Kwa kuzingatia umaarufu wa ombi "Nadharia ya Fermat - uthibitisho mfupi", tatizo hili la hisabati linawavutia wengi. Nadharia hii ilisemwa kwa mara ya kwanza na Pierre de Fermat mnamo 1637 kwenye ukingo wa nakala ya Hesabu, ambapo alidai kuwa alikuwa na suluhisho ambalo lilikuwa kubwa sana kutoshea ukingoni.
Uthibitisho wa kwanza uliofaulu ulichapishwa mnamo 1995 - ulikuwa uthibitisho kamili wa Nadharia ya Fermat na Andrew Wiles. Imefafanuliwa kama "maendeleo ya kushangaza" na kupelekea Wiles kupokea Tuzo la Abel mnamo 2016. Ingawa imeelezewa kwa ufupi, uthibitisho wa nadharia ya Fermat pia ulithibitisha nadharia nyingi za moduli na kufungua njia mpya za shida zingine nyingi na njia bora za kuinua moduli. Mafanikio haya yana hisabati ya juu miaka 100 katika siku zijazo. Uthibitisho wa nadharia ndogo ya Fermat leo sioni kitu kisicho cha kawaida.
Tatizo ambalo halijatatuliwa lilichochea ukuzaji wa nadharia ya nambari ya aljebra katika karne ya 19 na utafutaji wa uthibitisho wa nadharia ya moduli katika karne ya 20. Hii ni moja wapo ya nadharia mashuhuri katika historia ya hisabati, na hadi uthibitisho kamili wa nadharia ya Mwisho ya Fermat, ilikuwa katika Kitabu cha kumbukumbu cha Guinness kama "tatizo ngumu zaidi la hesabu", moja ya sifa zake ni kwamba. ina idadi kubwa zaidi ya uthibitisho usiofanikiwa.
Usuli wa kihistoria
Mlinganyo wa Pythagorean x2 + y2=z2 ina idadi isiyo na kikomo ya chanya masuluhisho kamili ya x, y na z. Suluhu hizi zinajulikana kama utatu wa Pythagorean. Karibu 1637, Fermat aliandika ukingoni mwa kitabu kwamba mlinganyo wa jumla zaidi a + b =chauna masuluhisho katika nambari asilia ikiwa n ni nambari kamili zaidi ya 2. Ingawa Fermat mwenyewe alidai kuwa na suluhisho la tatizo lake, hakuacha maelezo yoyote kuhusu uthibitisho wake. Uthibitisho wa kimsingi wa nadharia ya Fermat, iliyodaiwa na muundaji wake, ulikuwa ni uvumbuzi wake wa kujivunia. Kitabu cha mwanahisabati mkuu wa Ufaransa kiligunduliwa miaka 30 baada ya kifo chake. Mlinganyo huu, unaoitwa Nadharia ya Mwisho ya Fermat, ulibakia bila kutatuliwa katika hisabati kwa karne tatu na nusu.
Nadharia hatimaye ikawa mojawapo ya matatizo mashuhuri ambayo hayajatatuliwa katika hisabati. Majaribio ya kuthibitisha hili yalisababisha maendeleo makubwa ya nadharia ya nambari, na kwa kifunguwakati, nadharia ya mwisho ya Fermat ilijulikana kama tatizo ambalo halijatatuliwa katika hisabati.
Historia Fupi ya Ushahidi
Kama n=4, kama ilivyothibitishwa na Fermat mwenyewe, inatosha kuthibitisha nadharia ya fahirisi n ambazo ni nambari kuu. Zaidi ya karne mbili zilizofuata (1637-1839) dhana hiyo ilithibitishwa tu kwa primes 3, 5 na 7, ingawa Sophie Germain alisasisha na kuthibitisha mbinu ambayo inatumika kwa darasa zima la primes. Katikati ya karne ya 19, Ernst Kummer alipanua hii na kuthibitisha nadharia ya matoleo yote ya kawaida, ambapo misingi isiyo ya kawaida ilichanganuliwa kibinafsi. Kulingana na kazi ya Kummer na kutumia utafiti wa hali ya juu wa kompyuta, wanahisabati wengine waliweza kupanua suluhisho la nadharia, kwa lengo la kufunika wafadhili wakuu hadi milioni nne, lakini uthibitisho wa wafadhili wote haukupatikana (ikimaanisha kuwa wanahisabati. kwa kawaida hufikiriwa kuwa suluhu la nadharia haliwezekani, ni gumu sana, au haliwezi kufikiwa na maarifa ya sasa).
Kazi ya Shimura na Taniyama
Mnamo 1955, wanahisabati wa Kijapani Goro Shimura na Yutaka Taniyama walishuku kuwa kulikuwa na uhusiano kati ya mikunjo ya duaradufu na maumbo ya moduli, matawi mawili tofauti ya hisabati. Ikijulikana wakati huo kama dhana ya Taniyama-Shimura-Weyl na (hatimaye) kama nadharia ya moduli, ilikuwepo yenyewe, bila uhusiano wowote na nadharia ya mwisho ya Fermat. yenyewe ilizingatiwa sana kama nadharia muhimu ya hisabati, lakini ilizingatiwa (kama nadharia ya Fermat) haiwezekani kudhibitisha. Wakati huoWakati huo huo, uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat (kwa kugawanya na kutumia fomula changamano za hisabati) ulitekelezwa nusu karne baadaye.
Mnamo 1984, Gerhard Frey aliona uhusiano wa wazi kati ya matatizo haya mawili ambayo hayakuwa na uhusiano na ambayo hayajatatuliwa. Uthibitisho kamili kwamba nadharia hizi mbili zilihusiana kwa karibu ulichapishwa mnamo 1986 na Ken Ribet, ambaye kwa msingi wa uthibitisho wa sehemu ya Jean-Pierre Serra, ambaye alithibitisha yote isipokuwa sehemu moja, inayojulikana kama "hypothesis ya epsilon". Kwa ufupi, kazi hizi za Frey, Serra, na Ribe zilionyesha kwamba ikiwa nadharia ya moduli inaweza kuthibitishwa, angalau kwa darasa linaloweza kubadilika la mikunjo ya duaradufu, basi uthibitisho wa nadharia ya mwisho ya Fermat ungegunduliwa mapema au baadaye pia. Suluhu lolote linaloweza kupingana na nadharia ya mwisho ya Fermat linaweza pia kutumiwa kupingana na nadharia ya moduli. Kwa hivyo, ikiwa nadharia ya moduli iligeuka kuwa ya kweli, basi kwa ufafanuzi hakuwezi kuwa na suluhisho ambalo linapingana na nadharia ya mwisho ya Fermat, ambayo inamaanisha kuwa ilipaswa kuthibitishwa hivi karibuni.
Ingawa nadharia zote mbili zilikuwa matatizo magumu katika hisabati, ambayo yalizingatiwa kuwa hayawezi kusuluhishwa, kazi ya Wajapani hao wawili ilikuwa pendekezo la kwanza la jinsi nadharia ya mwisho ya Fermat ingeweza kupanuliwa na kuthibitishwa kwa nambari zote, si baadhi tu. Muhimu kwa watafiti waliochagua mada ya utafiti ni ukweli kwamba, tofauti na nadharia ya mwisho ya Fermat, nadharia ya modularity ilikuwa eneo kuu la utafiti, ambalo.ushahidi ulitengenezwa, na sio tu ya kihistoria, kwa hivyo wakati uliotumika kwenye kazi yake unaweza kuhesabiwa haki kutoka kwa maoni ya kitaalam. Hata hivyo, makubaliano ya jumla yalikuwa kwamba kusuluhisha dhana ya Taniyama-Shimura kumethibitika kuwa jambo lisilofaa.
Nadharia ya Mwisho ya Shamba: Uthibitisho wa Wiles
Baada ya kujua kwamba Ribet amethibitisha kuwa nadharia ya Frey ni sahihi, mwanahisabati Mwingereza Andrew Wiles, ambaye amekuwa akivutiwa na Nadharia ya Mwisho ya Fermat tangu utotoni na ana uzoefu wa kufanya kazi na miindo ya duaradufu na vikoa vilivyo karibu, aliamua kujaribu kuthibitisha Taniyama-Shimura. Dhana kama njia ya kuthibitisha Nadharia ya Mwisho ya Fermat. Mnamo 1993, miaka sita baada ya kutangaza lengo lake, wakati akifanya kazi kwa siri juu ya shida ya kusuluhisha nadharia hiyo, Wiles aliweza kudhibitisha dhana inayohusiana, ambayo kwa upande wake ingemsaidia kudhibitisha nadharia ya mwisho ya Fermat. Hati ya Wiles ilikuwa kubwa kwa ukubwa na upeo.
Kasoro iligunduliwa katika sehemu moja ya karatasi yake ya asili wakati wa ukaguzi wa marika na ikahitaji mwaka mwingine wa ushirikiano na Richard Taylor ili kutatua nadharia hiyo kwa pamoja. Kama matokeo, uthibitisho wa mwisho wa Wiles wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat haukuchukua muda mrefu kuja. Mnamo mwaka wa 1995, ilichapishwa kwa kiwango kidogo zaidi kuliko kazi ya awali ya hisabati ya Wiles, ikionyesha kwamba hakukosea katika hitimisho lake la awali kuhusu uwezekano wa kuthibitisha nadharia hiyo. Mafanikio ya Wiles yalitangazwa sana katika vyombo vya habari maarufu na kujulikana katika vitabu na programu za televisheni. Sehemu zilizobaki za dhana ya Taniyama-Shimura-Weil, ambayo sasa imethibitishwa nainayojulikana kama nadharia ya moduli, ilithibitishwa baadaye na wanahisabati wengine ambao waliunda kazi ya Wiles kati ya 1996 na 2001. Kwa mafanikio yake, Wiles ametunukiwa na kupokea tuzo nyingi, ikiwa ni pamoja na Tuzo la Abel 2016.
Uthibitisho wa Wiles wa nadharia ya mwisho ya Fermat ni kesi maalum ya kutatua nadharia ya moduli ya mikunjo ya duaradufu. Walakini, hii ndio kesi maarufu zaidi ya operesheni kubwa ya kihesabu. Pamoja na kutatua nadharia ya Ribe, mwanahisabati wa Uingereza pia alipata uthibitisho wa nadharia ya mwisho ya Fermat. Nadharia ya Mwisho ya Fermat na Nadharia ya Modularity karibu kote ilizingatiwa kuwa haiwezi kuthibitishwa na wanahisabati wa kisasa, lakini Andrew Wiles aliweza kuuthibitishia ulimwengu wa kisayansi kwamba hata wataalamu wanaweza kukosea.
Wyles alitangaza ugunduzi wake kwa mara ya kwanza Jumatano tarehe 23 Juni 1993 katika hotuba ya Cambridge iliyoitwa "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". Walakini, mnamo Septemba 1993, iligunduliwa kuwa hesabu zake zilikuwa na makosa. Mwaka mmoja baadaye, mnamo Septemba 19, 1994, katika kile angeita "wakati muhimu zaidi wa maisha yake ya kufanya kazi," Wiles alijikwaa juu ya ufunuo ambao ulimruhusu kurekebisha suluhisho la shida hadi kufikia kiwango ambacho kingeweza kutosheleza hisabati. jumuiya.
Maelezo ya kazi
Uthibitisho wa Nadharia ya Fermat na Andrew Wiles hutumia mbinu nyingi kutoka kwa jiometri ya aljebra na nadharia ya nambari na ina matokeo mengi katika haya.maeneo ya hisabati. Anatumia pia miundo ya kawaida ya jiometri ya kisasa ya aljebra, kama vile kategoria ya skimu na nadharia ya Iwasawa, na pia mbinu nyinginezo za karne ya 20 ambazo hazikupatikana kwa Pierre de Fermat.
Vifungu viwili vyenye ushahidi vina urefu wa kurasa 129 na viliandikwa katika kipindi cha miaka saba. John Coates alielezea ugunduzi huu kama mojawapo ya mafanikio makubwa zaidi ya nadharia ya nambari, na John Conway aliita mafanikio makubwa ya hisabati ya karne ya 20. Wiles, ili kuthibitisha nadharia ya mwisho ya Fermat kwa kuthibitisha nadharia ya moduli ya kisa maalum cha mikunjo ya duaradufu inayopunguka, ilibuni mbinu madhubuti za kuinua moduli na kufungua mbinu mpya za matatizo mengine mengi. Kwa kutatua nadharia ya mwisho ya Fermat, alipewa tuzo na akapokea tuzo zingine. Ilipojulikana kuwa Wiles alikuwa ameshinda Tuzo la Abel, Chuo cha Sayansi cha Norway kilielezea mafanikio yake kama "uthibitisho wa kupendeza na wa kimsingi wa nadharia ya mwisho ya Fermat."
Ilikuwaje
Mmoja wa watu waliokagua maandishi asilia ya Wiles yenye suluhisho la nadharia hiyo alikuwa Nick Katz. Katika hakiki yake, alimuuliza Briton maswali kadhaa ya kufafanua ambayo yalimfanya Wiles akubali kwamba kazi yake ina pengo wazi. Katika sehemu moja muhimu ya uthibitisho, hitilafu ilifanyika ambayo ilitoa makadirio ya utaratibu wa kikundi fulani: mfumo wa Euler uliotumiwa kupanua njia ya Kolyvagin na Flach haukukamilika. Kosa hilo, hata hivyo, halikufanya kazi yake kuwa bure - kila kipande cha kazi ya Wiles kilikuwa muhimu sana na ubunifu ndani yake, kama ilivyokuwa nyingi.maendeleo na mbinu alizoziunda wakati wa kazi yake na ambazo ziliathiri sehemu moja tu ya muswada. Walakini, kazi hii asili, iliyochapishwa mnamo 1993, haikuwa na uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat.
Wyles alitumia karibu mwaka mmoja akijaribu kugundua tena suluhisho la nadharia hiyo, kwanza peke yake kisha kwa ushirikiano na mwanafunzi wake wa zamani Richard Taylor, lakini yote yalionekana kuwa bure. Kufikia mwisho wa 1993, uvumi ulikuwa umeenea kwamba uthibitisho wa Wiles haukufaulu katika majaribio, lakini jinsi kushindwa huko hakukujulikana. Wanahisabati walianza kuweka shinikizo kwa Wiles kufichua undani wa kazi yake, iwe imefanywa au la, ili jamii pana ya wanahisabati iweze kuchunguza na kutumia chochote alichoweza kufikia. Badala ya kurekebisha makosa yake haraka, Wiles aligundua vipengele vingine vigumu tu katika uthibitisho wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat, na hatimaye akagundua jinsi ilivyokuwa ngumu.
Wyles anasema kwamba asubuhi ya Septemba 19, 1994, alikuwa karibu kukata tamaa na kukata tamaa, na alikaribia kujiuzulu kwa kushindwa. Alikuwa tayari kuchapisha kazi yake ambayo haijakamilika ili wengine wajenge juu yake na kutafuta mahali alipokosea. Mtaalamu wa hesabu wa Kiingereza aliamua kujipa nafasi ya mwisho na kuchambua nadharia hiyo kwa mara ya mwisho ili kujaribu kuelewa sababu kuu ambazo mbinu yake haikufanya kazi, wakati ghafla aligundua kuwa mbinu ya Kolyvagin-Flac haitafanya kazi hadi atakapofanya kazi.itajumuisha pia nadharia ya Iwasawa katika mchakato wa uthibitisho, na kuifanya ifanye kazi.
Mnamo Oktoba 6, Wiles aliuliza wenzake watatu (pamoja na F altins) kukagua kazi yake mpya, na mnamo Oktoba 24, 1994, aliwasilisha maandishi mawili - "Modular elliptic curves na theorem ya mwisho ya Fermat" na "Sifa za kinadharia za ring of some Hecke algebras", ya pili ambayo Wiles alishirikiana na Taylor na kuthibitisha kwamba masharti fulani yalitimizwa ili kuhalalisha hatua iliyosahihishwa katika makala kuu.
Majarida haya mawili yalikaguliwa na hatimaye kuchapishwa kama toleo la maandishi kamili katika Annals of Hisabati ya Mei 1995. Mahesabu mapya ya Andrew yalichambuliwa kwa upana na hatimaye kukubaliwa na jumuiya ya kisayansi. Katika karatasi hizi, nadharia ya moduli ya mikondo ya duaradufu ilianzishwa - hatua ya mwisho ya kuthibitisha Nadharia ya Mwisho ya Fermat, miaka 358 baada ya kuundwa.
Historia ya Tatizo Kubwa
Kutatua nadharia hii kumezingatiwa kuwa tatizo kubwa katika hisabati kwa karne nyingi. Mnamo 1816 na 1850 Chuo cha Sayansi cha Ufaransa kilitoa tuzo kwa uthibitisho wa jumla wa Nadharia ya Mwisho ya Fermat. Mnamo 1857, Chuo kilimkabidhi Kummer faranga 3,000 na medali ya dhahabu kwa utafiti wake juu ya nambari bora, ingawa hakutuma maombi ya tuzo hiyo. Tuzo nyingine ilitolewa kwake mnamo 1883 na Chuo cha Brussels.
Tuzo ya Wolfskell
Mnamo 1908, mwana viwanda na mwanahisabati Mjerumani Paul Wolfskel alitoa alama 100,000 za dhahabu (kiasi kikubwa kwa wakati huo)Chuo cha Sayansi cha Göttingen, ili pesa hizi ziwe zawadi kwa uthibitisho kamili wa nadharia ya mwisho ya Fermat. Mnamo Juni 27, 1908, Chuo kilichapisha sheria tisa za tuzo. Miongoni mwa mambo mengine, sheria hizi zilihitaji uthibitisho kuchapishwa katika jarida lililopitiwa na rika. Tuzo hiyo ilitolewa miaka miwili tu baada ya kuchapishwa. Shindano hilo lilipaswa kuisha mnamo Septemba 13, 2007 - takriban karne moja baada ya kuanza. Mnamo Juni 27, 1997, Wiles alipokea pesa za tuzo za Wolfschel na kisha $ 50,000 nyingine. Mnamo Machi 2016, alipokea € 600,000 kutoka kwa serikali ya Norway kama sehemu ya Tuzo la Abel kwa "uthibitisho wa kushangaza wa nadharia ya mwisho ya Fermat kwa usaidizi wa dhana ya moduli ya mikondo ya duaradufu isiyoweza kubadilika, na kufungua enzi mpya katika nadharia ya nambari." Ulikuwa ni ushindi wa dunia wa Mwingereza mnyenyekevu.
Kabla ya uthibitisho wa Wiles, nadharia ya Fermat, kama ilivyotajwa awali, ilionekana kuwa haiwezi kusuluhishwa kabisa kwa karne nyingi. Maelfu ya ushahidi usio sahihi kwa nyakati tofauti uliwasilishwa kwa kamati ya Wolfskell, kiasi cha takriban futi 10 (mita 3) za mawasiliano. Tu katika mwaka wa kwanza wa kuwepo kwa tuzo (1907-1908) maombi 621 yaliwasilishwa yakidai kutatua nadharia hiyo, ingawa kufikia miaka ya 1970 idadi yao ilikuwa imepungua hadi maombi 3-4 kwa mwezi. Kulingana na F. Schlichting, mkaguzi wa Wolfschel, ushahidi mwingi uliegemezwa kwenye mbinu za kimsingi zinazofundishwa shuleni na mara nyingi uliwasilishwa kama "watu wenye asili ya kiufundi lakini taaluma isiyofanikiwa". Kulingana na mwanahistoria wa hisabati Howard Aves, wa mwishoNadharia ya Fermat imeweka aina ya rekodi - hii ndiyo nadharia yenye idadi kubwa ya uthibitisho usio sahihi.
Laurel za shamba zilienda kwa Wajapani
Kama ilivyotajwa hapo awali, karibu 1955, wanahisabati wa Kijapani Goro Shimura na Yutaka Taniyama waligundua uhusiano unaowezekana kati ya matawi mawili ambayo yanaonekana kuwa tofauti kabisa ya hisabati - mikunjo ya duaradufu na maumbo ya moduli. Nadharia inayotokana ya moduli (wakati huo ikijulikana kama dhahania ya Taniyama-Shimura) inasema kwamba kila mduara wa duaradufu ni wa moduli, kumaanisha kuwa unaweza kuhusishwa na umbo la kipekee la moduli.
Nadharia hiyo hapo awali ilipuuzwa kuwa isiyowezekana au ya kubahatisha sana, lakini ilichukuliwa kwa uzito zaidi wakati mwananadharia wa nambari André Weil alipopata ushahidi wa kuunga mkono hitimisho la Kijapani. Kwa sababu hiyo, nadharia tete mara nyingi imerejelewa kama nadharia ya Taniyama-Shimura-Weil. Alikuja kuwa sehemu ya programu ya Langlands, ambayo ni orodha ya dhana muhimu zinazohitaji kuthibitishwa katika siku zijazo.
Hata baada ya uchunguzi wa kina, dhana hiyo imetambuliwa na wanahisabati wa kisasa kuwa ngumu sana, au labda isiyoweza kuthibitishwa. Sasa nadharia hii mahususi inamngojea Andrew Wiles, ambaye anaweza kuushangaza ulimwengu mzima na suluhisho lake.
Nadharia ya Fermat: Uthibitisho wa Perelman
Licha ya ngano maarufu, mwanahisabati wa Kirusi Grigory Perelman, kwa ujuzi wake wote, hana uhusiano wowote na nadharia ya Fermat. Ambayo, hata hivyo, kwa njia yoyote haipunguzi kutoka kwake.michango mingi kwa jumuiya ya kisayansi.
