa matukio haya yote, unapaswa kutumia formula sahihi ya planimetry kuamua eneo. Kwa mfano, kwa trapezoid, fomula hii inaonekana kama:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Ambapo ha ni urefu wa trapezoid, a1 na2 ni urefu ya pande zake sambamba.
Ili kubaini eneo la poligoni za mpangilio wa juu, unapaswa kuzigawanya katika maumbo rahisi (pembetatu, quadrangles) na kukokotoa jumla ya maeneo ya mwisho.
Volume ya Prism Iliyoelekezwa
Hii ndiyo kesi ngumu zaidi ya kukokotoa ujazo wa prism. Fomula ya jumla ya takwimu kama hizi inatumika pia:
V=Soh.
Hata hivyo, kwa utata wa kutafuta eneo la msingi linalowakilisha aina ya kiholela ya poligoni, tatizo la kubainisha urefu wa takwimu huongezwa. Daima ni chini ya urefu wa ukingo wa upande katika mche ulioinama.
Njia rahisi zaidi ya kupata urefu huu ni kama unajua pembe yoyote ya takwimu (gorofa au dihedral). Ikiwa pembe kama hiyo imetolewa, basi mtu anapaswa kuitumia kuunda pembetatu yenye pembe ya kulia ndani ya prism, ambayo ingekuwa na urefu wa h kama moja ya pande na, kwa kutumia kazi za trigonometric na nadharia ya Pythagorean, kupata thamani h.
Tatizo la sauti ya kijiometri
Kwa kupewa mche wa kawaida wenye msingi wa pembe tatu, wenye urefu wa sm 14 na urefu wa upande wa sm 5. Ujazo wa mche wa pembetatu ni kiasi gani?
Kwa kuwa tunazungumza kuhusu takwimu sahihi, tuna haki ya kutumia fomula inayojulikana sana. Tuna:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151.55 cm3.
Mbegu ya pembetatu ni kielelezo cha ulinganifu, kwa namna ambayo miundo mbalimbali ya usanifu mara nyingi hutengenezwa. Kioo hiki cha prism kinatumika kwenye macho.
